Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

1 DRE2 Moderních digitální bezdrátové komunikace UREL FEKT VUT v Brně.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "1 DRE2 Moderních digitální bezdrátové komunikace UREL FEKT VUT v Brně."— Transkript prezentace:

1 1 DRE2 Moderních digitální bezdrátové komunikace UREL FEKT VUT v Brně

2 2 2 Teorie radiokomunikačních signálů  část A – deterministické signály  část B - stochastické signály

3 3 2.1 MNOŽINY SIGNÁLŮ Základní pojmy Základní pojmy Signál Signál Množiny signálů Množiny signálů Rozklad množiny signálů Rozklad množiny signálů

4 4 Uspořádaná dvojice Uspořádaná dvojice je pár prvků dvou množin. Např.: [t0, x(t0)] Uspořádaná dvojice je pár prvků dvou množin. Např.: [t0, x(t0)]Relace Relace je množina uspořádaných dvojic. Relace je množina uspořádaných dvojic Základní pojmy

5 5 Kartézský součin A x B Je to množina všech uspořádaných dvojic, kde první složkou dvojice je prvek množiny A a druhou složkou je prvek množiny B. Je to množina všech uspořádaných dvojic, kde první složkou dvojice je prvek množiny A a druhou složkou je prvek množiny B.Zobrazení Zobrazení z množiny A do množiny B je relace R A x B s vlastností: každý prvek x A je prvkem nanejvýš jedné uspo­řádané dvojice (x, y) R Zobrazení z množiny A do množiny B je relace R A x B s vlastností: každý prvek x A je prvkem nanejvýš jedné uspo­řádané dvojice (x, y) R Prosté zobrazení Prosté zobrazení R je zobrazení z A do B je zobrazení z B do A. je inverzní relace. Prosté zobrazení R je zobrazení z A do B je zobrazení z B do A. je inverzní relace. Rozklad množiny Výchozí množinu S rozložíme na podmnožiny Si tak, že každý prvek S je právě v jedné podmnožině (třídě). Výchozí množinu S rozložíme na podmnožiny Si tak, že každý prvek S je právě v jedné podmnožině (třídě).

6 6 Ekvivalence na množině Relace R v množině A se nazývá ekvivalence, jestliže je současně reflexivní, symetrická a tranzitivní Relace R v množině A se nazývá ekvivalence, jestliže je současně reflexivní, symetrická a tranzitivní ( ~x, x ~y y ~ x, x ~y y ~ z x ~ z ). ( ~x, x ~y y ~ x, x ~y y ~ z x ~ z ). Zápis množiny Rovnost S = {x; P} označuje, že S je množina všech x, které mají vlastnost P. Rovnost S = {x; P} označuje, že S je množina všech x, které mají vlastnost P.

7 Signály Signály dělíme na signály se spojitým časem (zobrazení z množiny R) a signály s diskrétním časem (zobrazení z množiny Z). Signály číslicové jsou zobrazením z množiny Z do jisté konečné podmnožiny množiny Z. Jsou to posloupnosti čísel vyjádřených konečným počtem číslic.

8 Množiny signálů Množina signálů s konečnou energií Pojem energie zde nutno chápat ne ve fyzikálním, ale v přeneseném slova smyslu. Obdobné je to i s pojmem výkon a dalšími pojmy u signálů s diskrétním časem. Množina omezených signálů Množina signálů s konečnou dobou trvání (posloupnosti délky N)

9 9 Zobecnění množiny signálů s konečnou energií Prostor signálů s konečnou energii se označuje symbolem L 2, jde-li o signály se spojitým časem a l 2, jde-li o signály s diskrétním časem. Zobecněním lze zavést prostory L p, jde-li o signály se spojitým časem a l p, jde-li o signály s diskrétním časem. Množiny signálů vyskytujících se v těchto prostorech lze zapsat takto

10 Rozklad množiny signálů Množina {S 1, S 2, …..} podmnožin S 1, S 2, ….. množiny S tvoří rozklad množiny S, jestliže platí:

11 ZOBRAZENÍ Zobrazení z S 1 do S 2 f: S 1 → S 2 (y = f(x); S 1, S 2 ) D(f) je definiční obor zobrazení, H(f) je obor hodnot zobrazeni Je-li S 1 = D(f) a S 2 = H(f), jedná se o zobrazení S 1 na S 2. Zobrazení f z S 1 do S 2 je vzájemně jednoznačné zobrazení S 1 na S 2 právě když je f zobrazení prosté a zároveň zobrazení S 1 na S 2. Zobrazení složené Libovolné zobrazení f: S 1 → S 2 generuje ekvivalenci x 1 ~ x 2. f: S 1 →S 3

12 PROSTORY SIGNÁLŮ Metrické prostory Metrické prostory Metriky Metriky

13 Metrické prostory Množina X s metrikou d se nazývá metrickým prostorem (X, d). Dvě různé metriky definované na stejné množině prvků vytvářejí různé metrické prostory. Množina signálů s příslušně zavedenou vzdáleností je prostor signálů. Vzdálenost je funkcionál Nazývá se metrikou, má-li vlastnosti: a) jen když x = y, b) c)

14 Metriky Množina X s metrikou d se nazývá metrickým prostorem (X, d). Dvě různé metriky definované na stejné množině prvků vytvářejí různé metrické prostory. Množina uspořádaných n-tic čísel reálných nebo komplexních Příklady metrik: a) b) c)

15 15 U funkcí, které jsou si rovny skoro vždy, je Množina reálných či komplexních funkcí času definovaných na intervalu Příklady metrik: a) b) c)

16 16 Množina reálných či komplexních posloupností délky N. Příklady metrik: a) b) c)

17 LINEÁRNÍ PROSTORY Definice Definice Báze Báze Normovaný lineární prostor Normovaný lineární prostor Prostor se skalárním součinem Prostor se skalárním součinem Reprezentace vektorů Reprezentace vektorů

18 Definice A)Pro každý pár vektorů x a y existuje prvek (x + y) uvažované množiny takový, že a) b) c) množina obsahuje jediný vektor 0 takový, že x + 0 = x pro libovolné x d)pro libovolné x existuje jediný vektor (-x) takový, že x + (-x) = 0

19 19 B) Je dána množina prvků (skalárů), které tvoří těleso (field) a operace (násobení vektoru skalárem ) přiřazující skaláru a vektoru x vektor tak, že a) b) 1x = x, 0x = 0 c) d)d)

20 Báze Lineární kombinací rozumíme výraz Množina všech lineárních kombinací vektorů tvoří lineární prostor. Vektory jsou lineárně nezávislé, když je jejich lineární kombinace rovna 0 jen když jsou všechny koeficienty

21 21 Bázi lineárního prostoru tvoří n lineárně nezávislých vektorů. Libovolný vektor Zvláštní případ: Pro množinu všech reálných nebo komplexních funkcí času definovaných na intervalu T je lineárním prostorem, v němž je sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem definováno takto: Nechť M je libovolný lineární n -rozměrný prostor s bází má jediný rozklad

22 Normovaný lineární prostor Příklady norem: Norma vektoru se zavádí pomocí zobrazení lineárního prostoru do R s vlastnostmi a) b) c) jen při x = 0. Norma je metrikou.

23 Prostor se skalárním součinem Skalární součin generuje normu Skalární součin označovaný (x, y) nebo je zobrazení uspořádaných dvojic vekto­rů lineárního prostoru do komplexní roviny C a) b) c) jen když x = 0. ta generuje metriku.

24 24 Vektory x a y jsou ortogonální, pokud platí: (x, y) = 0 Příklady skalárních součinů:

25 Vyjádření prvků prostoru se skalárním součinem Vyjádření prvků prostoru se ………skalárním součinem Báze

26 26 Ortonormální báze je báze, pro jejíž prvky platí

27 ORTOGONÁLNÍ SOUSTAVY Úplné ortonormální soustavy Úplné ortonormální soustavy Příklady ortonormálních funkcí Příklady ortonormálních funkcí Walshovy funkce Walshovy funkce

28 Úplné ortonormální soustavy Nechť {g i } je systém ortonormálních funkcí. Označíme Pak Proto při libovolném n platí:

29 Příklady ortonormálních funkcí {gi} je soustavou funkcí ortonormálních s vahou w(t), jestliže Zavedeme skalární součin s vahou Norma s vahou je zavedena výrazem w(t) je reálná nezáporná funkce.

30 30 Mnohočleny Čebyševovy Funkce ortonormální v obyčejném smyslu jsou pak funkce Mnohočleny Legendrovy Interval Váha Interval

31 31 Funkce Laguerrovy Interval Funkce Legendrovy Interval Funkce Čebyševovy Interval Systém funkcí, posloupností délky N je ortogonální, ale není ortonormální. Proč?

32 FUNKCE PO ÚSECÍCH KONSTANTNÍ 2.6 FUNKCE PO ÚSECÍCH …..KONSTANTNÍ uspořádání dle kmitočtu uspořádání dle kmitočtu uspořádání dyadické uspořádání dyadické uspořádání přirozené uspořádání přirozené Walshovy funkce:

33 33 Systémy funkcí ortogonálních nad intervalem mají poměrně dlouhý vývoj. Uvažovalo se např. o jejich nasazení v širokopásmovém rádiovém vysílání. Byl by to do jisté míry předchůdce dnešního UWB. Zájem o tyto funkce vzrostl po rozšíření číslicových obvodů. Jejich zřejmě nejvýznamějším praktickým uplatněním je však použití v mobilních rádiových komunikacích. Z tohoto hlediska jsou významné zejména Walshovy funkce. Nabývají hodnot 1 a -1. Walshovy funkce můžeme chápat jako periodické s periodou 1. Mohou však být definovány a používány i jako funkce nad konečným intervalem Pak tvoří úplný ortonomovaný systém funkcí nad tímto intervalem.

34 Uspořádání dle kmitočtu Pojem kmitočet zde označuje zobecněný kmitočet chápaný jako poloviční počet přechodů funkce přes nulovou hladinu v intervalu délky 1. Funkce uspořádané podle rostoucího kmitočtu se označují wal w (i,Θ ). Používá se trojí uspořádání (pořadí) množiny Walshových funkcí. První z nich je uspořádání dle „kmitočtu“.

35 35

36 36 K ortonormálním signálům se spojitým časem lze přiřadit posloupnosti Wal w (i, n) s diskrétním časem. Posloupnosti Wal w (i, n) bývají zapisovány do řádků čtvercové matice N x N

37 Uspořádání dyadické K časově spojitým funcím funkcím wal p (i, Θ) můžeme přiřadit posloupnosti Wal p (i, n) délky N. Funkce se spojitým časem se v tomto případě označují wal p (i, Θ).

38 Uspořádání přirozené K časově spojitým funcím funkcím wal h (i, Θ) můžeme přiřadit posloupnosti Wal h (i, n) délky N. Walshovy - Hadamardovy funkce se spojitým časem se označují wal h (i, Θ ).

39 NÁHODNÉ PROCESY Korelační funkce Autokorelační funkce Autokovarianční funkce X(t) je obecné označení procesu, x(t) je hodnota realizace náhodného procesu v čase t

40 DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ PROCESY 2.9 DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ ….. PROCESY Signál jako vektor Signál jako vektor Korelační matice Korelační matice Kovarianční matice Kovarianční matice

41 Signál jako vektor Uspořádaná N -tice prvků signálu délky N může být nahlížena jako vektor

42 Korelační matice Pro stacionární proces

43 Kovarianční matice

44 44 U stacionárních náhodných procesů je

45 KOMPLEXNÍ NÁHODNÉ PROCESY 2.10 KOMPLEXNÍ NÁHODNÉ …... PROCESY Signál jako vektor Signál jako vektor Korelační matice Korelační matice Kovarianční matice Kovarianční matice

46 Definice a charakteristiky Komplexní náhodný proces je definován vztahem Střední hodnota Korelační funkce

47 Analytický signál Je-li proces X(t) stacionární v širokém smyslu a má střední hodnotu rovnu nule, je i jeho Hilbertův obraz stacionární a má střední hodnotu rovnu nule. Navíc pro korelační funkci platí Je tedy

48 Ortogonální rozklad Ortogonální rozklad NP 1 Chceme, aby byly koeficienty nekorelované Kdeje vlastní číslo aje vlastní funkce

49 Ortogonální rozklad Ortogonální rozklad NP 2 Koeficienty rozvoje mají nulovou střední hodnotu a jsou nekorelované. Jsou dány skalárním součinem Vlastní vektory q1, q2, …. qM tvoří ortonormální množinu za předpokladu, že jsou normalizovány. Nechť X je vektor náhodných pozorování s nulovou střední hodnotou a s korelační maticí R. X má rozměr Mx1. Nechť q 1, q 2, …. q M jsou vlastní vektory matice R. Vektor X může být vyjádřen takto:

50 50 Vlastnosti koeficientů

51 PSEUDONÁHODNÉ SIGNÁLY Signály pro simulace Signály pro simulace Rozprostírací posloupnosti Rozprostírací posloupnosti

52 Signály pro simulace Kongruentní gererátory. Celočíselné algoritmy. Často se generují čísla rovnoměrně rozložená v intervalu Všeobecně se požaduje, aby po sobě jdoucí hodnoty byly nanejvýš nepatrně korelované. Matlab: rand, randn a awgn Jindy se generují čísla s rozdělením přibližně normálním.

53 Rozprostírací posloupnosti  Goldovy sekvence  Sekvence Kasami  m – sekvence m - sequence Generovaná sekvence je periodická s periodou Každá perioda obsahuje jedniček anul

54 54 Délka registuPeriodaPočet různých sekvencí

55 55 LFSR (Linear Feedback Shift Register)

56 56


Stáhnout ppt "1 DRE2 Moderních digitální bezdrátové komunikace UREL FEKT VUT v Brně."

Podobné prezentace


Reklamy Google