Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

JAK CHÁPAT PRAVDĚPODOBNOST? Matematika, fyzika a jejich vyučování Velké Meziříčí, 24. srpna 2010 Magdalena Hykšová.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "JAK CHÁPAT PRAVDĚPODOBNOST? Matematika, fyzika a jejich vyučování Velké Meziříčí, 24. srpna 2010 Magdalena Hykšová."— Transkript prezentace:

1 JAK CHÁPAT PRAVDĚPODOBNOST? Matematika, fyzika a jejich vyučování Velké Meziříčí, 24. srpna 2010 Magdalena Hykšová

2 Andrei Nikolajevič Kolmogorov, 1933: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

3 SUBJEKTIVNÍ INTERPRETACE PRAVDĚPODOBNOST = míra osobního přesvědčení nebo víry ve výskyt určitého jevu či události Václav Šimerka (1818 – 1887), 1882 Frank Plumpton Ramsey (1903 – 1930), 1931 (1926) Bruno de Finetti (1906 – 1985), 1931, 1937 Leonard Jimmie Savage (1917 – 1971), 1954

4 SUBJEKTIVNÍ INTERPRETACE Každodenní uvažování Touhle dobou snad na D1 nebudou kolony. Proti Rusku nemají naši hokejisté šanci. Tento lék by měl na Vaše potíže zabrat. Volby nejspíš vyhraje ČSSD. Když vyrazím v 16:10, tak ten vlak snad stihnu.

5 1. Který závodník má podle kanceláře Sazka a.s. největší šanci stát se v roce 2010 mistrem světa ve formuli 1?

6

7 sázka 1 Kč  výhra 2,55 Kč nebo nic

8 Podobně se můžeme ptát v následujících případech:

9 2. U které společnosti si máme vsadit na zápas Španělsko – Honduras na MS ve fotbale 2010? Název1 (výhra Š)X (remíza)2 (výhra H) Bet-at-home1,118,0015,00 Fortuna1,126,7013,00 Tipsport1,1313,0022,50

10 2. U které společnosti si máme vsadit na zápas Španělsko – Honduras na MS ve fotbale 2010? Název1 (výhra Š)X (remíza)2 (výhra H) Bet-at-home1,118,0015,00 Fortuna1,126,7013,00 Tipsport1,1313,0022,50 Čísla v tabulce: kolik sázková kancelář vyplatí za 1 Kč sázky na správný výsledek

11 2. U které společnosti si máme vsadit na zápas Španělsko – Honduras na MS ve fotbale 2010? Název1 (výhra Š)X (remíza)2 (výhra H) Bet-at-home1,118,0015,00 Fortuna1,126,7013,00 Tipsport1,1313,0022,50 Čísla v tabulce: kolik sázková kancelář vyplatí za 1 Kč sázky na správný výsledek a) Ať už zápas dopadne jakkoli, nejvíce vyplatí Tipsport

12 2. U které společnosti si máme vsadit na zápas Španělsko – Honduras na MS ve fotbale 2010? Název1 (výhra Š)X (remíza)2 (výhra H) Bet-at-home1,118,0015,00 Fortuna1,126,7013,00 Tipsport1,1313,0022,50 Čísla v tabulce: kolik sázková kancelář vyplatí za 1 Kč sázky na správný výsledek a) Ať už zápas dopadne jakkoli, nejvíce vyplatí Tipsport b) Nejpravděpodobnější výsledek: výhra Španělska

13 c) Představte si, že vsadíte na všechny možnosti tak, abyste v každém případě vyhráli 100 Kč. Kolik procent vsazené částky se vám vrátí? Název102Návratnost Bet-at-home1,118,0015,00 Fortuna1,126,7013,00 Tipsport1,1313,0022,50 Návratnost - např. pro Fortunu: abychom vyhráli 100 Kč v případě vítězství Španělska, musíme na ně vsadit Celkem zaplatíme:

14 c) Představte si, že vsadíte na všechny možnosti tak, abyste v každém případě vyhráli 100 Kč. Kolik procent vsazené částky se vám vrátí? Název102Návratnost Bet-at-home1,118,0015,0091,53 % Fortuna1,126,7013,0089,36 % Tipsport1,1313,0022,5099,37 % Návratnost - např. pro Fortunu: Celkem zaplatíme:

15 Kdo může na kurzových sázkách systematicky vydělávat? Název102Návratnost Bet-at-home1,118,0015,0091,53 % Fortuna1,126,7013,0089,36 % Tipsport1,1313,0022,5099,37 %

16 Kdo může na kurzových sázkách systematicky vydělávat? Sázková kancelář Ten, kdo dokáže sehnat lepší informace než ona Název102Návratnost Bet-at-home1,118,0015,0091,53 % Fortuna1,126,7013,0089,36 % Tipsport1,1313,0022,5099,37 %

17 SPRAVEDLIVÁ SÁZKA kurz sázky p... kolik musí sázející vsadit na jev A, aby v případě, že A nastane, vyhrál 1 Kč

18 SPRAVEDLIVÁ SÁZKA kurz sázky p... kolik musí sázející vsadit na jev A, aby v případě, že A nastane, vyhrál 1 Kč MS v hokeji 2010, finále Česká rep. – Rusko p Č = 1/4, p R = 4/5 Abych vyhrála S = 100 Kč, musím vsadit 25 Kč... na výhru České republiky, 80 Kč... na výhru Ruska

19 kurz sázky p... kolik musí sázející vsadit na jev A, aby v případě, že A nastane, vyhrál 1 Kč MS v hokeji 2010, finále Česká rep. – Rusko p Č = 1/4, p R = 9/10 Abych vyhrála S = 100 Kč, musím vsadit 25 Kč... na výhru České republiky, 90 Kč... na výhru Ruska zaplatím 115 Kč, vyhraji 100 Kč  návratnost:

20 MS v hokeji 2010, finále Česká rep. – Rusko p Č = 1/4, p R = 9/10 Abych vyhrála S = 100 Kč, musím vsadit 25 Kč... na výhru České republiky, 90 Kč... na výhru Ruska zaplatím 115 Kč, vyhraji 100 Kč  návratnost: p Č + p R > 1  sázející prodělá  spravedlivá sázka

21 SPRAVEDLIVÁ SÁZKA tomu, kdo navrhuje kurz sázky p musí hrozit, se sám ocitne v roli sázejícího

22 SPRAVEDLIVÁ SÁZKA tomu, kdo navrhuje kurz sázky p musí hrozit, se sám ocitne v roli sázejícího  připustíme kladné i záporné hodnoty sázek p Č + p R > 1... sázející navrhne S < 0 a vydělá p Č + p R 0 a vydělá  p Č + p R = 1

23 SPRAVEDLIVÁ SÁZKA S... hodnota výhry v případě, že nastane A (kladná nebo záporná) Zisk: Z(A) = S - pS = (1 - p) S Z(  A) = - pS p... pravděpodobnost, kterou bookmaker přisuzuje jevu A Aby zabránil jisté ztrátě, musí hodnoty p vyhovovat axiomům teorie pravděpodobnosti

24 3. Tomáš Berdych a Robin Soderling jsou podle sázkových kanceláří na stejné výkonnostní úrovni. Jaké jsou Berdychovy šance na výhru v jejich vzájemném zápase? X1

25 4. Doktor mi řekl, že mám šanci 1:3 na úplné uzdravení. Jaká je podle něj pravděpodobnost, že se zcela uzdravím? 31

26 Podobně jako u kurzových sázek, i zde lze ukázat, proč musí platit základní axiomy pravděpodobnosti. Pan Vychytralý vyzve Martina k sázce o to, zda 21. března bude teplota nad nulou nebo pod nulou. Martin si může libovolně zvolit kurz pro oba jevy, ale pan Vychytralý pak určí, kolik peněz na ně má vsadit. Martin : nad nulou … 3:1 pod nulou … 5:3 Je to rozumné?

27 Pan Vychytralý vyzve Martina k sázce o to, zda 21. března bude teplota nad nulou nebo pod nulou. Martin si může libovolně zvolit kurz pro oba jevy, ale pan Vychytralý pak určí, kolik peněz na ně má vsadit. Martin : nad nulou … 3:1 pod nulou … 5:3 Pan Vychytralý určí, že má Martin vsadit 6 tisíc na to, že bude nad nulou a 5 tisíc na to, že bude pod nulou. Kdo na tom vydělá a kolik?

28 Martin : nad nulou … 3:1 pod nulou … 5:3 Pan Vychytralý určí, že má Martin vsadit 6 tisíc na to, že bude nad nulou a 5 tisíc na to, že bude pod nulou. Kdo na tom vydělá a kolik? sázka nad 0pod 0Martinův zisk skutečnost nad 0 pod 0

29 Martin : nad nulou … 3:1 pod nulou … 5:3 Pan Vychytralý určí, že má Martin vsadit 6 tisíc na to, že bude nad nulou a 5 tisíc na to, že bude pod nulou. Kdo na tom vydělá a kolik? sázka nad 0pod 0Martinův zisk skutečnost nad 0+2 pod 0– 6

30 Martin : nad nulou … 3:1 pod nulou … 5:3 Pan Vychytralý určí, že má Martin vsadit 6 tisíc na to, že bude nad nulou a 5 tisíc na to, že bude pod nulou. Kdo na tom vydělá a kolik? sázka nad 0pod 0Martinův zisk skutečnost nad 0+2– 5– 5– 3– 3 pod 0– 6– 6+3– 3– 3

31 Jak tomu má Martin předejít? sázka nad 0pod 0Martinův zisk skutečnost nad 0+2– 5– 5– 3– 3 pod 0– 6– 6+3– 3– 3

32 Jak tomu má Martin předejít? sázka nad 0pod 0Martinův zisk skutečnost nad 0+2– 5– 5– 3– 3 pod 0– 6– 6+3– 3– 3

33 Jak tomu má Martin předejít? sázka nad 0pod 0Martinův zisk skutečnost nad 0+2– 5– 5– 3– 3 pod 0– 6–

34 Jak tomu má Martin předejít? sázka nad 0pod 0Martinův zisk skutečnost nad 0+3– 5– 5– 2– 2 pod 0– 9– 9+7– 2– 2

35 Jak tomu má Martin předejít? sázka nad 0pod 0Martinův zisk skutečnost nad 0+3– 5– 5– 2– 2 pod 0– 9–

36 Jak tomu má Martin předejít? sázka nad 0pod 0Martinův zisk skutečnost nad 0+4– 5– 5– 1– 1 pod 0– 12+9– 3– 3

37 Jak tomu má Martin předejít? sázka nad 0pod 0Martinův zisk skutečnost nad 0+4– 5– 5– 1– 1 pod 0–

38 Jak tomu má Martin předejít? sázka nad 0pod 0Martinův zisk skutečnost nad 0+5– 5– 5 0 pod 0– 15+14– 1– 1

39 Jak tomu má Martin předejít? sázka nad 0pod 0Martinův zisk skutečnost nad 0+5– 5– 5 0 pod 0–

40 Jak tomu má Martin předejít? sázka nad 0pod 0Martinův zisk skutečnost nad 0+5– 5– 5 0 pod 0–

41 Jak tomu má Martin předejít? sázka nad 0pod 0Martinův zisk skutečnost nad 0+6– 5– 5+1 pod 0– 18+16– 2– 2

42 sázka nad 0pod 0Martinův zisk skutečnost nad 0+6– 5– pod 0– 18+16– 2– 2 Martin : nad nulou … 3:1 pod nulou … 5:16

43 sázka nad 0pod 0Martinův zisk skutečnost nad 0+6– 5– pod 0– 18+16– 2– 2 Martin : nad nulou … 3:1 pod nulou … 5:16 Martin a pan Vychytralý se dohodnou, že si po stanovení kurzu hodí korunou a padne-li líc, vymění si role. Jaké hodnoty sázky na „pod nulou“ by měl nyní Martin zvolit?

44 sázka nad 0pod 0Martinův zisk skutečnost nad 0+5– 5– 50 pod 0– sázka: nad nulou … 3:1 pod nulou … 5:15 neboli 1:3

45 sázka nad 0pod 0Martinův zisk skutečnost nad 0+1– 1– 10 pod 0– 3– 3+30 sázka: nad nulou … 3:1 pod nulou … 1:3

46 sázka: nad nulou … 3:1... pravděpodobnost: pod nulou … 1:3... pravděpodobnost: sázka nad 0pod 0Martinův zisk skutečnost nad 0+1– 1– 10 pod 0– 3– 3+30

47 sázka: nad nulou … 3:1... pravděpodobnost: pod nulou … 1:3... pravděpodobnost: Opačné jevy: sázka nad 0pod 0Martinův zisk skutečnost nad 0+1– 1– 10 pod 0– 3– 3+30

48 5. RULETA Sázka 10 Kč na červenou: Průměrná výhra: 10 x 18 / 37 – 10 x 19 / 37 = – 0,27 Kč

49 6. Alici je 31 let, je svobodná, inteligentní, pohledná. Vystudovala filosofii, za studií vášnivě bránila práva menšin a demonstrovala před obchodním domem, který neměl zázemí pro kojící matky. Uspořádejte následující výroky od nejpravděpodobnějších po nejméně pravděpodobné. a) Alice je aktivní feministka. b) Alice je bankovní úřednice. c) Alice pracuje v malém knihkupectví. d) Alice je bankovní úřednice a aktivní feministka. e) Alice je bankovní úřednice a aktivní feministka, která navštěvuje kurzy jógy. f) Alice pracuje v malém knihkupectví a je aktivní feministka, která navštěvuje kurzy jógy.

50 6. Alici je 31 let, je svobodná, inteligentní, pohledná. Vystudovala filosofii, za studií vášnivě bránila práva menšin a demonstrovala před obchodním domem, který neměl zázemí pro kojící matky. Uspořádejte následující výroky od nejpravděpodobnějších po nejméně pravděpodobné. a) Alice je aktivní feministka. b) Alice je bankovní úřednice. c) Alice pracuje v malém knihkupectví. d) Alice je bankovní úřednice a aktivní feministka. e) Alice je bankovní úřednice a aktivní feministka, která navštěvuje kurzy jógy. f) Alice pracuje v malém knihkupectví a je aktivní feministka, která navštěvuje kurzy jógy. P(a) > P(d) > P(e) P(c) > P(f) P(b) > P(d) > P(e)

51 7. Kterému z následujících tvrzení přiřadíte vyšší pravděpodobnost? a)V březnu budou někde v Evropě povodně. b) V březnu v českých horách roztaje sníh a následkem toho budou povodně.

52 7. Kterému z následujících tvrzení přiřadíte vyšší pravděpodobnost? a)V březnu budou někde v Evropě povodně. b)V březnu v českých horách roztaje sníh a následkem toho budou povodně. P(a) > P(b)

53 ČETNOSTNÍ INTERPRETACE PRAVDĚPODOBNOST = limita relativní četnosti daného jevu v kolektivu (nekonečná posloupnost výsledků opakovaného pokusu, splňující dané axiomy) Robert Leslie Ellis (1817 – 1859), 1843 John Venn (1834 – 1923), 1866 Richard von Mises (1883 – 1953), 1931 Erich Kamke (1890 – 1961), 1932

54 ČETNOSTNÍ INTERPRETACE PRAVDĚPODOBNOST = limita relativní četnosti daného jevu v kolektivu (nekonečná posloupnost výsledků opakovaného pokusu, splňující dané axiomy)

55 ČETNOST V POPULACI četnost daného znaku v „kolektivu“ v běžném smyslu

56 8. Pravděpodobnost, že žena má rakovinu prsu, je 0,8%. Pokud ji má, pak pravděpodobnost, že mamogram bude pozitivní, je 90%. Pokud ji nemá, pak pravděpodobnost, že mamogram bude i tak pozitivní, je 7%. Představte si ženu, jejíž mamogram je pozitivní; jaká je pravděpodobnost, že má skutečně rakovinu? Osm žen z tisíce má rakovinu prsu. Sedm z těchto osmi žen bude mít pozitivní mamogram. Ze zbylých 992 žen, které rakovinu nemají, jich bude mít zhruba 70 rovněž pozitivní mamogram. Představte si skupinu žen, kterým vyšel mamogram pozitivní; kolik z nich má skutečně rakovinu prsu?

57 8. Osm žen z tisíce má rakovinu prsu. Sedm z těchto osmi žen bude mít pozitivní mamogram. Ze zbylých 992 žen, které rakovinu nemají, jich bude mít zhruba 70 rovněž pozitivní mamogram lidí 992 zdravých 7 pozitivní 1 negativní 70 pozitivní 922 negativní 8 nemocných P(nemocná|pozitivní) = 7/77 = 9,09 %

58 9. V Kocourkově provozují taxi dvě společnosti. Jedna má modré vozy, druhá zelené. Modrých vozů taxi jezdí po městě 15 %, zelených 85 %. Jednoho zimního večera za tmy a v mlze srazil automobil taxislužby mladého muže. Ten později vypověděl, že automobil byl modrý. Policie vyzkoušela, nakolik je muž schopen rozeznat barvu v podobných podmínkách jako onoho večera, a zjistila, že barvu dokáže určit správně v 80 % případů. Jaký závěr z těchto informací může udělat soudce, který řeší žalobu poškozeného na provozovatele taxislužby?

59 zelená auta % modrá auta % schopnost rozpoznat % 100 aut 15 modrých 17 modrých 68 zelených 12 modrých 3 zelená 85 zelených svědectví

60 zelená auta % modrá auta % schopnost rozpoznat % 100 aut 15 modrých 17 modrých 68 zelených 12 modrých 3 zelená 85 zelených P(modrý|svědectví) = 12/29 = 41,4 % svědectví

61 10. Před nástupem do nového zaměstnání musel David podstoupit rutinní preventivní prohlídku, jejíž součástí byl test na HIV. Výrobce testu na HIV uvádí, že test odhalí přítomnost viru u nemocné osoby s pravděpodobností 99,90 % a s pravděpodobností 99,99 % dá negativní výsledek u zdravé osoby. V České republice je virem nakažen přibližně 1 člověk z Po vyhodnocení testu lékař Davidovi zatelefonoval, že mu test vyšel pozitivní, a že musí znovu na odběr krve, aby se výsledek ověřil. Výsledek druhého testu bude znám až za týden. David zatím musí čekat, hlavou mu přitom běží nejčernější myšlenky. a) David se z hlediska rizika nákazy virem HIV považuje za průměrného Čecha. Jaká je pravděpodobnost po výsledku prvního testu, že má skutečně HIV? i) větší než 99 % ii) mezi 90 % a 99 % iii) mezi 60 % a 90 % iv) mezi 40 % a 60 % v) mezi 10 % a 40 % vi) mezi 1 % a 10 % vii) menší než 1 %

62 pozitivní výsledek u nemocné osoby... pravděpodobnost 99,90 % negativní výsledek u zdravé osoby... pravděpodobnost 99,99 % výskyt nemoci... 1 Čech z lidí 9999 zdravých 1 pozitivní 0 negativní 1 pozitivní 9998 negativní 1 nemocný 1 : 1

63 pozitivní výsledek u nemocné osoby... pravděpodobnost 99,90 % negativní výsledek u zdravé osoby... pravděpodobnost 99,99 % výskyt nemoci... 1 Čech z lidí 9999 zdravých 1 pozitivní 0 negativní 1 pozitivní 9998 negativní 1 nemocný P(nemocný|pozitivní) = 1/2

64 pozitivní výsledek u nemocné osoby... pravděpodobnost 99,90 % negativní výsledek u zdravé osoby... pravděpodobnost 99,99 % výskyt nemoci... 1 Čech z lidí 9999 zdravých 1 pozitivní 0 negativní 1 pozitivní 9998 negativní 1 nemocný P(nemocný|pozitivní) = 1/2

65 pozitivní výsledek u nemocné osoby... pravděpodobnost 99,90 % negativní výsledek u zdravé osoby... pravděpodobnost 99,99 % výskyt nemoci... 1 Čech z lidí 9999 zdravých 1 pozitivní 0 negativní 1 pozitivní 9998 negativní 1 nemocný P(nemocný|pozitivní) = 1/2 P(pozitivní|nemocný)  P(nemocný|pozitivní)

66 nemocnízdraví  pozitivní112 negativní09998  pozitivní výsledek u nemocné osoby... pravděpodobnost 99,90 % negativní výsledek u zdravé osoby... pravděpodobnost 99,99 % výskyt nemoci... 1 Čech z P(nemocný|pozitivní) = 1/2 = 50 % P(zdravý|pozitivní) = 1/2 = 50 %... falešná pozitivita

67 nemocnízdraví  pozitivní11011 negativní  pozitivní výsledek u nemocné osoby... pravděpodobnost 99,90 % negativní výsledek u zdravé osoby... pravděpodobnost 99,99 % výskyt nemoci... 1 ze P(nemocný|pozitivní) = 1/11 = 9,09 % P(zdravý|pozitivní) = 10/11 = 90,91 %

68 nemocnízdraví  pozitivní negativní  pozitivní výsledek u nemocné osoby... pravděpodobnost 99,90 % negativní výsledek u zdravé osoby... pravděpodobnost 99,99 % výskyt nemoci... 1 ze 100 P(nemocný|pozitivní) = 9990 / = 99,02 % P(zdravý|pozitivní) = 99 / = 0,98 %

69 11. Lékař má podezření, že potíže jeho pacienta, pana Veselého, působí streptokoková infekce. Provede mu výtěr z krku a do laboratoře pošle celkem 5 stěrů. Test není dokonalý: má-li pacient streptokokovou infekci, bude výsledek pozitivní v 70 % případů, ve zbývajících 30 % případů bude negativní. Je-li pacient zdráv, bude výsledek v 90 % případů negativní, v 10 % případů pozitivní. Výsledek laboratorních zkoušek je následující: ANO, NE, ANO, NE, ANO. Příznaky choroby nejsou příliš přesvědčivé a lékař na jejich základě odhadne pravděpodobnost streptokokové infekce na 0,5. Co z toho plyne? i) Výsledky testu jsou bezcenné. ii) Pacient streptokokovou infekci spíš nemá. iii) Je o něco málo pravděpodobnější, že pacient streptokokovou infekci má než nemá. iv) Je mnohem pravděpodobnější, že pacient streptokokovou infekci má než nemá.

70 nemocný... pozitivní test: 70 %, negativní test: 30 % zdravý... pozitivní test: 10 %, negativní test: 90 % výsledky: + – + – + P(+ – + – + | N) = 0,7 x 0,3 x 0,7 x 0,3 x 0,7 = 0,03087 = 3,087 % P(+ – + – + | Z) = 0,1 x 0,9 x 0,1 x 0,9 x 0,1 = 0,00081 = 0,081 % P(N)=P(Z)=0, lidí zdravých – + – jinak 9992 jinak nemocných 8 + – + – +

71 lidí zdravých – + – jinak 9992 jinak nemocných 8 + – + – + P(N| + – + – +) = 309/317 = 0,974 = 97,4 %

72 Bayes: nemocný... pozitivní test: 70 %, negativní test: 30 % zdravý... pozitivní test: 10 %, negativní test: 90 % výsledky: + – + – + P(+ – + – + | N) = 0,7 x 0,3 x 0,7 x 0,3 x 0,7 = 0,03087 = 3,087 % P(+ – + – + | Z) = 0,1 x 0,9 x 0,1 x 0,9 x 0,1 = 0,00081 = 0,081 % P(N)=P(Z)=0,5

73 lidí zdravých – + – jinak 9992 jinak nemocných 8 + – + – + Bayes:

74 lidí zdravých – + – jinak 9992 jinak nemocných 8 + – + – + Bayes:

75 nemocný... pozitivní test: 70 %, negativní test: 30 % zdravý... pozitivní test: 10 %, negativní test: 90 % výsledky: + – + – + P(+ – + – + | N) = 0,7 x 0,3 x 0,7 x 0,3 x 0,7 = 0,03087 = 3,087 % P(+ – + – + | Z) = 0,1 x 0,9 x 0,1 x 0,9 x 0,1 = 0,00081 = 0,081 % P(N)=0,9 P(Z)=0, lidí zdravých – + – jinak 9992 jinak nemocných 8 + – + – +

76 P(N| + – + – +) = 2778/2786 = 0,997 = 99,7 % lidí zdravých – + – jinak 9992 jinak nemocných 8 + – + – +

77 Bayes: nemocný... pozitivní test: 70 %, negativní test: 30 % zdravý... pozitivní test: 10 %, negativní test: 90 % výsledky: + – + – + P(+ – + – + | N) = 0,7 x 0,3 x 0,7 x 0,3 x 0,7 = 0,03087 = 3,087 % P(+ – + – + | Z) = 0,1 x 0,9 x 0,1 x 0,9 x 0,1 = 0,00081 = 0,081 % P(N)=0,9 P(Z)=0,1

78 Bayes: lidí zdravých – + – jinak 9992 jinak nemocných 8 + – + – +

79 LOGICKÁ INTERPRETACE PRAVDĚPODOBNOST = míra racionálního přesvědčení o platnosti určitého tvrzení Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), 1678 Bernard Bolzano (1781 – 1848), 1837 Tomáš Garrigue Masaryk (1851 – 1925), 1883 Johannes von Kries (1853 – 1928), 1886 John Maynard Keynes (1883 – 1946), 1921 Ludwig Wittgenstein (1889 – 1951), 1921 Emanuel Czuber (1851 – 1925), 1923 Otomar Pankraz (1903 – 1976), 1939 Rudolf Carnap (1891 – 1970), 1950

80 Evidence: všichni doposud pozorovaní havrani byli černí Hypotéza: všichni havrani jsou černí


Stáhnout ppt "JAK CHÁPAT PRAVDĚPODOBNOST? Matematika, fyzika a jejich vyučování Velké Meziříčí, 24. srpna 2010 Magdalena Hykšová."

Podobné prezentace


Reklamy Google