Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Formalní axiomatické teorie Teorie relací. 2 Teorie Formální teorie je dána –Jazykem formální jazyk prvořádové teorie je jazyk důkazového kalkulu (množina.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Formalní axiomatické teorie Teorie relací. 2 Teorie Formální teorie je dána –Jazykem formální jazyk prvořádové teorie je jazyk důkazového kalkulu (množina."— Transkript prezentace:

1 Formalní axiomatické teorie Teorie relací

2 2 Teorie Formální teorie je dána –Jazykem formální jazyk prvořádové teorie je jazyk důkazového kalkulu (množina dobře utvořených formulí – DUF) –Množinou axiomů je podmnožinou DUF a skládá se z: –množiny logických axiomů (logicky pravdivé) –množiny speciálních axiomů (pravdivé v zamýšlené interpretaci) –Množinou dedukčních pravidel množina dedukčních pravidel daného kalkulu Formální teorie je množina všech formulí, které lze dokázat z axiomů teorie.

3 3Teorie relací Teorie Důkaz formule A v teorii T (T|  A) je posloupnost kroků (DUF) takových, že: –poslední krok je formule A –každý krok důkazu je buď logický axiom nebo speciální axiom nebo formule získána aplikací dedukčního pravidla na některou z předchozích formulí posloupnosti Hilbertův kalkul a přirozená dedukce jsou speciální typy teorií (bez speciálních axiomů, pouze logické axiomy a korektní ded. pravidla) => dokazovat lze pouze logicky pravdivé formule.

4 4Teorie relací Teorie Nejdůležitější teorie –Teorie aritmetiky Robinsonova aritmetika (Q), Peanova aritmetika (PA) –viz: minulá přednáška –Teorie relací teorie uspořádání teorie ekvivalence Atd. –Algebraické teorie teorie grup, okruhů a těles teorie svazů Atd.

5 5Teorie relací Teorie ostrého uspořádání Teorie ostrého uspořádání verze 1: speciální znaky: =,

6 6Teorie relací Teorie ostrého uspořádání Teorie ostrého uspořádání verze 2 –speciální znaky =, < binární predikáty –Logické axiomy: axiomy Hilbertova kalkulu –Speciální axiomy: V1.  x  y [x

7 7Teorie relací Příklady, modely Teorie rovnosti (ekvivalence) –O1.  x (x = x)reflexivita –O2.  x  y [(x=y)  (y=x)]symetrie –O3.  x  y  z [(x=y  y=z)  (x=z)]transitivita Každá teorie T definuje množinu svých modelů, tj. interpretací, ve kterých jsou pravdivé axiomy teorie („teorie v kostce“). Příklad modelů: 1.Universum = množina přirozených čísel –Symbol ‘=‘ je interpretován jako identita čísel. 2.Universum = množina přirozených čísel –Symbol ‘=‘ je interpretován jako relace „modulo 5“ (mít stejný zbytek po dělení 5) 3.Universum = množina individuí –Symbol ‘=‘ je interpretován jako relace „být stejně vysoký“ 4.Universum = množina individuí –Symbol ‘=‘ je interpretován jako relace „být stejné hmotnosti“ 5.Universum = množina DUF jazyka PL1 –Symbol ‘=‘ je interpretován jako relace ekvivalence formulí (tj. mít přesně stejné modely) 6.atd.

8 Příklady, modely Teorie ostrého uspořádání –V1.  x  y [x

9 Příklady, modely Pro každou relaci R, která splňuje axiomy ostrého uspořádání, platí, že R je: –Ireflexivní (žádný prvek není v relaci sám se sebou) –Asymetrická (je-li R(a, b) pak není R(b, a)) –Transitivní Důkaz, že ostré uspořádání je ireflexivní (rezoluční metodou): A1:  x  y [x

10 Příklady, modely Pro každou relaci R, která splňuje axiomy ireflexivity a transitivity, platí, že R je asymetrická: –Tedy ostré uspořádání opravdu stačí definovat pouze dvěma z výše uvedených tří axiomů (transitivita je nutná, + ireflexivita nebo asymetrie) Důkaz (rezoluční metodou): A1:  x  (x

11 11Teorie relací Částečné (neostré) uspořádání Teorie částečného uspořádání –speciální znaky:  binární predikát –Logické axiomy: axiomy Hilbertova kalkulu –Speciální axiomy: PO1.  x (x  x)reflexivita PO2.  x  y [((x  y)  (y  x))  x=y]anti-symetrie PO3.  x  y  z [((x  y)  (y  z))  (x  z)]transitivita ‘=’ znak pro identitu Každá struktura  U, R , která je modelem této teorie, se nazývá částečně uspořádaná množina. Příklady: –  N, , kde N je množina přirozených čísel a  je relace menší nebo rovno na číslech. –  2 M, , kde 2 M je množina všech podmnožin dané množiny M a  je relace být (vlastní či nevlastní) podmnožinou

12 12Teorie relací Quasi uspořádání Někdy se stává, že chceme zavést částečné uspořádání R na množině M, ale relace R není antisymetrická. Potom můžeme využít teorii quasi uspořádání: –speciální znaky:  binární predikát –Logické axiomy: axiomy Hilbertova kalkulu –Speciální axiomy: PO1.  x (x  x)reflexivita PO3.  x  y  z [((x  y)  (y  z))  (x  z)]transitivita Struktura  U, R , která je modelem této teorie, kde relace R není antisymetrická, se nazývá quasi-uspořádaná množina. Příklad: U = množina všech DUF, kde relace R je definována jako: F 1, F 2  DUF, R(F 1, F 2 )  = df F 2 |= F 1 Tato relace není asymetrická, neboť, je-li F 2 |= F 1 a F 1 |= F 2, pak jsou sice formule F 1, F 2 ekvivalentní, F 1  F 2 (mají stejné modely), ale není pravda, že jsou identické. Např. formule p  q,  p  q jsou ekvivalentní, ale nejsou to identické formule.

13 13Teorie relací Teorie ekvivalence –speciální znaky:  binární predikát –Logické axiomy: axiomy Hilbertova kalkulu –Speciální axiomy: Ek1.  x (x  x) reflexivita Ek2.  x  y [((x  y)  (y  x))] symetrie Ek3.  x  y  z [((x  y)  (y  z))  (x  z)] transitivita Příklad modelu: relace ekvivalence nad množinou DUF, kde F1  F2 právě když (F1, F2  DUF, F1 |= F2  F2 |= F1)

14 14Teorie relací Rozklad na množině Jestliže máme quasi-uspořádanou množinu, a relace  není antisymetrická, pak můžeme částečně uspořádat dle  množinu ekvivalenčních tříd, neboť každá ekvivalence definuje rozklad na množině M: Definice: rozklad na množině A je množina X = { X i ; i  I } taková že: X i  A pro  i  I (X i jsou vzájemně disjunktní X i  X j = Ø pro  i,j  I, i  j podmnožiny A)  X i = A(sjednocení X i pokrývá celou A) X i – třídy rozkladu Definice: Nechť  je relace ekvivalence na množině A. Nechť [x] = {y  A; y  x}. Pak A/  = {[x]; x  A} se nazývá faktorová množina množiny A podle ekvivalence . Věta: Množina A/  je rozklad na množině A.

15 Faktorová množina, rozklad [0] [1] [2] [3] [0] {x; x  0} [1] {x; x  1} [2] {x; x  2} [3] {x; x  3} [4] {x; x  4} [4]

16 16Teorie relací Rozklad na množině: příklad Definujeme relaci ekvivalence  5 (modulo 5) na množině celých čísel Z takto (  5  Z  Z):  5 = {(x,y); 5 dělí x-y }. (Ověřte, že je to ekvivalence!) Pak Z/  5 {[0], [1], [2], [3], [4]}, kde [0] = {…-5, 0, 5, 10, 15, …} [1] = {…-9, -4, 1, 6, 11, …} [2] = {... -8, -3, 2, 7, 12, 17,... } [3] = {... -7, -2, 3, 8, 13, 18,... } [4] = {... -6, -1, 4, 9, 14, 19,... } Je rozklad na množině Z.

17 Částečné uspořádání faktorové množiny Příklad (pokračování): Definujeme částečné uspořádání  5 na množině Z/  5 z předchozího příkladu: [x]  [y] iff (x/5) zb  (y/5) zb, kde (i/5) zb = r a i=k*5+r; x, y je libovolný reprezentant dané třídy. Důkaz, že definice je korektní (nesmí záviset na výběru reprezentantů): –[x]=[x’], [y]=[y’] a [x]  [y] pak musí být [x’]  [y’]: –Je-li [x]=[x’], pak x=k*5 + r 1, x’=k’*5 + r 1 –Je-li [y]=[y’], pak y=l*5 + r 2, y’=l’*5 + r 2 –Tedy [x]  [y] iff [r 1 ]  [r 2 ] iff [x’]  [y’]. Důkaz, že takto definovaná relace je částečným uspořádáním – cvičení.

18 18Teorie relací Teorie relací, shrnutí příkladů quasi uspořádání 1.„množiny X a Y jsou v relaci, pokud |X|  |Y| (kardinalita X je menší nebo rovna kardinalitě Y) 2.relace dělitelnosti na množině celých čísel 3.„nebýt starší“ na množině lidí částečné uspořádání –relace množinové inkluze (  ) na množině množin –relace dělitelnosti na množině přirozených čísel –relace částečného uspořádání nad množinou DUF/ , kdy F1, F2  DUF, [F1]  [F2] právě když F2 |= F1 ekvivalence –relace ekvivalence na množině DUF, kdy F1, F2  DUF, F1  F2 právě když F1 |= F2 a F2 |= F1.

19 19Teorie relací Obecně speciální axiomy zapisujeme ve tvaru: –  x R(x,x)reflexivita –  x  R(x,x)i-reflexivita –  x  y [R(x,y)  R(y,x)]symmetrie –  x  y [R(x,y)   R(y,x)]asymmetrie –  x  y  z [(R(x,y)  R(y,x))  x=y)]anti-symentrie –  x  y  z [(R(x,y)  R(y,z))  R(x,z)]transitivita R je zde binární relace a víme, že každý speciální axiom je pravdivý v zamýšlené interpretaci. Ani jeden speciální axiom však není logicky pravdivá formule! (Snadné ověření v libovolném korektním kalkulu)

20 20Teorie relací Dokazování v teorii –teorie je budována nad kalkulem, tedy samotné dokazování se provádí v daném kalkulu, kdy jako předpoklady klademe speciální axiomy teorie –Např.: Mějme teorii T={reflexivita, transitivita} dokažte, že v dané teorii platí symetrie  x R(x,x)  x  y  z [(R(x,y)  R(y,z))  R(x,z)]  x  y [R(x,y)  R(y,x)] Teď již záleží nad jakým kalkulem (rezoluční, přirozená dedukce, Hilbertův kalkul) svou teorii budujeme a podle toho ověřujeme logickou platnost úsudku.

21 21Teorie relací Dokazování v teorii  x R(x,x)   x R(x,x)  x  y  z[(R(x,y)  R(y,z))  R(x,z)]   x  y  z[  R(x,y)   R(y,z)  R(x,z)]  x  y [R(x,y)  R(y,x)]    x  y[R(x,y)   R(y,x)] K důkazu použijeme rezoluční metodu 1. R(x,x) 2.  R(x’,y’)   R(y’,z’)  R(x’,z’) 3. R(a,b) 4.  R(b,a) 5.  R(a,y’)   R(y’,b) 2., 4. x’/b, z’/a 6.  R(a,b)1., 5. x/a, y’/a 7. # Rezoluční metodou jsme dokázali, že negovaný závěr je ve sporu s předpoklady, tedy původní nenegovaný závěr log. vyplývá, tedy úsudek je platný.

22 Teorie funkcí Funkce jako relace –každá n-ární funkce je (n+1)-ární relace F:  a  b  c ([R(a,b)  R(a,c)]  b=c) Parciální F: ke každé n-tici prvků a  M ...  M existuje nanejvýš jeden prvek b  M. – pokud vezmeme formuli F jako speciální axiom, tak můžeme hovořit o teorii funkcí – příklady: modely budou interpretace splňující tuto formuli (R můžeme interpretovat jako relaci, kdy 2. prvek každé dvojice je výsledek po dělení prvků dvojice a.) {  1,1 ,1 ,  2,1 ,2 ,  2,2 ,1 , …,  4,2 ,2 , …} Teorie relací22

23 Teorie funkcí Funkce jako relace Totální funkce F: A  B: Ke každému prvku a  A existuje právě jeden prvek b  B takový, že F(a)=b:  a  b F(a,b)   a  b  c [(F(a,b)  F(a,c))  b=c] Modelem této teorie tedy bude interpretace splňující danou formuli (danou relaci F můžeme interpretovat jako množinu všech dvojic, kdy 2. prvek je následníkem prvku a), funkce sčítání, násobení, … Teorie relací23

24 Teorie funkcí Funkce (zobrazení) Zobrazení f : A  B je surjekce (zobrazení A na B), jestliže k libovolnému b  B existuje a  A takový, že f(a)=b.  b [B(b)   a (A(a)  F(a,b))]. Zobrazení f : A  B je injekce (prosté zobrazení A do B), jestliže pro všechna a  A, b  A taková, že a  b platí, že f(a)  f(b).  a  b [(A(b)  A(a)  (a  b))   c  d (F(a,c)  F(b,d)  c  d)]. Zobrazení f : A  B je bijekce (prosté zobrazení A na B), jestliže f je surjekce a injekce. Teorie relací24

25 25Teorie relací Isomorfismus vzhledem k relaci R Definice (isomorfní množiny): –Uspořádané množiny (A,  1 ), (B,  2 ) se nazývají isomorfní, jestliže existuje bijekce f: A  B taková, že  x,y  A: x  1 y právě když f(x)  2 f(y) Například množiny N a množina sudých kladných čísel jsou isomorfní vzhledem k uspořádání čísel dle velikosti – existuje funkce f (např. 2x) Dále bude isomorfismus nad (DUF/ ,  ), kde, F1, F2  DUF, F1  F2 právě když F2 |= F1 a funkce f bude identita.

26 26Teorie relací Úplnost x neúplnost teorie Definice: teorie T je úplná, právě když rozhoduje každou formuli F, tj. T |  F nebo T |   F Zároveň víme, že pro (např.) Hilbertův kalkul platí silná věta o úplnosti kalkulu (neplést úplnost teorie s úplností kalkulu!): A |  F  T |  F, kde A je množina speciálních axiomů teorie T. Tedy teorie dokazuje vše, co z ní vyplývá. Je-li teorie T neúplná, pak existují nezávislé sentence F (které T nerozhoduje). Pak ovšem F nemůže vyplývat z T. Tedy existuje model M teorie T, ve kterém F není pravdivá. Proto, V případě, že existují aspoň 2 neisomorfní modely (M1, M2) dané teorie T, pak existuje aspoň jedna nezávislá sentence F, pro níž platí: M1|  A a M1|  F, M2|  A a M2|  F, pak je tato teorie T neúplná.

27 M1M2 (N,  )(P({a,b,c}),  ) A  x R(x,x)  x  y [(R(x,y)  R(y,x))  x=y]  x  y  z [(R(x,y)  R(y,z))  R(x,z)] … {a,b,c} | 2 {a,b}{a,c}{b,c} | 1 {a}{b}{c} | 0  F:  x  y [R(x,y)  R(y,x)] 27Teorie relací Úplnost x neúplnost teorie

28 Obecně: Pokud je teorie úplná, pak má všechny modely vzájemně izomorfní (vzhledem k axiomům teorie) Teorie částečného uspořádání je neúplná. Teorie lineárního uspořádání je úplná. 28Teorie relací


Stáhnout ppt "Formalní axiomatické teorie Teorie relací. 2 Teorie Formální teorie je dána –Jazykem formální jazyk prvořádové teorie je jazyk důkazového kalkulu (množina."

Podobné prezentace


Reklamy Google