Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Algebra II.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Algebra II."— Transkript prezentace:

1 Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Algebra II.

2 Teoretická informatika Opakování z minulé přednášky Co je to grupoid, pologrupa, monoid, grupa? Co jsou to zbytkové třídy? Jakou algebraickou strukturu tvoří zbytkové třídy s operací sčítání? A násobení? Jakou strukturu tvoří ({0,1},+) a ({0,1},  ) strana 2

3 Teoretická informatika 3 Podstruktury Nechť (A,*) je grupoid / pologrupa / monoid / grupa a nechť B  A. Jestliže je i (B,*) grupoid / pologrupa / monoid / grupa, nazýváme jej / ji podgrupoid / podpologrupa / podmonoid / podgrupa. Například (S 0, +) je podmonoidem monoidu (N 0, +), kde S značí množinu všech sudých přirozených čísel.

4 Teoretická informatika 4 Podgrupy O podgrupě (H,  ) grupy (G,  ) mluvíme tehdy, pokud – H  G – e  H – a  H  a -1  H – a,b  H  a  b  H Pomocí množiny M  G můžeme generovat podgrupu (M,  ) grupy (G,  ) – hovoříme o podgrupě generované množinou M Grupa generovaná jednoprvkovou množinou se nazývá cyklická

5 Teoretická informatika 5 Morfismy Zobrazení  : G  H nazýváme homomorfismem z grupy (G,  ) do grupy (H,  ) tehdy, pokud –  a,b  G:  (a  b) =  (a)   (b) Vnoření je prostý homomorfismus Izomorfismus je bijektivní homomorfismus Platí:  (e G ) = e H,  (a -1 ) = (  (a)) -1

6 Teoretická informatika 6 Klasifikace grup Libovolná nekonečná cyklická grupa je izomorfní grupě (Z,+) Libovolná n-prvková (n  N) cyklická grupa je izomorfní grupě (Z n, +) Součin dvou grup (G,  ) a (H,  ) definujeme po složkách –(G,  )*(H,  ) = (G  H,*) –(g 1, h 1 )*(g 2,h 2 ) = (g 1  g 2, h 1  h 2 ) Libovolné konečné komutativní grupy jsou izomorfní součinu (Z n, +) grup s n prvočíselným

7 Teoretická informatika 7 Algebraické struktury se dvěma operacemi Doposud jsme se zabývali strukturami s jednou operací Obvykle používáme více operací –typicky sčítání a násobení

8 Teoretická informatika 8 Okruhy Uspořádaná trojice (R, +,  ) se nazývá okruh, je-li – (R, +) komutativní grupa – (R,  ) pologrupa – platí distributivní zákony  a,b,c  R: a  (b + c) = a  b + a  c (a + b)  c = a  c + b  c Mluvíme o komutativních okruzích, pokud (R,  ) je komutativní monoid

9 Teoretická informatika Značení v okruzích Nula 0 je neutrální prvek v (R, +) Opačný prvek –a je inverzí k a v (R, +) Jednička 1 je neutrální prvek v (R,  ) Rozdíl a – b definujeme jako a + (–b) Hovoříme o triviálním okruhu pro |R| = 1 9

10 Teoretická informatika 10 Obor integrity Okruh (R, +,  ) nazýváme oborem integrity, je- li netriviální, komutativní, obsahuje-li jedničku a platí-li, že  a,b  R: (a  b = 0  a = 0  b = 0) Tedy v oboru integrity neexistují „dělitelé nuly“ Příklad: (Z n, +,  ) je obor integrity pro n prvočíselné –Proč ne pro n neprvočíselné?

11 Teoretická informatika 11 Tělesa Okruh (R, +,  ) nazýváme tělesem, je-li (R – {0},  ) komutativní grupa Je-li R těleso, je také oborem integrity (těleso je speciální případ oboru integrity), protože nenulové prvky musí být v oboru integrity uzavřeny na násobení Např. (Q,+,  ), (R,+,  ), (C,+,  ) jsou tělesa

12 Teoretická informatika 12 Podstruktury Zavádíme podokruhy, podobory integrity, podtělesa Zavádíme generování těchto útvarů Zavádíme homomorfismus, vnoření a izomorfismus (na obou operacích, na nule a na jedničce)

13 Teoretická informatika 13 Polynomy I. Polynomem nad okruhem R nazýváme nekončenou posloupnost f = (f 0, f 1, f 2, …), kde téměř všechny prvky jsou nulové –Téměř všechny = všechny s výjimkou konečně mnoha Nejčastější zápis polynomu: f = f 0 x 0 + f 1 x 1 + f 2 x 2 + … Značíme R[x] jako množinu všech polynomů nad okruhem R Operace definujeme jako sčítání po složkách a polynomové násobení

14 Teoretická informatika 14 Polynomy II. Stupeň polynomu = největší n takové, že f n  0 Kořen polynomu = takové číslo, které při dosazení za x způsobí, že f = 0 Řekneme, že těleso (T, +, ·) je algebraicky uzavřené právě tehdy, když kořeny všech polynomů nad T jsou prvky T.

15 Teoretická informatika 15 Základní věta algebry Tělesa (Z, +, ·), (Q, +, ·) a (R, +, ·) nejsou algebraicky uzavřená –Existují v nich ireducibilní polynomy Základní věta algebry: těleso (C,+,·) je algebraicky uzavřené

16 Teoretická informatika 16 Kam dál míří algebra… Další typy objektů – svazy (jiné operace), modulární svazy, Booleovy svazy Zavádíme pojem algebry jako objektu s libovolným počtem operací Z předchozích (univerzálnějších) objektů lze využít řadu vlastností i ve speciálních objektech (např. v algebrách)

17 Teoretická informatika 17 K zamyšlení Jakou strukturu tvoří množina všech zobrazení na neprázdné množině X spolu s operací skládání zobrazení? Zobrazení f(x) = e x je homomorfismus (dokonce izomorfismus) grup. Kterých? Najděte inverzní izomorfismus.


Stáhnout ppt "Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Algebra II."

Podobné prezentace


Reklamy Google