Odvození matice tuhosti izoparametrického trojúhelníkového prvku

Prezentace na téma: "Odvození matice tuhosti izoparametrického trojúhelníkového prvku"— Transkript prezentace:

1 Odvození matice tuhosti izoparametrického trojúhelníkového prvku
Přednáška 4 Odvození matice tuhosti izoparametrického trojúhelníkového prvku

2 Tříuzlový trojúhelníkový prvek, aproximační funkce je lineární polynom Trojúhelníkový prvek v globálních souřadnicích Značení uzlů proti hodinovým ručičkám pro zajištění kladné plochy v soustavě

3 Zatížení prvku způsobí jeho posun vyjádřený vektorem f Složky posunu u,v (jsou funkcí souřadnic) aproximujeme lineárním polynomem Pro určení neznámých konstant ai předpokládáme znalost vodorovných a svislých složek posunů

4 Aproximace posunů uzlů Posun prvku – znázorněny posuny uzlů prvku

5 Maticové vyjádření posunů u,v Obecný zápis Vyjádření neznámých konstant a

6 Vzhledem k vlastnostem diagonálních matic platí Determinant submatice A1 je roven dvojnásobku plochy S konečného prvku Aproximace lineárním polynomem je ekvivalentní afinitě mezi nedeformovaným a deformovaným prvkem – přímky jsou po deformaci opět přímky – tj. Úsečka po deformaci spojuje opět stejné uzly.

7 Známe-li posuny, můžeme určit složky deformace (ty nezávisejí na souřadnicích uzlu, takže přetvoření a napětí je pro prvek konstantní) a v maticovém tvaru A dosadíme vyjádřené neznámé posuny a

8 Vztah mezi napětím a přetvořením udává konstitutivní vztah – my použijeme lineárně pružný materiál dle Hooka Matice D vyjadřuje deformační vlastnosti materiálu a obecně může být pro každý prvek jiná (nehomogenní materiál)

9 Vyčíslíme maticový součin kde S je plocha prvku Tento součin je závislý pouze na souřadnicích konečného prvku.

10 Vztah mezi silami v uzlech prvku a napětím Složky napětí jsou konstatntní po celé ploše Účinek napětí nahradíme ekvivalentními vodorovnými a svislými silami v uzlech prvku (kladné působení je ve smyslu rovnoběžné osy)

11 Nahrazení působení napětí sx staticky ekvivalentními silami První dolní index označuje uzel prvku,druhý dolní směr působení síly a horní uvažované případy 1 = sx

12 Nahrazení působení napětí sy staticky ekvivalentními silami

13 Nahrazení působení napětí txy staticky ekvivalentními silami

14 Ekvivalentní síly umožní sestavit matici M – podle horního indexu náhradní síly F Porovnáním matice M a součinu BA-1 zjistíme, že platí:

15 Vztah mezi silami v uzlech prvku a posuny těchto uzlů lze zapsat: Tato rovnice musí obsahovat matici tuhosti k prvku Tento postup odvození je vhodný jen pro tento typ prvku, u složitějších aproximovanýc polynomy vyššího stupně je odbození možné provést pomocí Lagrangeova principu minima potenciální energie.