Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Lineární zobrazení. Zobrazení f množiny A do množiny B f: A  B je taková relace f mezi množinami A, B, která splňuje vlastnost: ke každému x  A existuje.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Lineární zobrazení. Zobrazení f množiny A do množiny B f: A  B je taková relace f mezi množinami A, B, která splňuje vlastnost: ke každému x  A existuje."— Transkript prezentace:

1 Lineární zobrazení

2 Zobrazení f množiny A do množiny B f: A  B je taková relace f mezi množinami A, B, která splňuje vlastnost: ke každému x  A existuje právě jedno y  B tak, že f(x) = y

3 Zobrazení f: U  W je lineární ( U, W jsou vektorové prostory ) f(u + v) = f(u) + f(v) f( a u) = a f(u)  u, v  U a  a  R

4 Příklady lineárního zobrazení Zobrazení, které přiřadí každé matici matici k ní transponovanou. (aA + bB) T = aA T + bB T Zobrazení, které přiřadí každému polynomu jeho první derivaci. (af + bg)´ = a (f´ ) + b (g´ ) Zobrazení, které přiřadí každému polynomu jeho druhou derivaci.

5 Obraz nulového vektoru Obrazem nulového vektoru je v lineárním zobrazení opět nulový vektor

6 Nechť U, W jsou vektorové prostory, f: U  W je lineární zobrazení. f(U) = {y  W: y = f(x), x  U } Označme f(U) = Im f f(U) je podprostor ve W Nazývá se obraz vektorového prostoru U v zobrazení f a značí se Im f. Jeho dimenzi nazveme hodností lineárního zobrazení f. Platí tedy: hod f = dim f(U).

7 Zobrazení je určeno obrazy vektorů báze Nechť B =  b 1, b 2, …, b n  je uspořádaná báze vektorového prostoru U a nechť w 1, w 2, …, w n jsou vektory z prostoru W. Pak existuje právě jedno zobrazení f: U  W takové, že f(b i ) = w i, i = 1, 2,..., n.

8 Lineární zobrazení přiřazuje lineárně závislým vektorům opět lineárně závislé vektory. Lineární zobrazení může lineárně nezávislým vektorům přiřadit vektory lineárně závislé.

9 U, W jsou vektorové prostory, f: U  W je lineární zobrazení Množinu všech vektorů z U, které se zobrazí do nulového vektoru prostoru W, nazýváme jádro zobrazení f. Značíme: Ker f = {x  U: f(x) = o W } Jádro lineárního zobrazení je podprostor v U Dimenze jádra lineárního zobrazení f se nazývá defekt lineárního zobrazení f. def f = dim Ker f

10 Matice lineárního zobrazení Nechť f: U  W je lineární zobrazení, B =  b 1, b 2, …, b n  je uspořádaná báze vektorového prostoru U a F =  f 1, f 2, …, f m  je uspořádaná báze vektorového prostoru W. Vyjádřeme obrazy vektorů báze B v bázi F: f(b 1 ) = a 11 f 1 + a 12 f 2 + … + a 1m f m f(b 2 ) = a 21 f 1 + a 22 f 2 + … + a 2m f m f(b n ) = a n1 f 1 + a n2 f 2 + … + a nm f m Matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím B, F

11 Lineární zobrazení f: R 3  R 3 je definováno vztahem f((x 1, x 2, x 3 )) = (x 2 + x 3, 2x 1 + x 3, x 1 – 3x 2 + x 3 ) Najděte matici tohoto lineárního zobrazení Najdeme obrazy vektorů kanonické báze prostoru R3. (1, 0, 0)  (0, 2, 1) (0, 1, 0)  (1, 0, –3) (0, 0, 1)  (1, 1, 1)

12 Hodnost lineárního zobrazení je rovna hodnosti matice A tohoto lineárního zobrazení hod f = dim f(U) = dim Im f hod f = hod A

13 Hodnost lineárního zobrazení hod f = hod A = dim f(U) = dim Im f def f = dim Ker f dim f(U) + dim Ker f = dim U hod f + def f = dim U

14 Lineární zobrazení je definováno vztahy: f(1, 2) = (–2, 1), f(2, 1) = (6, –3). Určete matici tohoto zobrazení Určete hod f, Ker f a def f Najděte všechny vektory u, které se zobrazí do vektoru (4, –2), tj. f(u) = (4, –2).

15 Na které vektory se při daném zobrazení zobrazí vektory kanonické báze?  

16  hod A = hod f = 1 def f = dim R 2 – hod f = 2 – 1 = 1

17 Jádro zobrazení soustava dvou závislých rovnic o dvou neznámých 7x 1 – 5x 2 = 0  x = k.(5, 7), kde k  R Ker f = {x  R 2 : x = k.(5, 7), k  R}

18 soustava dvou závislých rovnic o dvou neznámých 7u 1 – 5u 2 = 6  u = (3, 3) + t.(5, 7), kde t  R Pro všechny vektory u, které se zobrazí na vektor (4, –2) platí:

19 Změna matice lineárního zobrazení při změně báze Lineární zobrazení f: R 3  R 3 je určeno maticí A vzhledem ke kanonické bázi E. Najděte matici B tohoto zobrazení vzhledem k bázi F =  (0, 1, 1), (2, 0, –1), (–1, 1, 1) .

20 1. obrazy vektorů báze F ve zobrazení f  f(f 1 ) = (1, 0, –2) f(f 2 ) = (0, 1, 4) f(f 3 ) = (0, 0, –3)

21 2. souřadnice obrazů vektorů báze vyjádříme vzhledem k bázi F (1, 0, –2) = –3.(0, 1, 1) + 2.(2, 0, –1) + 3.(–1, 1, 1) (0, 1, 4) = 7.(0, 1, 1) – 3.(2, 0, –1) – 6.(–1, 1, 1) (0, 0, –3) = –6.(0, 1, 1) + 3.(2, 0, –1) + 6.(–1, 1, 1) matice B tohoto zobrazení vzhledem k bázi F je

22 Lineární zobrazení f: R 3  R 2 je určeno maticí A vzhledem ke kanonickým bázím E, F. Najděte matici B tohoto zobrazení vzhledem k bázím G, H, je-li G =  (1, 1, 1), (0, 1, 2), (2, –1, 1) , H =  (1, 1), (2, 3) 

23 1. obrazy vektorů báze G ve zobrazení f  f(g 1 ) = (0, 3) f(g 2 ) = (–1, 3) f(g 3 ) = (8, 2)

24 2. souřadnice obrazů vektorů báze vyjádříme vzhledem k bázi H (0, 3) = –6.(1, 1) + 3.(2, 3) (–1, 3) = –9.(1, 1) + 4.(2, 3) (8, 2) = 20.(1, 1) – 6.(2, 3) matice B tohoto zobrazení vzhledem k bázím G, H je


Stáhnout ppt "Lineární zobrazení. Zobrazení f množiny A do množiny B f: A  B je taková relace f mezi množinami A, B, která splňuje vlastnost: ke každému x  A existuje."

Podobné prezentace


Reklamy Google