Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

FUNKCE. Závislost délky vegetační sezóny na nadmořské výšce Přímka naznačuje, že závislost je lineární a čím větší je nadmořská výška, tím kratší je vegetační.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "FUNKCE. Závislost délky vegetační sezóny na nadmořské výšce Přímka naznačuje, že závislost je lineární a čím větší je nadmořská výška, tím kratší je vegetační."— Transkript prezentace:

1 FUNKCE. Závislost délky vegetační sezóny na nadmořské výšce Přímka naznačuje, že závislost je lineární a čím větší je nadmořská výška, tím kratší je vegetační sezóna.

2 Definice funkce f. 1.Nechť A, B  R. Předpis, kterým se každému x  A přiřadí nejvýše jedno y  B, y = f (x ) se nazývá reálná funkce f jedné reálné proměnné z množiny A do množiny B. 2. D(f) = {x  R; existuje y  R tak, že y = f (x ) } je definiční obor funkce f. 3. R(f) = H(f) = {y  R; existuje x  D(f) tak, že y = f (x ) } je obor hodnot funkce f. Poznámka. Nechť A, B  R. 1. Kartézským součinem A x B rozumíme A x B = { [x, y], kde x  A a y  B}. Záleží na pořadí prvků ve dvojici!! 2.Grafem funkce f rozumíme G(f) = { [x, y]  A x B, kde y = f (x)}. 3. Nechť [x, y], [m, n]  A x B. [x, y] = [m, n] právě, když x = m a současně y = n.

3 Příklady. [0,0]1 1 Nejedná se o graf funkce. Existuje x takové, že k němu existují y 1 a y 2 tak, že y 1  y 2. x y2y2 y1y1 [0,0]1 1 y1y1 x1x1 x2x2 Jedná se o graf funkce. Definiční obor funkce je D( f ) = R – (x 1, x 2 ).

4 Speciální typy funkcí. Nechť A, B  R. 1. Funkce f je funkcí na množině A, jestliže D (f) = A. 2. Funkce f je funkcí na množinu B, jestliže R (f) = B. 3. Funkce f je funkce prostá na množině A, jestliže A  D (f) a současně pro každé dva body x 1, x 2  A, x 1  x 2 platí f (x 1 )  f ( x 2 ). 4. Nechť f je funkce definovaná na množině A, g je funkce definovaná na množině B. Nechť f (A)  B  . Pak definujeme funkci h na množině A tak, že h( x ) = g(f( x )). 5. f -1 se nazývá inverzní funkcí k funkci f na A  D (f), jestliže f je prostá na A  D (f) D(f -1 ) = f (A)  R( f ) a R(f -1 ) = A  D (f) [x, f(x)] = [f -1 (y), x] pro každé x  A  D (f). Poznámka. 1.Speciálně funkce identita I ( x ) = x, x  A  R. 2.Nechť f je funkce prostá na množině A  D (f). Označíme g = f -1. D(f -1 ) = f (A), R(f -1 ) = A. Odtud f (A)  D (g)  , g (A)  D (f)   a lze provést f -1 (f) = f (f -1 ) = I.

5 Příklad. člověkrodné číslopřiřazení f : D( f )  {všichni žijící lidé na zemi} D( f ) = {všichni lidé žijící v ČR} f je funkce prostá, nezobrazuje na {všechny 10-tice přirozených čísel} Příklad. přiřazení f :člověk číslo účtu D( f )  {všichni žijící lidé na zemi} D( f )  {všichni žijící lidé v ČR} f není funkce Příklad. přiřazení f :číslo účtučlověk f je funkce, není prostá, není na {všichni žijící lidé v ČR} f -1 je funkce z {všechny 10-tice přirozených čísel} na {všichni žijící v ČR} f -1 není funkce

6 Příklad. f ( x ) = x ½, D( f ) = <0, +  ), R ( f ) = <0, +  ), g ( x ) = x 2 + 1, D( g ) = R, R ( g ) = <1, +  ). f ( g (x)) = (x 2 + 1) 1/2, pokud R ( g )  D( f ) . To je ale pravda. g (f (x)) = (x ½ ) = x + 1, pokud R ( f )  D( g ) . To je ale pravda. Avšak f ( g (x))  g (f (x)) !!! Algebraické operace s funkcemi. (f + g )(x) = f ( x ) + g ( x ), totéž pro odčítání, násobení a dělení. Při tom ale x  D ( f )  D( g ) !!!!!. f ( x ) = g ( x ) právě, když předpisy f a g se rovnají a současně D ( f ) = D( g ). Příklad. f ( x ) = x ½, D( f ) = <0, +  ), R ( f ) = <0, +  ), g ( x ) = - x 2 - 1, D( g ) = R, R ( g ) = (- , -1>. f ( g (x)) = ( - x 2 - 1) 1/2. R ( g )  D( f ) = (- , -1>  <0, +  ) = . Proto f ( g (x)) nelze provést !! g (f (x)) = - (x ½ ) = - x – 1. R ( f )  D( g ) = <0, +  )  R  . Proto f ( g (x)) lze provést !!

7 Monotonie funkcí. Nechť f je funkce definovaná na množině A. 1. f je rostoucí na A  pro každé x, y  A, x < y je f (x ) < f ( y ). 2. f je klesající na A  pro každé x, y  A, x f ( y ). 3. f je neklesající na A  pro každé x, y  A, x < y je f (x )  f ( y ). 4. f je nerostoucí na A  pro každé x, y  A, x < y je f (x )  f ( y ).

8 Základní typy funkcí. Lineární funkce. y = ax + b a je směrnice přímky, určuje sklon přímky, b je posun po ose y.

9 Definiční obor i obor hodnot lineární funkce pro a  0 je R. Definiční obor lineární funkce pro a = 0 (konstantní funkce) je R. Obor hodnot je {b}. Grafem lineární funkce je přímka. Lineární funkce je rostoucí  a > 0 klesající  a < 0 nerostoucí  a  0 neklesající  a  0. K sestrojení grafu lineární funkce stačí určit 2 body: Pokud b ≠ 0, a ≠ 0 pak stačí určit x takové, že ax + b = 0, [0, b]. Pokud b = 0, a ≠ 0, pak [0, 0] [x, ax], kde x je libovolné různé od 0. Pokud a = 0, grafem je přímka rovnoběžná s osou x a procházející bodem [0, b].

10

11 Funkce absolutní hodnota. y = | ax + b | Pro ax + b > 0, a  0, je y = | ax + b | = ax + b, Pro ax + b < 0, a  0, je y = | ax + b | = - ax - b. - b / a ax + b- ax - b x y

12 Polynomy. y = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n Pokud a n  0, jedná se o polynom n – tého řádu. Definiční obor polynomu je R. Polynom 2. řádu – kvadratická funkce. y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2, a 2  0 Polynom 0. řádu – konstantní funkce. y = a 0 Polynom 1. řádu – lineární funkce. y = a 0 + a 1 x Grafem kvadratické funkce je parabola s vrcholem v bodě x = - a 1 / 2a 2. Parabola je určena 3 body: [x, 0], [0, y], [- a 1 / 2a 2, y], (pokud tyto body existují). Určit bod [x, 0] znamená vyřešit kvadratickou rovnici 0 = c + bx + a x 2. Diskriminant D = b 2 – 4ac. Reálné kořeny existují pouze pro D  0. x 1,2 = ( - b   D)/(2a)

13 Příklady.

14

15 Polynom 3. řádu. y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3, a 3  0 Příklady. Polynom stupně n může mít nejvýše n kořenů a (n – 1) vrcholů.

16 S rostoucím n pro pevné x:  klesají hodnoty polynomu y = x n k hodnotě 0 na intervalu (0, 1).  rostou hodnoty polynomu y = x n do +  na intervalu (1, +  ).

17 Lineární lomená funkce. y = (ax + b) / (cx + d), x  -d / c  Grafem racionální funkce je hyperbola.  Asymptoty hyperboly jsou x = - d / c, y = a / c

18 Mocninná funkce. y = x n  Pro n  N se jedná o polynom.  Pro – n  N se jedná o racionální lomenou funkci.  n = p / q, například y = x ½.

19 S rostoucím n  N pro pevné x:  klesají hodnoty polynomu y = x - n k hodnotě 0 na intervalu (1, +  ),  rostou hodnoty polynomu y = x - n do +  na intervalu (0, 1).

20 Příklad. Přírůstek populace, který závisí na populační hustotě a který je touto populační hustotou limitován, se často popisuje funkcí r ( N ) = aN / ( N + k ), N ≥ 0. Jedná se o lineární lomenou funkci s asymptotami N = - k, r = a.

21 Příklady k procvičení. 1. Rozhodněte, zda se jedná o funkce, nebo ne. 2. Nakreslete grafy funkcí Definujte oblasti monotonie. a) b),, c) 3. Jsou dány funkce f a g. Napište tvar funkcí h(x) = f(g(x)) a k(x)=g(f(x)). a)f(x) = 1 – x 2 g(x) = 2x b) f(x) = – x 2


Stáhnout ppt "FUNKCE. Závislost délky vegetační sezóny na nadmořské výšce Přímka naznačuje, že závislost je lineární a čím větší je nadmořská výška, tím kratší je vegetační."

Podobné prezentace


Reklamy Google