kinematika bodu - základní pojmy,

Prezentace na téma: "kinematika bodu - základní pojmy,"— Transkript prezentace:

1 kinematika bodu - základní pojmy,
Dynamika I, 1. přednáška Obsah přednášky : rozdělení mechaniky, kinematika bodu - základní pojmy, základní veličiny kinematiky a vztahy mezi nimi, základní druhy pohybu bodu. Doba studia : asi 1,5 hodiny Cíl přednášky : seznámit studenty se základními zákonitostmi kinematiky bodu

2 Úvod Něco z historie Nezbytné znalosti Výklad Dynamika I, 1. přednáška
Mechanika je jedním z nejstarších oborů fyziky. Čtenář se doví něco málo z její historie. Nezbytné znalosti Pro studium dynamiky jsou nezbytné některé znalosti, zejména z matematiky. Které to jsou ? Výklad Samotný text první přednášky. Text je doprovázen animacemi. Klepnutím na tento symbol se animace spustí.

3 Něco z historie Dynamika I, 1. přednáška
Mechanika je jedním z nejstarších vědních oborů, jimiž se lidstvo odpradávna zabývalo. Již v antických dobách se lidé zajímali o vztah mezi silou a pohybem, touto silou způsobeným. Filosof pozoruje káru, taženou otrokem a vidí, že dva otroci káru táhnou rychleji. Loď s více veslaři pluje rychleji. Tato každodenní zkušenost nutně vedla k domněnce (nejčastěji připisované Aristotelovi), že čím větší síla působí na těleso, tím větší rychlostí se toto těleso pohybuje. Nulová síla pak znamená nulovou rychlost (když veslaři přestanou veslovat, loď se zastaví). Toto pravidlo bylo bezvýhradně přijímáno (mimo jiné i pro obrovskou autoritu Aristotelovu) až do dob renesance. Prvním, kdo toto pravidlo zpochybnil, byl italský hvězdář a myslitel Galileo Galilei. Ten nechal po mírně skloněné rovině kutálet válec a v pravidelných časových intervalech si dělal značky, určující okamžitou polohu válce. (Traduje se, že v době neexistence přesné časomíry, zejména pro krátké časy, použil k určení shodných časových intervalů vlastní tep.) Zjistil, že dráha válce v jednotlivých časových úsecích se zvětšuje, a tedy i rychlost se neustále zvětšuje, přestože působící síla (zemská přitažlivost) je stále stejná. Pravidlo, že čím je větší síla, tím je větší rychlost, tedy nemůže být správné, jakkoliv velkým filosofem Aristoteles byl.

4 Něco z historie Dynamika I, 1. přednáška
K tomuto závěru mohl koneckonců dojít i Aristoteles, kdyby provedl následující myšlenkový pokus : Táhne-li otrok káru, tato se pohybuje určitou rychlostí. Když ji pustí, kára se zastaví. Přesně vzato, zastaví se na určité dráze. Jak bychom mohli tuto dráhu prodloužit ? Nejsnáze tak, že cestu před károu urovnáme a odstraníme překážky. Jestliže cestu nejen urovnáme, ale dokonce vydláždíme rovnými dlaždicemi, bude brzdná dráha ještě větší. Až doposud si všechno můžeme skutečně ověřit reálným pokusem. Zkusme si však představit, že cestu před károu budeme pořád zdokonalovat (a brzdná dráha se bude stále prodlužovat), až bude cesta dokonale hladká ! (To však si můžeme právě jenom představit, reálně se nám to nikdy nepodaří.) Bude-li cesta dokonale hladká, pak se kára zřejmě nikdy nezastaví. To nás vede k závěru, ke kterému dospěl poprvé právě Galileo, že nulová síla neznamená nulovou rychlost, ale nulovou změnu rychlosti (rychlost je konstantní). Čím pak je větší síla, tím je větší nikoliv samotná rychlost, ale její změna.

5 Něco z historie Dynamika I, 1. přednáška
Počátky moderní mechaniky byly úzce spojeny s astronomií, dalším prastarým vědním oborem. Laskavý čtenář se jistě nebude zlobit, uděláme-li si malý výlet do historie astronomie. Již od starověku lidé vzhlíželi ke hvězdám a snažili se porozumět jejich pohybu po nebeské báni. Vedla je k tomu potřeba spolehlivého kalendáře, který by určoval, kdy sít, kdy sklízet, atd. Později, s rozvojem námořní plavby, k tomu přibyla potřeba navigace. Další příčinou rozvoje astronomie byla víra, že poloha planet tak či onak předurčuje lidský osud. Astrologie se tak stala “živitelkou” astronomie. Jedním z prvních modelů, popisujících a vysvětlujících pohyb hvězd a planet, byl geocentrický model, pocházející od Ptolemaia. Podle něj se Slunce, stejně tak jako hvězdy, společně otáčejí okolo Země. Tomuto modelu dobře odpovídal zdánlivý pozorovaný pohyb stálic. Horší už to bylo s pohybem Slunce, Měsíce a planet, “bludných hvězd”, jejichž poloha vůči ostatním hvězdám se mění. Tento problém se snažila antická astronomie odstranit zavedením tzv. “sfér”. V centru všehomíra samozřejmě zůstávala Země. Pak však následovaly sféry Měsíce, Merkuru, Venuše, Slunce, Marsu, Jupiteru a Saturnu (více planet tehdy nebylo známo) a teprve pak sféra stálic. Každá ze sfér se otáčela samostatně. Tento model vysvětloval měnící se polohu Slunce, Měsíce a planet jak vůči sobě, tak vůči “pozadí” stálic.

6 Něco z historie Dynamika I, 1. přednáška
Teprve Mikuláš Koperník a jeho heliocentrický model přinesl náhled zásadně odlišný. (Dlužno říci, že ani tento model nebyl zcela nový. I představa Země, obíhající okolo Slunce, byla formulována již ve starověku. Byla však zavržena a zapomenuta.) Následovalo období bouřlivých diskusí, vášnivého přesvědčování a zatracování. Tato diskuse byla nejen vědecká, astronomická, ale též navýsost teologická. Vždyť kdyby Země nebyla středem Vesmíru, proč by právě na ní Bůh stvořil život ! Průlom do sporu přinesli Galileo Galilei, Tycho Brahe a především Jan Kepler. Galileo Galilei bývá označován za vynálezce dalekohledu. To není tak docela pravdou. Galileo dostal z Nizozemí jakýsi ne zcela fungující vzorek “dívací trubičky”. Po jejím podrobném studiu se mu podařilo trubičku zdokonalit tak, že byla použitelná. Touto trubičkou (jejíž přibližovací schopnost zhruba odpovídala divadelnímu kukátku, a která ještě neměla ani jméno) poprvé pozoroval čtyři měsíce Jupiterovy (bylo to roku 1609). Tím přinesl obrovský argument ve prospěch heliocentrického modelu. Neboť jestliže existují alespoň čtyři vesmírná tělesa, jež prokazatelně neobíhají okolo Země, proč by ostatní měla. (Galileovi odpůrci argumentovali např. také tím, že se přece nepotřebují dívat do Vesmíru jakousi trubičkou, protože chtějí-li se o něm něco dovědět, mohou si to přečíst v bibli.)

7 Něco z historie Dynamika I, 1. přednáška
Jedním z vědeckých účastníků sporu byl dánský šlechtic Tycho Brahe. Ten byl především astronomem - pozorovatelem. Na ostrově Hven pozoroval výbuch supernovy v souhvězdí Kassiopea a tím rozmetal představy o neměnnosti Vesmíru. Poté, co se nepohodl s novým dánským králem, přestěhoval se do Prahy na dvůr císaře Rudolfa II, kde se stal jeho dvorním hvězdářem. Dvacet let života věnoval pečlivému měření poloh planet, čímž poskytl obrovský studijní materiál Keplerovi. Už jenom způsob vedení vědeckého sporu pomocí pozorování a měření objektivní skutečnosti, namísto filosofických a teologických disputací byl v té době něčím zcela novým. Tycho Brahe byl zastáncem geocentrické teorie. Spor zatím neměl jednoznačné řešení, protože ani ptolemaiovský, ani koperníkovský model zcela neodpovídaly pozorované a měřené skutečnosti. Vida tyto disproporce, vytvořil Brahe svůj vlastní model modifikací geocentrického modelu. Podle něj se měly planety otáčet okolo Slunce a spolu s ním pak rotovat okolo Země. Budiž Brahovi přičteno k jeho vědecké cti, že měření prováděl naprosto poctivě, jakkoliv jím samým změřené hodnoty neodpovídaly jeho vlastní teorii. Skloňme se též před jeho houževnatostí, se kterou po léta prováděl rutinní měření, aniž by si mohl být jistý, že tato činnost povede k nějakým užitečným závěrům.

8 Něco z historie Dynamika I, 1. přednáška
Tycho Brahe vytvořil rozsáhlé tabulky, zachycující polohu jednotlivých planet na hvězdné obloze v různých ročních dobách. Tyto tabulky popisovaly velmi detailně subjektivně pozorovanou skutečnost. Tycho Brahe však nebyl natolik matematicky vybaven, aby z tohoto obrovského množství dat byl schopen odvodit nějaké pravidlo. Tohoto úkolu se ujal Brahův současník a Rudolfův dvorní matematik Jan Kepler. (Začal zkoumáním dráhy planety Mars, což bylo velmi šťastné, neboť právě tato planeta vykazuje značnou excentricitu své dráhy, narozdíl např. od dráhy Venuše.) Po šesti letech trpělivé práce, po smrti Brahově, který se již nedočkal plodů své práce, dospěl Kepler k řešení, které publikoval ve svém díle Astronomia Nova roku 1609. Musel pro to odvrhnout všechna vžitá dogmata, včetně toho nejzakořeněnějšího. Ať už se astronomové, astrologové, filosofové a teologové jakkoliv přeli, ať už věřili, že Slunce obíhá okolo Země nebo naopak, v jednom se vždy vzácně shodli. Dráhou, po které to či ono těleso obíhá, je kružnice, tato nejdokonalejší křivka. Bůh si jistě nemohl zvolit jinou křivku, než právě kružnici. Teprve když Kepler připustil, že dráha planet by nemusela být nutně kružnice, ale její obecnější podoba, začaly mu výpočty konečně souhlasit s Brahovými čísly. (Uvědomíme-li si, že všechny poměrně náročné výpočty dělal ručně, nejen bez kalkulačky, ale i bez logaritmického pravítka, musíme smeknout.) Zdánlivá dráha planety Mars na pozadí vzdálených hvězd.

9 Něco z historie Dynamika I, 1. přednáška
Nejprve na Marsu, pak na ostatních planetách se přesvědčil, že polohu každé planety v kterýkoliv okamžik lze vypočíst z jednoduchého modelu, vyjádřeného dvěma pravidly, později nazývanými První a Druhý Keplerův zákon : 1. Každá planeta obíhá okolo Slunce po eliptické dráze, v jejímž jednom ohnisku se Slunce nachází. 2. Obvodová rychlost planety se mění tak, že její plošná rychlost je konstantní. Plošnou rychlostí je myšlena plocha, vyplněná průvodičem planety od Slunce, za jednotku času. K těmto pravidlům později Kepler přidal další, Třetí Keplerův zákon : 3. Čtverce oběžných dob planet jsou úměrné trojmocím hlavních poloos dráhy. Tento konečný model Vesmíru působil jako bomba. Náhle všechno do sebe zapadalo. Každé z nesčíselného množství Brahových měření bylo možno zpětně vypočíst podle jednoduché teorie. Konečně byly planety tam, kde by podle teorie měly být. Bylo jasné, že Vesmír vypadá právě takto. (O existenci jiných planetárních soustav, neřkuli jiných galaxií, se tehdy nevědělo. Prvním, kdo předpověděl jejich existenci, byl Giordano Bruno, a ten byl jako nebezpečný radikál a kacíř inkvizicí upálen. I Galileo měl s inkvizicí problémy.)

10 Něco z historie Dynamika I, 1. přednáška Vraťme se však k mechanice.
Její základní kámen položil britský vědec, sir Isaac Newton svými třemi zákony, publikovanými poprvé r. 1687 v historickém díle Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Matematické principy přírodních věd). Prvním z nich se vracíme ke Galileovi a k jeho myšlence, že nepřítomnost působící síly neznamená nulovou rychlost, ale nulovou změnu rychlosti. Newton ji formuloval ve svém Prvním Newtonově zákonu, zákonu setrvačnosti : 1. Každé těleso setrvává ve stavu klidu nebo rovnoměrného přímočarého pohybu, pokud není přinuceno vnějšími silami tento svůj stav změnit. Právě ono „nebo rovnoměrného přímočarého pohybu“ zdůrazňuje nulovou změnu rychlosti a tedy konstantní (byť nenulovou) rychlost.

11 Něco z historie Dynamika I, 1. přednáška
Druhý Newtonův zákon nám pak říká jaký je ten vztah mezi působící silou a změnou rychlosti, touto silou způsobenou. Známe ho jako zákon síly : 2. Změna rychlosti tělesa je přímo úměrná působící síle, konstantou úměrnosti je hmotnost tělesa. Změnu rychlosti, vztaženou na jednotku času, dnes nazýváme zrychlením. V Newtonově době se však tento pojem ještě nepoužíval. Třetí Newtonův zákon, zákon akce a reakce, vypovídá o vzájemném silovém působení mezi tělesy : 3. Dvě tělesa, která jsou v interakci, na sebe navzájem působí silami stejně velkými, opačně orientovanými.

12 Něco z historie Dynamika I, 1. přednáška
K těmto zákonům přibývá ještě všeobecně známý (viz historka o jablku) zákon gravitační : Dvě tělesa jsou k sobě navzájem přitahována silou přímo úměrnou jejich hmotnosti a nepřímo úměrnou čtverci vzdálenosti mezi nimi. Tyto zákony jsou nejen zákony „nebeské mechaniky“, podle nichž se pohybují planety na své pouti okolo Slunce, ale obecně platnými „zákony pohybu“, podle nichž také např. kmitá tenká membrána telefonního sluchátka. Skutečnost, že veškerý pohyb, počínaje pohybem galaxií, hvězd a planet a konče např. pohybem míče, poskakujícího po hřišti, se řídí jediným jednoduchým pravidlem, nás nemůže nepřivést k myšlenkám o Bohu.

13 Něco z historie Dynamika I, 1. přednáška
Prvním důkazem platnosti Newtonových zákonů byla potvrzená předpověď anglického astronoma Edmonda Halleyho, Newtonova současníka a kolegy. Ten roku 1703 právě na základě aplikace čerstvé vědecké novinky, Newtonových zákonů, předpověděl návrat komety, která podnes nese jeho jméno, v roce 1758 (předtím byla pozorována naposledy v r. 1682). Britský patriot Halley ve své předpovědi vyjádřil víru, že ... „Upřímné potomstvo jistě neodmítne přiznat, že toto bylo poprvé objeveno Angličanem.“ Když byla kometa na vánoce uvedeného roku, šestnáct let po Halleyho smrti, skutečně pozorována, byla tím nejen jeho předpověď, ale hlavně Newtonovy zákony pohybu stvrzeny. Dnes víme, že tyto zákony nejsou obecně platnými pravidly, že pouze dobře popisují velmi širokou škálu fyzikálních jevů. Existují však dvě okrajové skupiny jevů, které nelze vysvětlit pomocí Newtonových zákonů. Jsou to jednak jevy, týkající extrémně velkého prostoru a extrémně velkých rychlostí, např. galaxie (relativistická fyzika), jednak jevy, týkající se extrémně malých těles, atomových částic (kvantová fyzika). Je však zřejmé, že v běžné technické praxi zcela vystačíme s klasickou, tzv. newtonovskou mechanikou, nádhernou svou jednoduchostí. zpět na úvod

14 Nezbytné znalosti Dynamika I, 1. přednáška
Diferenciální počet, derivace, integrály, jejich symbolické značení. derivace x podle t (podle času) derivace y podle x (podle souřadnice) derivace vektoru r podle t (podle času) integrál funkce f v čase (časový integrál) určitý integrál funkce f v čase (časový integrál v mezích)

15 Nezbytné znalosti Dynamika I, 1. přednáška
Pojem skaláru a vektoru, vektorová algebra. Vektorová veličina je charakterizována velikostí, směrem a orientací. vektor - má velikost a směr, pouze velikost vektoru, složky vektoru , úseky na osách x, y a z (souřadnice bodu), jednotkové vektory - mají velikost 1 a směr os x, y a z.

16 Nezbytné znalosti Dynamika I, 1. přednáška
Pojem skaláru a vektoru, vektorová algebra. Vektorová veličina je charakterizována velikostí, směrem a orientací. Velikost vektoru je : Směr vektoru je dán směrovými úhly : a - úhel od osy x k vektoru r, b - úhel od osy y k vektoru r, g - úhel od osy z k vektoru r. Velikosti složek jsou naopak :

17 Nezbytné znalosti Dynamika I, 1. přednáška
Pojem skaláru a vektoru, vektorová algebra. Vektorová veličina je charakterizována velikostí, směrem a orientací. Velikost vektoru je : V rovině je situace podstatně jednodušší. Směr vektoru je dán směrovým úhlem : a=f - úhel od osy x k vektoru r, Velikosti složek jsou naopak :

18 Nezbytné znalosti Dynamika I, 1. přednáška
Pojem skaláru a vektoru, vektorová algebra. Vektorová veličina je charakterizována velikostí, směrem a orientací. Vektorový součet : Skalární a vektorový součet a součin. kde : Výsledkem vektorového součtu je vektor.

19 Nezbytné znalosti Dynamika I, 1. přednáška
Pojem skaláru a vektoru, vektorová algebra. Vektorová veličina je charakterizována velikostí, směrem a orientací. Skalární součin : Skalární a vektorový součet a součin. Skalární součin dvou rovnoběžných vektorů (f=0) : Skalární součin dvou kolmých vektorů (f=90º) : Výsledkem skalárního součinu je skalár (číslo).

20 Nezbytné znalosti Dynamika I, 1. přednáška
Pojem skaláru a vektoru, vektorová algebra. Vektorová veličina je charakterizována velikostí, směrem a orientací. Vektorový součin : Skalární a vektorový součet a součin. Výsledkem vektorového součinu je vektor.

21 Nezbytné znalosti I [kg·m2] - hmotový moment setrvačnosti
Dynamika I, 1. přednáška Nezbytné znalosti Použité značení. označení : jednotka : fyzikální veličina : g = [m/s2] - gravitační zrychlení t [s, min, hod, ...] - čas s, x, y, ... [m, mm, km, ...] - dráha v [m/s, km/hod] - rychlost a [m/s2] - zrychlení f [º, rad] - úhel natočení (někdy označován jako úhlová dráha), fázový posuv w [rad/s, s-1] - úhlová rychlost, kruhová frekvence e [rad/s2] - úhlové zrychlení F [N] - síla G [N] - gravitační síla m [kg, t] - hmotnost I [kg·m2] - hmotový moment setrvačnosti J [m4] - plošný moment setrvačnosti p, H [kg·m/s] - hybnost hmoty I [N·s] - impuls síly A [J, kg·m2/s2] - mechanická práce E [J] - energie f [-, Hz] - koeficient smykového tření, frekvence

22 Nezbytné znalosti Dynamika I, 1. přednáška Základní jednotky.
jednotka : fyzikální veličina : [m] {metr} - délka [s] {sekunda} - čas [kg] {kilogram} - hmotnost [A] {ampér} - elektrický proud [K] {kelvin} - teplota [cd] {kandela} - svítivost [mol] {mol} - látkové množství doplňkové jednotky : [rad] {radián} - úhel 1 rad = (180/p)º  57,3 º [srad] {steradián} - prostorový úhel v mechanice vystačíme s těmito třemi

23 Nezbytné znalosti Dynamika I, 1. přednáška Řecká abeceda :
A a alfa N n ný B b beta X x ksí G g gamma O o omikron D d delta P p pí E e epsilon R r ró Z z dzéta S s sigma H h éta T t tau Q J théta U u ypsilon I i ijóta F f fí K k kappa C c chí L l lambda Y y psí M m mí W w omega zpět na úvod

24 mechanika statika dynamika
Dynamika I, 1. přednáška Předmět Dynamika je součástí většího předmětu Mechanika. I samotný předmět Mechanika můžeme chápat v širším rámci a dělit jej na mechaniku vnějších sil nebo též mechaniku tuhých těles (statika a dynamika) a mechaniku vnitřních sil neboli mechaniku poddajných (pružnost a pevnost). mechanika statika dynamika Statika se zabývá působením sil na tělesa, která jsou v klidu. Dynamika se zabývá působením sil na pohybující se tělesa a vyšetřováním pohybu těles v závislosti na působících silách.

25 Základy mechaniky položil Isaac Newton (1642-1727)
Dynamika I, 1. přednáška Základy mechaniky položil Isaac Newton ( ) ve svém díle „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1687). Lze je shrnout do čtyř tzv. Newtonových zákonů. 1. Newtonův zákon - zákon setrvačnosti. Těleso zůstává v klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém, jestliže není přinuceno vnějšími silami tento svůj stav změnit. 2. Newtonův zákon - zákon síly. Působí-li na těleso vnější síla, je změna rychlosti tělesa přímo úměrná této působící síle, přičemž konstantou úměrnosti je hmotnost tělesa. Tento zákon obvykle vyjadřujeme ve formě rovnice : tedy hmotnost · zrychlení = síla 3. Newtonův zákon - zákon akce a reakce. Dvě tělesa, která jsou ve vzájemném kontaktu, na sebe působí silami stejně velkými, opačně orientovanými.

26 a nepřímo úměrnou čtverci vzdálenosti mezi oběma tělesy.
Dynamika I, 1. přednáška Newtonův gravitační zákon. Dvě tělesa se navzájem přitahují silou, přímo úměrnou hmotnosti obou těles a nepřímo úměrnou čtverci vzdálenosti mezi oběma tělesy. V matematické podobě pak : k = 6,67·10-11 kg-1·m3·s-2 - gravitační konstanta, m1 - hmotnost jednoho tělesa, m2 - hmotnost druhého tělesa, r - vzdálenost mezi tělesy. Na povrchu Země pak je : m1 = 5,98·1024 kg - hmotnost Země, r = km - poloměr Země. Přitažlivá (tíhová) síla pak je : kde g je gravitační zrychlení :

27 V dynamice se budeme zabývat pohybem tří základních typů objektů.
Dynamika I, 1. přednáška V dynamice se budeme zabývat pohybem tří základních typů objektů. Bod - je objekt, jenž nemá žádné rozměry (ale má jistou hmotnost). Je zřejmé, že tento pojem je pojmem abstraktním. Žádné reálně těleso nemůže být skutečně bodem. Přesto je tato abstrakce užitečná a mnoho případů pohybu reálného tělesa lze se zanedbatelnou chybou zredukovat na pohyb hmotného bodu. Těleso - je objekt nezanedbatelných rozměrů, nedeformovatelný. V mechanice zavádíme předpoklad absolutně tuhého tělesa. To znamená, že deformace tělesa vlivem působících sil je zanedbatelná. Dynamika poddajných těles (jejichž deformace není zanedbatelná) přesahuje rozsah tohoto učebního textu. Soustava těles - je objekt, složený z několika těles, jejichž vzájemná poloha se může měnit. Soustavu těles nazýváme mechanismem.

28 dynamika kinematika dynamika
Dynamika I, 1. přednáška Zabývá-li se dynamika vztahem mezi pohybem a silami, pak je účelné zkoumat nejprve samotné zákonitosti pohybu a teprve pak se ptát na závislost na silách. dynamika kinematika dynamika jen pohyb pohyb a síly Kinematika se zabývá zákonitostmi pohybu. Vztahem mezi základními kinematickými veličinami, t.j. časem, dráhou, rychlostí a zrychlením. Dynamika se zabývá vztahem mezi základními veličinami dynamiky, t.j. hmotou, pohybem a silami.

29 Kinematika - nauka o pohybu
Dynamika I, 1. přednáška Kinematika - nauka o pohybu Kinematika se zabývá popisem a vyšetřováním pohybu bodu, tělesa nebo soustavy těles. Pohybem rozumíme změnu polohy v čase. Polohou je míněna poloha v prostoru, ve kterém se bod nebo těleso nachází. Prostor je spojitý (bod může v prostoru zaujmout jakoukoliv polohu). Trojrozměrný prostor - směr dopředu-dozadu, doprava-doleva, nahoru-dolů. Dvourozměrný prostor - rovina, obecně však jakákoliv plocha. Jednorozměrný prostor - křivka, ve zvláštním případě přímka. V trojrozměrném prostoru je poloha bodu jednoznačně určena třemi souřadnicemi. Ve dvourozměrném prostoru je poloha bodu určena dvěma souřadnicemi. V jednorozměrném prostoru je poloha bodu jednoznačně dána jedinou souřadnicí. Čas je jednorozměrná, spojitá, skalární veličina, jeho změna je nezávislá, plyne rovnoměrně vždy dopředu a je absolutní, tedy pro všechna tělesa a pro všechny pozorovatele společný.

30 Stupeň volnosti je možný nezávislý pohyb.
Dynamika I, 1. přednáška Jedním ze základních pojmů kinematiky a mechaniky je stupeň volnosti. Pohyblivost jakéhokoliv objektu je dána počtem stupňů volnosti. Stupeň volnosti je možný nezávislý pohyb. z y x „Možný pohyb“ - není důležité, zda pohyb skutečně nastane. Důležité je, že může nastat (nic mu nebrání). Hmotný bod padá volným pádem v prostoru. Padá svisle dolů. Ale mohl by se pohybovat i ve dvou vodorovných směrech (třeba kdyby zafoukal vítr). Může tedy vykonávat tři pohyby, má tři stupně volnosti. „Nezávislý pohyb“ - mezi dvěma pohyby, jež představují dva stupně volnosti, nesmí platit žádný explicitní vztah, daný vnějšími okolnostmi. x Hmotný bod je vázán ke kruhové trajektorii. Vykonává pohyb ve dvou směrech - x a y. Pohyb v jednom směru (např. y) však je určen pohybem v jiném směru (x). Jen jeden z těchto pohybů je nezávislý, bod má jeden stupeň volnosti. {nezávislá souřadnice} y

31 Může se pohybovat pouze daným směrem.
Dynamika I, 1. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os Hmotný bod, jehož pohyb je pevně vázaný na danou křivku (dráhu, trajektorii), má 1º volnosti. Může se pohybovat pouze daným směrem. Například pohyb vlaku je vázán k dané trajektorii - ke kolejím. Navlékneme-li korálek na drát, bude jeho pohyb vázán k dané trajektorii.

32 je-li pohyb bodu omezen vazbami, má méně stupňů volnosti
Dynamika I, 1. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os je-li pohyb bodu omezen vazbami, má méně stupňů volnosti Hmotný bod, jenž se může pohybovat v rovině nezávisle ve dvou směrech, má 2º volnosti. Rugbyový míč, vržený hráčem, se pohybuje nezávisle ve směru vodorovném a svislém. Rovinnost plochy, k níž je vázán pohyb bodu, není nutnou podmínkou. Turista, toulající se po horách, mění svou polohu ve třech směrech. Jeho nadmořská výška však není nezávislá, závisí na jeho geografických souřadnicích. Má tedy 2º volnosti.

33 je-li pohyb bodu omezen vazbami, má méně stupňů volnosti
Dynamika I, 1. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os je-li pohyb bodu omezen vazbami, má méně stupňů volnosti Hmotný bod, jenž se může pohybovat v prostoru nezávisle ve třech směrech, má 3º volnosti. Zafouká-li boční vítr, rugbyový míč se vychýlí z roviny, v níž byl vržen. Bude nezávisle měnit svou polohu jak ve svislém směru (nahoru a dolů), tak ve dvou vodorovných směrech (dopředu a do strany). Poloha letadla, sledovaného střediskem letového provozu, je dána dvěma geografickými souřadnicemi a nadmořskou výškou. Má 3º volnosti.

34 Těleso, konající rovinný pohyb, se může pohybovat nezávisle
Dynamika I, 1. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os Těleso, konající rovinný pohyb, se může pohybovat nezávisle ve dvou směrech a může se otáčet. Má 3º volnosti. Lodička na hladině může plout dopředu a do stran a může se otáčet. y pohyb ve směru osy y pohyb ve směru osy x x rotace okolo osy z z všechny pohyby současně

35 Koule se pohybuje vodorovně kupředu
Dynamika I, 1. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os Koule se pohybuje vodorovně kupředu a současně se otáčí (nezávisle na dopředném pohybu). Svislý pohyb je znemožněn vazbou. Má tedy 2º volnosti. je-li pohyb tělesa omezen vazbami, má méně stupňů volnosti

36 Mince se valí bez prokluzu po vodorovné podložce.
Dynamika I, 1. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os Mince se valí bez prokluzu po vodorovné podložce. Svislý pohyb je znemožněn vazbou. Mince se pohybuje vodorovně kupředu a současně se otáčí. Tyto pohyby však nejsou nezávislé (protože nedochází k prokluzu). Otočí-li se mince jednou dokola (o 360º), posune se kupředu o dráhu přesně rovnou obvodu mince. Jen jeden z obou pohybů je nezávislý - mince má 1º volnosti. je-li pohyb tělesa omezen vazbami, má méně stupňů volnosti

37 Těleso volné v prostoru se může pohybovat ve třech směrech a může se
Dynamika I, 1. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os Těleso volné v prostoru se může pohybovat ve třech směrech a může se otáčet okolo tří os. Má 6 º volnosti. Například helikoptéra při letu nebo družice na oběžné dráze. je-li pohyb tělesa omezen vazbami, má méně stupňů volnosti

38 kolik stupňů volnosti objekt má.
Dynamika I, 1. přednáška bod těleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1 souřadnice dráha s v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) 2 souřadnice x, y 3 souřadnice a úhel natočení f v prostoru (3 rozměrný prostor) x, y, z 6 souřadnic x, y, z a tři úhly natočení, např. a, b, g Okamžitá poloha objektu je jednoznačně určena tolika nezávislými souřadnicemi, kolik stupňů volnosti objekt má. Objekt má tolik stupňů volnosti, kolik nezávislých souřadnic je zapotřebí k jednoznačnému určení jeho polohy.

39 Pohyb bodu Dynamika I, 1. přednáška
Pohyb bodu po dané dráze - základní kinematické veličiny. čas značíme t z anglického slova time základní jednotkou je [s] {sekunda} dalšími jednotkami jsou [min, hod, ...] {minuta, hodina, ...} dráha, souřadnice značíme s, x, y, ... základní jednotkou je [m] {metr} dalšími jednotkami jsou [cm, km, ...] {centimetr, kilometr, ...} rychlost značíme v z anglického slova velocity základní jednotkou je [m/s, m·s-1] {metr za sekundu} dalšími jednotkami jsou [km/hod] {kilometr za hodinu} zrychlení značíme a z anglického slova acceleration základní jednotkou je [m/s2, m·s-2] {metr za sekundu na druhou}

40 Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas.
Dynamika I, 1. přednáška Veličiny čas a dráha nebudeme explicitně definovat, spolehneme se na intuitivní chápání jejich významu. Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas. Tuto rychlost nazveme střední rychlostí nebo průměrnou rychlostí. Okamžitá rychlost - nekonečně malá změna dráhy za nekonečně malý přírůstek času. Tuto limitu definuje matematika jako derivaci. Okamžitá rychlost je derivace dráhy podle času.

41 Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas.
Dynamika I, 1. přednáška Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas. s Rychlost může být kladná (vzdálenost od počátku se zvětšuje).

42 Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas.
Dynamika I, 1. přednáška Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas. s Rychlost může být i záporná (vzdálenost od počátku se zmenšuje).

43 Dynamika I, 1. přednáška Abychom snadno rozlišovali kladnou a zápornou rychlost, zavádíme pojem orientovaná souřadnice. Kladná rychlost v znamená nárůst dráhy (souřadnice), proto je kladná rychlost orientována vždy ve směru nárůstu příslušné souřadnice.

44 Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti za čas.
Dynamika I, 1. přednáška Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti za čas. Zrychlení je zrychlení průměrné neboli střední. Okamžité zrychlení je derivace rychlosti podle času.

45 Dynamika I, 1. přednáška zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti za přírůstek času zrychlení je derivace rychlosti podle času zrychlení je druhá derivace dráhy podle času zrychlení je rovno rychlosti, násobené derivací rychlosti podle dráhy zrychlení je rovno jedné polovině derivace kvadrátu rychlosti podle dráhy

46 Dynamika I, 1. přednáška Kladné zrychlení je orientováno stejně, jako kladná rychlost, tedy ve směru nárůstu souřadnice. dráha, rychlost a zrychlení jsou funkcí času rychlost a zrychlení jsou funkcí dráhy zrychlení je funkcí rychlosti Úplné kinematické řešení.

47 Shrnutí toto jsou obecně platné vztahy
Dynamika I, 1. přednáška Shrnutí rychlost je derivace dráhy podle času zrychlení je derivace rychlosti podle času zrychlení je druhá derivace dráhy podle času zrychlení je rovno rychlosti, násobené derivací rychlosti podle dráhy zrychlení je rovno jedné polovině derivace kvadrátu rychlosti podle dráhy toto jsou obecně platné vztahy mezi časem, dráhou, rychlostí a zrychlením

48 Shrnutí toto jsou obecně platné vztahy
Dynamika I, 1. přednáška Shrnutí podle toho, jak se dráha, rychlost a zrychlení mění v čase, rozlišujeme tři druhy pohybu : A) Pohyb rovnoměrný - rychlost je konstantní. B) Pohyb rovnoměrně zrychlený - zrychlení je konstantní. C) Pohyb nerovnoměrný. toto jsou obecně platné vztahy mezi časem, dráhou, rychlostí a zrychlením

49 toto jsou vztahy, platné pouze pro rovnoměrný pohyb (v=konst).
Dynamika I, 1. přednáška A) pohyb rovnoměrný : je takový pohyb, jehož rychlost je konstantní v = konst. rychlost je konstantní, její změna (derivace) je nulová s - okamžitá dráha s0 - počáteční dráha (v závislosti na volbě souřadného systému může být nulová) t - okamžitý čas t0 - počáteční čas - obvykle volíme t0=0 toto jsou vztahy, platné pouze pro rovnoměrný pohyb (v=konst).

50 Dynamika I, 1. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. diferenciální rovnice 1. řádu separace proměnných řešení neurčitým integrálem integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky t = v = v0 rychlost na počátku vyšetřovaného pohybu

51 Dynamika I, 1. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. diferenciální rovnice 1. řádu separace proměnných řešení neurčitým integrálem řešení určitým integrálem integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky

52 Dynamika I, 1. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. diferenciální rovnice 1. řádu separace proměnných řešení neurčitým integrálem integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky t = s = s0 dráha na počátku vyšetřovaného pohybu

53 Dynamika I, 1. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. diferenciální rovnice 1. řádu separace proměnných řešení neurčitým integrálem řešení určitým integrálem integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky

54 Dynamika I, 1. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. alternativní řešení diferenciální rovnice 1. řádu separace proměnných řešení neurčitým integrálem integrační konstantu C určíme z počátečních podmínek t = s = s0, v = v0 dráha a rychlost na počátku vyšetřovaného pohybu

55 Dynamika I, 1. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. alternativní řešení diferenciální rovnice 1. řádu separace proměnných řešení neurčitým integrálem řešení určitým integrálem integrační konstantu C určíme z počátečních podmínek

56 toto jsou vztahy, platné pouze pro
Dynamika I, 1. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. shrnutí toto jsou vztahy, platné pouze pro rovnoměrně zrychlený pohyb (a=konst).

57 Dynamika I, 1. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. Špičkové sportovní auto zrychluje z klidu na rychlost v = 100 km/hod (27,8 m/s) za čas t = 5 s. Jeho zrychlení tedy je a = 5,6 m/s2. Dráha rozjezdu pak je s = 70 m.

58 kruhová frekvence [s-1]
Dynamika I, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se v čase harmonicky mění. T f v r y y r f T w t amplituda [m] kruhová frekvence [s-1] frekvence [Hz] počet cyklů za sekundu perioda [s] doba jednoho cyklu počáteční úhel f, fázový posuv [-]

59 Je to kmitavý pohyb hmotného objektu na pružném uložení.
Dynamika I, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se v čase harmonicky mění. T f v r y y r f T w t amplituda [m] max. rychlost [m/s] max. zrychlení [m/s2] Je to kmitavý pohyb hmotného objektu na pružném uložení.

60 Dynamika I, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti. y, v, a Pro jednoduchost provedeme řešení s nulovými počátečními podmínkami.

61 Dynamika I, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti. y, v, a Pro čas, narůstající nade všechny meze, se průběh blíží ustálené hodnotě :

62 Dynamika I, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti. y, v, a V ustáleném stavu se rychlost již nebude měnit, bude konstantní (v = vustálená = konst). Zrychlení tedy bude nulové.

63 Dynamika I, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti. y, v, a časová konstanta [s]

64 Dynamika I, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti. y, v, a separace proměnných

65 Dynamika I, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní. m G h k = 6,67·10-11 kg-1·m3·s-2 - gravitační konstanta, M = 5,98·1024 kg - hmotnost Země, R = km - poloměr Země. Země R na povrchu Země (y=0) :

66 Dynamika I, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní. volný pád z výšky h v, a m G y h Země R

67 Dynamika I, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní. volný pád z výšky h v, a m G y h Země R rychlost dopadu na Zemi :

68 Dynamika I, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní. svislý vrh vzhůru v, a m y v0 G Země R

69 Dynamika I, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní. svislý vrh vzhůru v, a m G y v0 Země R těleso se zastaví ve výšce h těleso se neustále vzdaluje od Země

70 kinematika bodu - základní pojmy,
Dynamika I, 1. přednáška Obsah přednášky : rozdělení mechaniky, kinematika bodu - základní pojmy, základní veličiny kinematiky a vztahy mezi nimi, základní druhy pohybu bodu.