Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Nelineární programování - úvod Brožová H.: Matematické programování I, Nelineární optimalizační modely, skripta ČZU, 2004 Pánková V.:Nelineární optimalizace.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Nelineární programování - úvod Brožová H.: Matematické programování I, Nelineární optimalizační modely, skripta ČZU, 2004 Pánková V.:Nelineární optimalizace."— Transkript prezentace:

1 Nelineární programování - úvod Brožová H.: Matematické programování I, Nelineární optimalizační modely, skripta ČZU, 2004 Pánková V.:Nelineární optimalizace pro ekonomy, Professional Publishing,2003

2 Klasifikace optimalizačních modelů Podle počtu kritérií jednokriteriální Vícekriteriální Podle typu použitých funkcí lineární optimalizační modely, nelineární optimalizační modely Podle typu kritéria minimalizační model maximalizační model cílovém modelu Podle charakteru množiny přípustných řešení a účelové funkce konvexních optimalizačních modelech nekonvexních optimalizačních modelech.

3 Konvexní optimalizační model Minimalizačním optimalizačním modelem nazveme úlohu nalezení minimální hodnoty účelové funkce za daných omezujících podmínek, tedy min  f(x)  q i (x)  0, i = 1,..., m, x = (x1, x2,..., xn) T  R n , kde f(x) a q i (x) jsou reálné funkce více proměnných a x je prvek vektorového prostoru R n.  Konvexní optimalizační model s minimalizací účelové funkce obsahuje pouze konvexní funkce, resp. účelová funkce je konvexní funkce (musí existovat jediné minimum) a množina přípustných řešení je konvexní množina

4 Model lineárního programování Funkce f je konvexní, jestliže pro každé dva rozdílné body X 1,X 2 a ג platí: Konvexní množina přípustných řešení X 1 =(0,3) X 2 =(2,4)

5 Příklad 1 Firma chce zařadit do výrobního programu 2 typy výrobků. Průzkumem bylo zjištěno, že jednotkový zisk je v závislosti na prodaném množství (40-x 1 ) resp. (60-2x 2 )na jeden prodaný kus. Na každý kus je potřeba 1 m 2 plechu, kterého bylo nakoupeno 500 m 2,a jedna hodina práce na první výrobek a dvě hodiny na druhý výrobek. K dispozici je 800 pracovních hodin. Kolik kterých výrobků má být vyrobeno, aby zisk byl maximální? Předpokládáme, že se všechny vyrobené výrobky prodají. Řešení: Graficky sestrojíme množinu přípustných řešení. První parciální derivace účelové funkce položíme rovny nule a zkoumáme, zda tento bod leží v množině přípustných řešení. Optimum je tedy: x 1 =20 a x 2 =15, maximální zisk 850.

6

7 Gradient funkce Vektor prvních parciálních derivací funkce f(x) se nazývá gradient a značí se

8 Gradient funkce pro příklad 1 Převedeme na formu v definici, tj. minimalizace:

9 Hessova matice Hessova matice H je symetrická matice druhých parciálních derivací, kdy na místě ij je prvek: Je-li příslušná Hessova matice pozitivně definitní, je funkce konvexní. Jestliže pro prvky některé h ii platí: pak matice H není pozitivně definitní.

10 Hessova matice pro příklad 1 Příslušná Hessova matice je pozitivně definitní (prvky na hlavní diagonále jsou kladné, funkce je konvexní.

11 Příklad 2: Zjistěte, zda funkce je konvexní

12 Lagrangeovy multiplikátory Úloha na vázaný extrém: min  f(x)  q i (x) = 0, i = 1,..., m, x = (x 1, x 2,..., x n ) T  R n , Hledání optima nelineární úlohy, jejíž množina přípustných řešení je omezena podmínkami typu q i (x) = 0, je možné převést na řešení soustavy rovnic. Pokud: funkce f a q jsou spojitě diferencovatelné gradienty funkcí q jsou lineárně nezávislé vektory x opt bod lokálního minima funkce, pak existují jednoznačné skaláry u 1,u 2,…,u m takové, že platí:

13 Lagrangeova funkce Má-li funkce f(x) lokální minimum, pak: Vytvoří se soustavy n+m rovnic o n+m neznámých. Pokud je množina M konvexní a funkce f(x) také konvexní,je nalezený extrém je jediným globálním minimem. Hessova matice příslušné Lagrangeovy funkce je pozitivně definitní.

14 Příklad 3: Řešení soustavy rovnic: x1=20; x2=15; u1=0; u2=0

15

16 Příklad 4: Lineární model Řešení soustavy rovnic: x 1 =20; x 2 =30; u 1 =-10; u 2 =70

17

18 Příklad 5: Optimalizace portfolia Hodláme investovat 1 jednotku do 4 aktiv, které mají náhodné výnosy c 1,…,c 4. Z jedné investované jednotky chceme získat 1,2 jednotky. Jsou známy očekávané výnosy (aritmetický průměr sloupce) a matice kovariance. Čím jsou její prvky blíž k 1, tím se investice vzájemně ovlivňují ve stejném směru. Negativní kovariance značí pohyb v opačném směru. c1c1 c2c2 c3c3 c4c4 0,51,11,51,7 0,211,21,5 0,70,91,60,8 0,60,81,70,6 0,91,2 0,811,41,9 0,71,11,21,8 0,50,91,41,6 0,61,3 1,7 0,71,11,40,4

19 Matice kovariance ,02490,00110,0069-0, ,00110,0189-0,00990, ,0069-0,00990,0269-0, ,01180,0288-0,04280,2616

20

21

22 Výsledky Vzhledem k tomu, že v tomto typu modelu nejsme schopní počítat s nerovnicemi, nelze vložit ani podmínky nezápornosti. x1x1 0, x2x2 0, x3x3 -0,57686 x4x4 1, u1u1 0, u2u2 -0,02504

23 Kuhn-Tuckerova věta o sedlovém bodě Konvexní optimalizační model min  f(x)  q i (x)  0, i = 1,..., m, x = (x1, x2,..., xn) T  R n , Účelová funkce f(x) nabývá minima v bodě x opt modelu právě tehdy, když existuje vektor u opt  R m a platí následující vztahy : x opt  0 a u opt  0 L(x opt, u)  L(x opt, u opt )  L(x, u opt ) a existuje alespoň jeden vektor x  R n, že q i (x) < 0,i=1,...m. V bodě x opt, u opt má Lagrangeova funkce sedlový bod. Min vzhledem k x a max vzhledem k u.

24 Kuhn - Tuckerovy podmínky Konvexní optimalizační úloha má řešení x opt právě tehdy, když existuje vektor u opt a platí :

25 Kuhn - Tuckerovy podmínky Zápis pomocí gradientů:

26 Příklad 4: Lineární model

27


Stáhnout ppt "Nelineární programování - úvod Brožová H.: Matematické programování I, Nelineární optimalizační modely, skripta ČZU, 2004 Pánková V.:Nelineární optimalizace."

Podobné prezentace


Reklamy Google