Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Mocnina částečně uspořádané množiny Ing. Emilie Šeptáková Katedra informatiky, VŠB TU Ostrava.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Mocnina částečně uspořádané množiny Ing. Emilie Šeptáková Katedra informatiky, VŠB TU Ostrava."— Transkript prezentace:

1 Mocnina částečně uspořádané množiny Ing. Emilie Šeptáková Katedra informatiky, VŠB TU Ostrava

2 WOFEX 2003 Úvod - motivace Jak roste počet dokumentů vytvořených v jazyce XML, roste také zájem o efektivní vyhledávání informací v nich uložených. Data, uložená v XML dokumentu, mají hierarchickou strukturu, která se dá zakreslit jako graf - strom. Je možné vyhledávat informace ve tvaru stromu v jiném stromu stejně jako např. v řetězcích? Cílem je využít mocninu posetu pro vyhledání vzoru ve tvaru stromu a přirozené uspořádání výsledku hledání. Objasnění pojmů: Částečně uspořádaná množina (partially ordered set), poset Grafická reprezentace posetu - Hasseův diagram Morfismy částečně uspořádaných množin Mocnina posetu Kardinalita posetu – počet elementů

3 WOFEX 2003 Definice částečně uspořádané množiny Podmnožina S kartézského součinu X  X se nazývá částečně uspořádaná na neprázdné množině X jestliže : 1.  x  X: (x, x)  S (R) 2.  x, y  X: jestliže (x, y)  S a (y, x)  S, pak x = y(AS) 3.  x, y, z  X: jestliže (x, y)  S a (y, z)  S, pak (x, z)  S (T ) Slabá inkluze - partial order (R) - reflexivní, (AS) - antisymetrická, (T) - tranzitivní relace Čteme: uspořádanou dvojici S := (X,  ) nazýváme částečně uspořádanou množinou [posetem], jestliže  je částečné uspořádání na X. X je nosič posetu, relace  se nazývá uspořádání množiny X prvky x, y, z  X nazýváme vrcholy nebo body nebo elementy O elementech můžeme říct, že jsou porovnatelné nebo neporovnatelné. [comparable or incomparable] řetěz [chain], antiřetěz [antichain], Kardinalita

4 WOFEX 2003 Definice uspořádané množiny Podmnožina R kartézského součinu X  X se nazývá uspořádaná na X jestliže : 1.  x  X: (x, x)  R (IR) 2.  x, y, z  X: (x, y)  R a (y, z)  R, pak (x, z)  R (T) (IR) - irreflexivní a (T) - tranzitivní relace Silná inkluze – order Čteme uspořádanou dvojici (X,<) nazýváme uspořádanou množinou, jestliže < je uspořádání na X.

5 WOFEX 2003 Příklady 1) X := {a, b, c, d} a S := { (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, c), (b, d), (a, c), (a, d)} S je částečně uspořádaná množina na X 2) Antiřetězec – značíme např. 4 X := {a, b, c, d} 4 := { (a, a), (b, b), (c, c), (d, d)} 3)Řetězec - značíme C 4 X := {a, b, c, d} C 4 := { (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, c), (c, d)} 4) N poset X := {a, b, c, d} N := { (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, c), (b, c), (b, d)} 5) S = (X,  ), X := {1, 2, 3, 4, 6, 12} a  znamená x je dělitelem y S := { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (6, 6), (12, 12), (1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 6), (4, 12), (6, 12) } 3 a 4 jsou neporovnatelné

6 WOFEX 2003 Jak reprezentovat poset Hasseovy diagramy posetů ab c d a b c d 1) 2) antiřetěz 43) řetěz C 4 a b c d 4) Letter N poset 5) ab c d

7 WOFEX 2003 Označení vrcholů posetu L je bijektivní zobrazení L: {1,..., n}  V(X), kde V(X) je množina všech vrcholů posetu (X,  ) o kardinalitě n. Konečný poset (X, , L) je přirozeně označený, jestliže x < y ve V(X), pak L -1 (x) < L -1 (y) v {1,...,n}, doména L. Lineární rozšíření posetu (X,  ) je poset (X,  *) takové, že pro x  y, pak x  * y a poset (X,  *) je řetězec. Označování bodů v Hasseově diagramu Minimální, maximální, nejmenší, největší prvek Každý konečný poset má přirozené označení natural labeled poset not natural labeled poset

8 WOFEX 2003 Algoritmy značení bodů Algoritmus zdola nahoru (zhora dolů): Nechť (X,  ) je konečný poset s |X| = n. 1.Najděte všechny minimální (maximální) prvky posetu (X,  ). 2.Odstraňte všechny přímky, které spojují s minimálními (maximálními) prvky. 3.Přiřaďte čísla 1, 2, 3,... ( n, n-1,...) minimálním (maximálním) prvkům. 4.Pro zbývající subposet opakujte výše uvedené kroky.

9 WOFEX 2003 Morfismy částečně uspořádaných množin Mějme částečně uspořádané množiny S =(X,  ) a P =(Y,  ). Zobrazení f z X do Y zachovává uspořádání jestliže  x, y  X: x  y, pak f(x)  f(y). Výsledkem zobrazení f(X) řetězce X, které zachovává uspořádání, je také řetězec. Mějme částečně uspořádané množiny S =(X,  ) a P =(Y,  ’ ). Bijektivní zobrazení f: X do Y, které zachovává uspořádaní, je nazýváno izomorfismem, jestliže f -1 také zachovává uspořádání. Označujeme X  Y nebo X = Y. Izomorfismus je relace ekvivalence na třídě posetů. Automorfismus je izomorfismus částečně uspoř. množiny na sebe. Počet všech automorfismů posetu (X,  ) je X!

10 WOFEX )X := {a, b, c} Y := {1, 2, 3} g := {(a, 1), (b, 3),(c, 2)} g je zobrazení X na Y zachovávající uspořádání g -1 nezachovává uspořádání Kolik je zobrazeních zachovávajících uspořádání f:X = C 3  Y = N ? 1)f(X) = C 1 4 možnosti a, b, c nebo d 2)f(X) = C 2 3 možnosti ac, bc, bd 3)f(X) = C 3 3x2=6 možností Celkem 10 možností Morfismy - příklady 3 b 1 c a 2 zobrazení g není isomorfní

11 WOFEX 2003 Mocnina posetu Mějme dvě částečně uspořádané množiny X a Y. Mějme množinu Y X všech zobrazení zachovávajících uspořádání z X do Y. Definujme binární relaci na Y X : f  g  x  X: f(x)  g(x), kde f, g  Y X. Pak (Y X,  ) je mocnina částečně uspořádané množiny Y na X. 2 1 C3C3 f i : 1  C 3 3 f i (1) = i, i=1,2,3 C31  C3C31  C3 1 1) C 3 1 2) R C 2 g i : C 2  R x y x = y 2 1 C2C2 x y

12 WOFEX Mocnina posetu - příklady 3) C 3 C2 2 1 C3C3 3 b a C2C f 1 =(a,1),(b,1)  11 f 2 =(a,1),(b,2)  Kardinalita |C 3 C2 |=6 Počet hran {C 3 C2 }=6 C 3 C2 4) C 3.C C3C3 c b a C3C C 3. C 

13 WOFEX 2003 b Kardinalita mocniny posetu Zobrazení mocniny posetu je velmi těžké. Kardinalitu mocniny posetu lze spočítat. Každé zobrazení f zachovávající uspořádání lze jednoznačně rozložit f = f 1 ° f 2, kde f 2 : X  Imf je zobrazení množiny na množinu zachovávající uspořádání a f 1 : Imf  Y je bijektivní zobrazení zachovávající uspořádání. | Y X | =  ((e (X, Imf) i (Imf, Y)) / Imf !) kde e(X, Imf) je počet různých uspořádání zachovávajících zobrazení na Imf, g : X  Imf a i(Imf, Y) je počet různých uspořádání zachovávajících bijektivních zobrazení f: Imf  Y. Imf jsou spojité, uspořádání zachovávající obrazy X - plné podposety (full subposet). a X! je počet všech automorfismů posetu (X,  ) c a Př. X! Existují 2 automorfismy f 1 := {(a,a),(b,b),(c,c)} a f 2 := {(a,b),(b,a),(c,c)}

14 WOFEX 2003 d ddd bcc Mocnina posetu - příklady 5) N C3 2 1 C3C3 3 b a c N aaa aac acc ccc bbc bbb bdd bbd  Kardinalita |N C3 |= C3C3 3 d b a c N

15 WOFEX 2003 b Mocnina posetu - strom c a X Y |Y X |= (2. 10)/2 = , 113, 115, 123, 125, 133, 135, 145, 155, 213, 215, 222, 223, 225, 233, 235, 245, 255, 313, 315, 323, 325, 333, 335, 345, 355, 415, 425, 435, 444, 445, 455, 515, 525, 535, 545, 555 celkem ) Y X

16 WOFEX Mocnina posetu - příklad Hasseův diagram Y X

17 WOFEX 2003 Mocnina posetu – příklad Celkem 14 prostých zobrazení

18 WOFEX 2003 Literatura [1]Neggers, J., Kim, H. S. : Basic Posets. Worls Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1998 [2]Šeptáková, E., Snášel, V., Ochodková, E. Vyhledávání na základě podobnosti v XML dokumentech. Sborník konference ZNALOSTI Ostrava ISBN [3]Beran, L. : Uspořádané množiny, Škola mladých matematiků, ÚV matematické olympiády nakladatelství Mladá fronta, 1978 [4]Beran, L. : Grupy a svazy. Matematický seminář SNTL, Praha 1974 [5]Mac Lane, S., Birkhoff, G. : Algebra. Vydavatelstvo technickej a ekonomickej literatury, 2. vydanie Bratislava 1974 [6]Duffus, D., Wille, R.: A Theorem On Partially Ordered Sets of Order-preserving Mappings, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 26, No. 1,August 1979, pp [7]Duffus., D., Rival, I.: A Logarithmic Property for Exponents of Partially Ordered Sets, Can. J. Math., Vol. XXX, No. 4, 1978, pp


Stáhnout ppt "Mocnina částečně uspořádané množiny Ing. Emilie Šeptáková Katedra informatiky, VŠB TU Ostrava."

Podobné prezentace


Reklamy Google