Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Edmondsova metoda hledání zlepšující cesty Zdeněk Fikar 26.11.2010 01ZTGB ~ Základy Teorie Grafů B.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Edmondsova metoda hledání zlepšující cesty Zdeněk Fikar 26.11.2010 01ZTGB ~ Základy Teorie Grafů B."— Transkript prezentace:

1 Edmondsova metoda hledání zlepšující cesty Zdeněk Fikar ZTGB ~ Základy Teorie Grafů B

2 Párování v grafech Def.: G = (V,E). Párování na G je podmnožina M množiny E(G) taková, že žádné dvě její hrany nemají společný vrchol. Def.: Vrchol v grafu G je M-saturován, existuje-li v M hrana, která je s ním incidentní. Def.: Párování M na G je maximální, pokud pro všechna M’ párování na G platí # M ≥ # M’.

3 Praktické aplikace párování 3 nejčastější typy úloh: 1.Najít maximální párování 2.Najít nejdražší maximální párování 3.Najít nejlevnější maximální párování

4 M-střídající cesta Def.: M-střídající cesta vzhledem k párování M je taková neorientovaná cesta, jejíž hrany střídavě leží a neleží v M. Def.: M-střídající cesta, jejíž oba krajní vrcholy nejsou M-saturovány, se nazývá zlepšující cesta vzhledem k párování M. Věta: M je maximální párování v G neexistuje zlepšující cesta vzhledem k M.

5 Zadání úkolu  Policisté provádí pochůzky po dvojicích.  V dané lokalitě se někteří policisté již znají (platí vzájemně).  Sestavte dvojice pro pochůzky tak, aby počet “neznámých” dvojic byl minimální

6 Konkrétní příklad  Mějme 12 policistů. Graf udává, kdo koho zná:

7 Řešení  Hledáme maximální párování pomocí zlepšující cesty

8 Obecný předpis while existuje M-zlepšující cesta v grafu G begin z M vynecháme sudé hrany M-zlepšující cesty; do M přidáme liché hrany M-zlepšující cesty; end

9 Hledání M-zlepšující cesty  Pro nalezení M-zlepšující cesty v grafu G použijeme Edmondsovu metodu

10 Edmondsova metoda Výchozí nastavení:  Předpokládejme, že máme libovolné párování M v grafu G  Všechny vrcholy a hrany budou na začátku neoznačené  Označíme hrany zařazené do párování M  Pro každý nesaturovaný vrchol grafu G vytvoříme samostatný strom F

11 Edmondsova metoda Výchozí nastavení:

12 Edmondsova metoda (A) Existuje neoznačený vrchol v v nějakém stromě F, jehož vzdálenost od kořene v je sudá?  NE => Nalezené párování je již maximální  ANO => Přejdi na podmínku (B)

13 Edmondsova metoda (B) Existuje neoznačená hrana e = {v,w} ?  NE => Označ vrchol v a vrať se na podmínku (A)  ANO => Přejdi na podmínku (C)

14 Edmondsova metoda

15

16 (C) Je již w zařazeno ve stromě F ?  NE => Najdi vrchol x, který je spárovaný s w v M a přidej hrany {v,w} a {w,x} do stromu, jehož kořenem je v; označ hranu e = {v,w} a vrať se na podmínku (B)  ANO => Přejdi na podmínku (D)

17 Edmondsova metoda

18 (B) Existuje neoznačená hrana e = {v,w} ?  NE => Označ vrchol v a vrať se na podmínku (A)  ANO => Přejdi na podmínku (C)

19 Edmondsova metoda

20 (C) Je již w zařazeno ve stromě F ?  NE => Najdi vrchol x, který je spárovaný s w v M a přidej hrany {v,w} a {w,x} do stromu, jehož kořenem je v; označ hranu e = {v,w} a vrať se na podmínku (B)  ANO => Přejdi na podmínku (D)

21 Edmondsova metoda (D) Je vzdálenost w od kořene w sudá ?  NE => Označ hranu e = {v,w} a vrať se na podmínku (B)  ANO => Přejdi na podmínku (E)

22 Edmondsova metoda (E) Je kořen vrcholu w shodný s kořenem vrcholu v ?  NE => P = [střídavá cesta A v (od kořene v k v )] sjednoceno [střídavá cesta A w (od w ke kořeni w )]; RETURN P  ANO => Sjednocení A v a A w vytváří květ (střídavou kružnici)

23 Edmondsova metoda

24  Květ se odřízne jak od grafu G, tak od párování M => G’, M’  Rekurzivně se hledá zlepšující cesta P’ na grafu G’ s výchozím párováním M’  Návrat ke grafu G a párování M  RETURN P

25 Edmondsova metoda

26

27

28

29

30

31

32 Rozvoj redukovaných květů  K4 – 12  K2 – 4 – K3 – 12  K2 – 4 – 5 – 6 – 7 – 12  K1 – 9 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 12  1 – 2 – 8 – 9 – 3 – 4 – 5 – 6 –

33 Zlepšující cesta

34 Maximální párování

35 Nalezené řešení Žádná dvojice nebude muset být vytvořena direktivně

36 Realizace v MATLABu

37  Knihovna 20 funkcí  Materiály na webu: - čeština: chybné - angličtina: pouze zjednodušeně  Nutnost vymyslet vlastní algoritmus pro zpětný rozvoj redukovaných květů

38 Děkuji za pozornost.


Stáhnout ppt "Edmondsova metoda hledání zlepšující cesty Zdeněk Fikar 26.11.2010 01ZTGB ~ Základy Teorie Grafů B."

Podobné prezentace


Reklamy Google