Způsob řešení soustavy lineárních rovnic

Prezentace na téma: "Způsob řešení soustavy lineárních rovnic"— Transkript prezentace:

1 Způsob řešení soustavy lineárních rovnic
Matice Definice Matice je množina prvků zobrazená v obdélníkovitém tvaru. Nejznámější je její využití při řešení lineárních rovnic. Píše se do závorek. Soustavu rovnic Příklad k definici LEVÁ STRANA 2x - y + 3z = -1 x z = 1 3x - 2y - z = - 8 Zapíšeme takto: PRAVÁ STRANA HLAVNÍ DIAGONÁLA Matice se označuje velkým písmenem a definuje se počtem řádků a počtem sloupců. Tato matice bude tudíž zapsána např. takto: A (3,4) Pokud má matice levou a pravou stranu nazýváme ji rozšířenou maticí. Způsob řešení soustavy lineárních rovnic Přepsání soustavy do matice Řešení matice  převedení do Gaussova tvaru Dosazení proměnných Gaussův tvar matice Je když jsou všechny prvky pod hlavní diagonálou jsou rovny nule. – Při převádění matic do Gaussova tvaru jsou povoleny tyto úpravy: Výměna umístění řádků pozn.: Ideální je, když 1. řádek začíná jedničkou Přičtení násobku jiného řádku k jinému Libovolný řádek matice můžeme vynásobit číslem různým od nuly Vynechat můžeme řádek ze samých nul, pokud to není jediný řádek v matici Vynechat můžeme řádek, který je násobkem jiného Matice je homogenní když jsou prvky na pravé stranně rovny nule. Nehomogenní jsou ty ostatní.

2 Zjištění počtu řešení soustavy rovnic
Počet řešení soustavy rovnic se stanovuje pomocí Gaussovy eliminační metody. Hodnost matice h definujeme počtem řádků. Hodnost rozšířené matice zapisujeme jako hr. Pokud počet neznámých v soustavě označíme jako n, tak platí, že soustava má jedno řešení když h = hr = n nekonečně mnoho řešení když h = hr < n nemá žádné řešení když h se nerovná hr (logika věci říká, že 0x + 0y + 0z nemůže být -2 Toto se zjišťuje, až když je matice v Gaussově tvar. Podrobně řešený příklad soustavy lin. rovnic x + 3y + 2z + t = 2 Přepsání soustavy do matice  Řešení matice  převedení do Gaussova tvaru x + 2y t = -1 x + 4y + 5z + 7t = 6 Prohodím 1. a 2.řádek K 2.řádku přičtu násobek –1 řádku 1 K 3.řádku přičtu násobek –1 řádku 1 K 3.řádku přičtu násobek –2 řádku 2 h = hr < n  rovnice má nekonečně mnoho řešení, a tak z neznámé např t uděláme parametr g (nemůžeme použít ty neznámé, které mají v posledním řádku nulu). Dosazovat začínáme od posledního řádku. z + 3t = 1  z + 3g = 1  z = 1 – 3g  Dosadíme do 2. řádku y + 2z + 3g = 3  y + 2 – 6g + 3g = 3  y = 1 + 3g  Dosadíme do 1. řádku x + 2y – 2g = -1  x g – 2g = -1  x = -3 – 4g Výsledek zapíšeme ve tvaru [ -3, 1, 1, 0] + g ( -4, 3, -3, 1) Výsledek příkladu 8.1. Vyšel dobře podle zkoušky i výsledků ve scriptech.

3 Homogenní matice – příklad 8.2
x – 2y – z + 3t = 0 3x – 5y – 2z + 7 t = 0 -x + 2y – 2z – 2t = 0 K 2.řádku přičtu –3 násobek řádku 1 Přepsání soustavy do matice  K 3.řádku přičtu řádek 1 h = hr < n  rovnice má nekonečně mnoho řešení. Parametr g učiním z neznámé z. Dosazovat začínáme od posledního řádku. -3z + t = 0  -3g + t = 0  t = 3g  Dosadíme do 2. řádku y + z – 2t = 0  y + g – 6g = 0  y = 5g  Dosadíme do 1. řádku x - 2y – z + 3t = 0  x – 10g - g + 9g = 0  x = 2g Výsledek zapíšeme ve tvaru [ 0, 0, 0, 0] + g ( 2, 5, 1, 3) Výsledek je správně podle zkoušky, ale rozdílný od výsledku ve scriptech.  Správně to mám já. Nehomogenní matice – příklad 8.3 K 3.řádku přičtu –2 násobek řádku 1 x – 5y – 3z + 3t = -5 2y + 2z – t = 3 2x – 3y + z – t = -3 Přepsání soustavy do matice  3.řádek vykrátím a prohodím s druhým K 3.řádku přičtu –2 násobek řádku 2 h = hr < n  rovnice má nekonečně mnoho řešení. Parametr g učiním z neznámé z. Dosazovat začínáme od posledního řádku. t = 1  Dosadíme do 2. řádku y + z – t = 1  y + g – 1 = 1  y = 2 - g  Dosadíme do 1. řádku x - 5y – 3z + 3t = -5  x – g - 3g + 3 = -5  x = 2 - 2g Výsledek zapíšeme ve tvaru [ 2, 2, 0, 1] + g ( -2, -1, 1, 0) Výsledek je správně podle zkoušky, ale je nepatrně rozdílný od výsledku ve scriptech.  Správně to mám já.

4 Výsledek O.K. Výsledek O.K.
Příklad 8.4 x + y – 3z + t = 4 -x z + t = -1 x + 2y – 3z + 3t = 7 Přepsání soustavy do matice  k 2.řádku přičteme 1.řádek k 3.řádku přičteme –1 násobek řádku 1 h = hr < n  rovnice má nekonečně mnoho řešení. Vynechám třetí řádek Parametr g učiním z neznámé t. Dosazovat začínáme od posledního řádku. y + 2t = 3  y + 2g = 3  y = 3 - 2g  Dosadíme do 1. řádku x + y – 3z + t = 4  [z neznámé z učiním parametr p] x + 3 – 2g – 3p + g = 4  x = 1 + g + 3p Výsledek zapíšeme ve tvaru [ 1, 3, 0, 0] + g ( 1, -2, 0, 1) + p ( 3, 0, 1 ,0 ) Výsledek O.K. Příklad 8.5 x + y – z = 4 2x + 2y - z = 6 x + 3y + z = 10 k 2.řádku přičteme –2 násobek řádku 1 Prohodím 2.řádek za třetí Přepsání soustavy do matice  k 2.řádku přičteme –1 násobek řádku 1 h = hr = n  rovnice má 1 řešení. Vykrátím 2.řádek Dosazovat začínáme od posledního řádku. z = -2  Dosadíme do 2. řádku y + z = 3  y – 2 = 3  y = 5  Dosadíme do 1. řádku x + y – z = 4  x = 4  x = -3 Výsledek zapíšeme ve tvaru [ -3, 5, 2] Výsledek O.K.

5 Determinant - nástin definice
Zde se nedovíte, proč jsou operace s použitím determinantu pravdivé (permutace, inverze), ale jen konstatování že determinant matice je jákási hodnota matice vyjádřená číslem. Tuto hodnotu – determinant počítáme podle tzv. Sarrusova pravidla. Toto pravidlo používáme jen u matic typu 2*2 a 3*3 prvků. Řešení přiblížím tak, že do matice zakreslím diagonály vedoucí zprava doleva dolů a diagonály vedoucí z leva doprava dolů. Prvky ležící na každé diagonále budu násobit. Násobky z diagonál zleva doprava budu k sobě přičítat a násobky z diagonál zprava doleva budu odčítat. Determinant (budeme označovat det) se u této matice bude rovnat. 2 * (-1) * 1 = 9 Pokud máme matici s hodností 3 opíšeme první dva řádky pod třetí, aby diagonály byly tzv. kompletní. 2 * 4 * (-1) + 1 * (-2) * * (-1) * 2 – 3 * 4 * 3 – 2 * (-2) * 2 – (-1) * (-1) * 1 = (-8) + (-6) + (-6) – 36 – (-8) – 1 = -49 Před samotným výpočtem se mohou matice elementárně upravovat (vykrátit, prohodit řádky, … ) 2 -1 1 4 - + + - Způsob řešení soustavy lineárních rovnic pomocí determinantu Při řešení soustavy lin. rovnic pomocí matic se potkáváme s tzv. rozšířenými maticemi o hodnosti H´. Protože při řešení budeme používat Sarrusovo pravidlo, tak zdůrazním, že řešíme matice o hodnosti H = 2 nebo H = 3, kdy počet řádků této nerozšířené matice je roven počtu sloupců. počítá s tím, že pro každou neznámou si zapíše novou matici prohozením sloupců. Pro názornou ilustraci označím sloupce symboly. Pak bude platit: Cramerovo pravidlo ? @ * * @ ? * det Ax det A A je levá strana rozšířené matice. Ax = Ay = x = det Ax det A y =

6 Cramerovo pravidlo - pokračování
? @ ° * ? @ ° * @ ° ? * ° ? @ * A = Ax = Ay = Az = Slovy bych to vyjádřil asi takto: Matici pro neznámou x zapíši tak, že sloupec s neznámými x nahradím sloupcem z pravé strany rozšířené matice. Ax = det Ax det A Ay = det Ay det A Az = det Az det A Příklad 10.1 x + y – z = 4 2x + 2y – z = 6 x + 3y + z = 10 = 1 * 2 * * 3 * (-1) + 1 * 1 * (-1) – (-1) * 2 * 1 – (-1) * 3 * 1 – 1 * 1 * 2 = 2 – 6 – – 2 = -2 A = Ax = 4 * 2 * * 3 * (-1) + 10 * 1 * (-1) – (-1) * 2 * 10 – (-1) * 3 * 4 – 1 * 1 * 6 = 8 – 18 – – 6 = 6  x = det Ax : det A = 6 : (-2) = -3 Ax = Ay = 1 * 6 * * 10 * (-1) + 1 * 4 * (-1) – (-1) * 6 * 1 – (-1) * 10 * 1 – 1 * 4 * 2 = 6 – 20 – – 8 = -10  y = det Ay : det A = (-10) : (-2) = 5 Ay = Az = Az = 1 * 2 * * 3 * * 1 * 6 – 4 * 2 * 1 – 6 * 3 * 1 – 10 * 1 * 2 = – 8 – 18 – 20 = 4  z = det Az : det A = 4 : (-2) = -2 Výsledek zapíšeme ve tvaru [ -3, 5, -2] Výsledek O.K. Kdybych si mohl vybrat způsob řešení soustavy lineárních rovnic, tak bych dal určitě přednost řešení pomocí determinantu před dosazovací metodu a klasickým zpracováním matice kvůli nejmenší pravděpodobnosti udělání chyby.

7 Příklad 10.2 Příklad 10.4 2x + 7y + 5z = 8 -3x + y + 4z = 11
= 2 * 1 * 1 + (-3) * 7 * * 7 * 4 – 5 * 1 * 7 – 4 * 7 * 2 – 1 * 7 * (-3) = 2 – – 35 – = 23 A = Ax = 8 * 1 * * 7 * 5 + (-2) * 7 * 4 – 5 * 1 * (-2) – 4 * 7 * 8 – 1 * 7 * 11 = – – 224 – 77 = 46  x = det Ax : det A = 46 : 23 = 2 Ax = Ay = 2 * 11 * 1 + (-3) * (-2) * * 8 * 4 – 5 * 11 * 7 – 4 * (-2) * 2 – 1 * 8 * (-3) = – = -69  y = det Ay : det A = : 23 = -3 Az = 2 * 1 * (-2) + (-3) * 7 * * 7 * 11 – 8 * 1 * 7 – 11 * 7 * 2 – (-2) * 7 * (-3) = - 4 – – 56 – 154 – 42 = 115  z = det Az : det A = : 23 = 5 Ay = Az = Příklad 10.4 Výsledek zapíšeme ve tvaru [ -3, 5, -2]  O.K. 4x + y + 5z = 15 2x - 3y – z = -3 5x - 4y = 3 = 4 * (-3) * * (-4) * * (-1) * 1 – 5 * (-3) * 5 – (-1) * (-4) * 4 – 0 * 1 * 2 = 0 – 40 – – 16 – 0 = 14 A = Ax = 15 * (-3) * 0 + (-3) * (-4) * * 1 * (-1) – 5 * (-3) * 3 – (-1) * (-4) * 15 – 0 * 1 * (-3) = – – = 42  x = det Ax : det A = 42 : 14 = 3 Ax = Ay = 4 * (-3) * * 3 * * 15 * (-1) – 5 * (-3) * 5 – (-1) * 3 * 4 – 0 * 15 * 2 = – – 0 = 42  y = det Ay : det A = 42 : 14 = 3 Ay = 2x – 3y – z = -3  2 * 3 – 3 * 3 – z = -3  0 = z Výsledek zapíšeme ve tvaru [ 3, 3, 0] Výsledek O.K.

8 A(m,n) * B(k,l)  musí platit, že m=l a n=k
Operace s maticemi Násobení a dělení reálným číslem je to nejprimitivnější co nás může potkat Máme-li matici A 8 7 2 1 a násobek 3, pak jejich součin bude 3*8 3*7 3*2 3*1 Sčítání a odečítání matic je také velmi jednoduché. 1 2 3 4 5 6 7 8 6 8 10 12 Máme-li matici A a matici B pak jejich součet bude: Ještě vykrátit = Násobení matic U násobení matic se setkáváme s jednou zvláštností. Na rozdíl od násobení reálných čísel, kdy nám vyjdou stejné výsledky, ať už násobíme číslo A číslem B, tak u matic to neplatí  A * B se nerovná B * A Pak tu máme ještě jednu omezující podmínku, a to, že Počet sloupců v matici A se musí rovnat počtu řádků v matici B a počet řádků v matici A se musí rovnat počtu sloupců v matici B. A(m,n) * B(k,l)  musí platit, že m=l a n=k Pro znázornění zapíši matice pomocí indexů A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 B4 A1*B A1*B2+ A2*B A2*B4 A3*B A3*B2+ A4*B A4*B3 * = 1.řádek A* řádek A* 1.sloupec B sloupec B 2.řádek A* řádek A* Pravidlo o tom, že A * B se nerovná B * A má jednu vyjímku (na další straně)

9 Inverzní matice Jednotková matice
Inverzní matice A je maticí obrácenou k matici A. Pokud násobíme matici A maticí A dostaneme stejný výsledek, jako když násobíme matici A maticí A. Inverzní matici A vypočteme za pomoci matice jednotkové E, a to tak že budeme řešit rozšířenou matici jejíž levou stranu bude tvořit matice A a pravou stranu matice E. Elementárními úpravy matice docílíme toho, že se jednotková matice E přesune na levou stranu rozšířené matice. Potom pravá strana matice bude rovna matici A , tedy matici inverzní k matici A. V tomto případě tedy platí, že A * A = A * A = E , ale také E * A = A * E -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 Je taková matice, která má na své hlavní diagonále samé jedničky, a všechny ostatní prvky jsou nuly Jednotková matice Matice, ke které existuje inverzní matice nazýváme maticí regulární. Matice, ke které neexistuje inverzní matice nazýváme maticí singulární. Inverzní matice existují pouze u matic typu n x n, pro které platí, že determinant A musí být různý od nuly a hodnost matice A musí být rovna počtu řádků n E = 1) Začneme zapsáním rozšířené matice ve tvaru ( A | E ) Zkušební příklad: Zjistěte inverzní matici k matici A = K 2.řádku přičtu –3 násobek řádku 1 Proházím si řádky K 3.řádku přičtu –2 násobek řádku 1 K 1.řádku přičtu ½ násobek řádku 2 ½ ½ 3.řádek vynásobím -1 K 2.řádku přičtu 4 násobek řádku 3 ½ ½ ½ ½ 2.řádek vydělím -2 ½ ½ ½ ,5 ½ ½ Zkoušku provedeme tak, že vynásobíme A * A . Pokud nám vyjde E, tak je vše v pořádku. -1 -1 A = -½ ,5

10 Maticové rovnice Postup Odvodíme vzorec pro výpočet neznámé matice X Při odvozování vzorce používáme vzorce, které známe z řešení matic inverzních Vypočítáme všechny potřebné matice Dosadíme do vzorce a vypočítáme matici X E = A * A -1 Příklad 11.8 -1 1) Rozšíření maticí X A * A * X = B * A X = B * A AX = B, kdy A= B = -1 -1 -1 -1 2) Spočítám matici A Proházím řádky, a 2.řádek vynásobím -1 -1 A = K 2.řádku přičtu 1.řádek K 3. řádku přičtu –2 násobek řádku 1 K 3. řádku přičtu –1 násobek řádku 2 K 1. řádku přičtu –1 násobek řádku 3 -1 A = 3) Dosazení do rovnice X = * = Sice mi to nevyšlo, ale už s matikou končím, protože v principu to chápu.