Numerické řešení počítačového modelu

Prezentace na téma: "Numerické řešení počítačového modelu"— Transkript prezentace:

1 Numerické řešení počítačového modelu
Problém: numericky simulovat (modelovat) chování systému (odezvy zahrnující vliv počátečních podmínek a změn vstupů) Numerický výpočet Vztah výstupní rovnice je pouze algebraickým přepočtem, v numerickém řešení se nepromítá jako problém Pozn. Nejjednodušší možné numerické řešení – náhrada derivace diferenčním podílem - diskrétní čas - perioda vzorkování Eulerova metoda

2 Obecný vícekrokový (víceuzlový) vzorec pro numerické řešení stavové rovnice
Numerické metody řešení přiřazují ke spojitému modelu model diskrétní. Na rozdíl od diskrétní stavové formulace nevyužívají pro výpočet x(k+1) jen hodnot x a f v čase k, ale i hodnot starších Klasifikace metod numerického řešení explicitní, -1=0 implicitní, -10 1) vzorce jednouzlové, p=0 víceuzlové, p>0 počet uzlů – p+1 2) vzorce 3) řád metody, čím vyšší řád, tím vyšší přesnost

3 Lokální chyba vzorce Euler, r=1 lichoběžníkový kor., r=2
rozdíl mezi numerickým a exaktním řešením na intervalu Dt, při předpokladu že x(tk) známe naprosto přesně. slouží především k vzájemnému porovnání vzorců - globální chyba řešení – akumulace lokálních a zaokrouhlovacích chyb

4 Runge-Kutta, r = 2

5 Runge-Kutta v programu Matlab
- vzorce v Simulink pro pevný krok (fixed step solvers) ode5 - Dormand-Prince ode4 - Runge-Kutta 4tého řádu ode3 - Bogacki-Shampine ode2 - Heun (ode1 - Euler) Vnořené R-K vzorce (solvery v Simulinku i funkce v Matlabu): ode45 ode23 - zahrnují v sobě algoritmus pro adaptaci Dt

6 Stabillita numerické metody
Aplikací numerické metody pro řešení stavové rovnice je spojitý systém nahrazen diskrétním. Z toho vyplývá zavedení lokální chyby v každém kroku jiné podmínky stability Stabilita jednouzlových vzorců si – vlastní čísla matice A zi - vlastní čísla matice M podmínka stability:

7 Oblasti stability explicitních vzorců se navzájem liší jen nepodstatným způsobem.
Oblasti stability jednouzlových explicitních metod: E - Eulerova, RK-2, RK-4 - Rungeho-Kutty 2. a 4.řádu Přesnost explicitních Runge-Kutta metod značně vyšší než přesnost Eulerovy metody, ale oblasti stability jsou podobně malé

8 Implicitní metody - široká oblast stability
- problematická realizace A - stabilní metody, oblast stability pokrývá celou levou polorovinu Eulerova metoda, Lichoběžníkový korektor, ... Stab. - použití pro stiff systémy (systémy jejichž módy jsou definovány řádově rozdílnými časovými konstantami)

9 Výpočet podle implicitních metod
Přímé řešení použití u lineárních systémů, nutná inverze matice (nesmí být singulární ani špatně podmíněná) Semiimplicitní metody – pro nelineární systémy Použití Jacobiho matice Jx - výpočet Jx je nutné provádět v každém kroku - semiimplicitní metody nejsou A stabilní, ale dovolují podstatně delší krok než explicitní metody