Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Gradientní metody Metoda největšího spádu (volný extrém) Zoutendijkova metoda (vázaný extrém)

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Gradientní metody Metoda největšího spádu (volný extrém) Zoutendijkova metoda (vázaný extrém)"— Transkript prezentace:

1

2 Gradientní metody Metoda největšího spádu (volný extrém) Zoutendijkova metoda (vázaný extrém)

3 Metoda největšího spádu Řešíme úlohu na volný extrém Předpoklad: funkce f je diferencovatelná Největší spád je ve směru gradientu Volíme výchozí bod Určíme směr Určíme délku k-tého kroku Konstruujeme posloupnost bodů

4 Pro lineární funkci je gradient směrnicí kolmice. Přímka účelové funkce se posouvá ve směru kolmice, tj. ve směru gradientu. Nejkratší cesta?

5 Gradientní metoda s krátkým krokem Volíme konstantní délku kroku Optimum: Sledujeme konvergenci: Zvolíme dostatečně malé - optimum:

6 Příklad 1 Minimalizujte funkci: Výchozí bod: Délka kroku:

7 Gradientní metoda s dlouhým krokem Pro každý krok počítáme délku kroku Pro největší zlepšení hodnoty účelové funkce Délka kroku – pomocná úloha

8 Příklad 1 b Stejná funkce i výchozí bod, hledáme takovou délku kroku,aby v bodě x 1 dosáhla funkce minima (lokálního). Vyjádříme x 1 a dosadíme do původní funkce f. Vzniklá funkce je konvexní funkce 1 proměnné, její bod minima najdeme pomocí první derivace=0.

9 Optimalizace s podmínkami Úloha s přípustným směrem Řešíme úlohu na vázaný extrém (omezující podmínky mohou být nelineární) Konstruujeme posloupnost bodů Řešení je přípustné: Snížení účelové funkce dosáhneme, pokud navíc platí:

10 Příklad 2 Je daná úloha: Výchozí bod: Vektor s je přípustným směrem, pokud platí: Ke snížení hodnoty účelové funkce dojde, jestliže: (Řešením může být více než jeden přípustný směr, v němž dojde ke snížení ÚF)

11 Grafické znázornění X 0 výchozí bod X=(3,1) globální minimum

12 Obecný algoritmus 1. krok - Výchozí řešení – Za výchozí bod iteračního postupu zvolíme libovolný bod x z množiny M, tj. libovolné přípustné řešení, které označíme x0, k = krok - Směr a délka kroku –Řešení (k+1) iteračního kroku vypočítáme pomocí směrového vektoru a délky kroku –Přitom musí platit: x k+1  M a f(x k+1 ) = f(x k + s k ) < f(x k ) 3. krok - Test optimality –Pokud nelze nalézt směrový vektor nebo délku kroku tak, aby byly splněny podmínky 2), je poslední nalezené řešení x k optimálním řešením a výpočet končí. –Jinak je určeno nové řešení x k+1, položíme k = k+1 a přejdeme ke kroku 2 - budeme hledat nový směr a délku kroku.

13 Zoutendijkova metoda 1. krok Zvolíme přípustné výchozí řešení x 0; k=0 Pokud bod leží na některé hraniční přímce (není vnitřním bodem množiny přípustných řešení), přidává se k úloze o optimálním směru podmínka:

14 Zoutendijkova metoda 2. krok Určení optimálního směru: Směr, který svírá minimální úhel s gradientem a je přípustný. Příslušná úloha je nelineární a nahrazuje se jednodušším lineárním vztahem – lineární normalizace vztahu

15 Úloha o optimálním směru Vypočítáme gradienty funkcí f a g v bodě x k a vyřešíme pomocnou úlohu lineárního programování o optimálním směru. Jestliže opt. řešení úlohy (OS) má nulovou hodnotu kritéria, pak je algoritmus u konce a řešení x k je optimálním řešením

16 Úloha o optimálním směru Úloha vede na řešení simplexem. Abychom zajistili nezápornost proměnných, přičteme 1:

17 Zoutendijkova metoda 3. krok: Určení optima Jestliže opt. řešení úlohy (OS) má nulovou hodnotu kritéria, pak je algoritmus u konce a řešení x k je optimálním řešením, jinak pokračujeme krokem 4.

18 Zoutendijkova metoda 4.Krok: Určení délky kroku z hlediska přípustnosti nového řešení a z hlediska největší možné celkové změny hodnoty účelové funkce. 5. krok – test optimality II. –Jestliže délka kroku nulová, je řešení x k je optimální –Jinak jsme nalezli nové řešení a přejdeme ke kroku 2.

19 Příklad 2b 1. krok Výchozí bod splňuje první 2 omezující podmínky jako rovnice, tj. leží na příslušných hraničních přímkách

20 Příklad 2b 2. Krok – úloha o OS

21

22 Hodnota optimální ÚF úlohy o optimálním směru není nula – řešení není optimální.

23 Příklad 2b- Určení délky kroku

24

25 Grafické znázornění X 0 =(2,1) výchozí bod X=(3,1) globální minimum Směr s 0 X 1 =(2,5;0,5)

26 ŘEŠENÍ JE OPTIMÁLNÍ


Stáhnout ppt "Gradientní metody Metoda největšího spádu (volný extrém) Zoutendijkova metoda (vázaný extrém)"

Podobné prezentace


Reklamy Google