Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Kinematika srážkových procesů 1) Úvod - srážkové a rozpadové procesy 2) Rutherfordův rozptyl (Rutherfordův experiment ze všech stran). 3) Zákony zachování.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Kinematika srážkových procesů 1) Úvod - srážkové a rozpadové procesy 2) Rutherfordův rozptyl (Rutherfordův experiment ze všech stran). 3) Zákony zachování."— Transkript prezentace:

1 Kinematika srážkových procesů 1) Úvod - srážkové a rozpadové procesy 2) Rutherfordův rozptyl (Rutherfordův experiment ze všech stran). 3) Zákony zachování energie a hybnosti. 4) Laboratorní a těžišťová soustava. 5) Energie reakce, energie rozpadu. 6) Srážkový diagram hybností 7) Nerelativistický, relativistický a ultrarelativistický přístup. 8) Relativistické invariantní kinematické proměnné. 9) Ultrarelativistický přístup –rapidita 10) Transformace kinematických veličin a účinného průřezu z laboratorní soustavy do těžišťové a naopak

2 Úvod Zkoumání srážek a rozpadů jader a elementárních částic – hlavní metoda zkoumání vlastností mikrosvěta. Pružný rozptyl – během něho se nemění vnitřní pohybový stav zúčastněných částic  při rozptylu nedochází k excitaci či deexcitaci částic a jejich klidové hmotnosti se nemění. Nepružný rozptyl – během něho se vnitřní pohybový stav částic mění (jsou excitovány), ale nedochází k přeměně částic. Hluboce nepružný rozptyl – dochází k velmi silné excitaci částic  velká přeměna kinetické energie na excitační energii. Jaderná reakce (reakce elementárních částic) – jaderná přeměna vyvolaná vnějším zásahem. Dochází jak ke změně struktury zúčastněných jader (částic) tak ke změně pohybového stavu. Řadíme mezi ně i zmíněné rozptyly. Jaderné reakce můžeme dělit podle různých kriterií: Podle průběhu ( štěpná jaderná reakce, jaderná syntéza, reakce přenosu nukleonu …) Podle účastníků srážky (fotojaderné reakce, reakce těžkých iontů, reakce indukované protony, reakce produkce neutronů …) Podle energie reakce (exoenergetické, endoenergetické reakce) Podle energie nalétávajících částic (nízkoenergetické, vysoko-energetické, relativistické srážky, ultrarelativistické …)

3 Kinematikou procesu nazýváme množinu hmotností, energií a hybností objektů účastnících se srážky či rozpadu. Ne všechny kinematické veličiny jsou nezávislé. Závislosti jsou určovány zákony zachování, z nichž jsou pro kinematiku nejdůležitější zákon zachování energie a zákon zachování hybnosti Při určování kinematických veličin jsou důležité transformace mezi různými souřadnými soustavami a veličiny, které se při těchto transformacích zachovávají (invariantní proměnné). Jaderný rozpad (radioaktivita) – samovolná (ne vždy – indukovaný rozpad) jaderná přeměna spojená s produkcí částic. Rozpad elementárních částic - totéž pro elementární částice

4 Rutherfordův rozptyl Terč: tenká folie z těžkých jader (například zlata) Svazek: kolimované nízkoenergetické částice α s rychlostí v = v 0 << c, po rozptylu v = v α << c Nezapočtení charakteru interakcí a struktury objektů Zákon zachování hybnosti:.. (1.1) a tedy: ….. (1.1a) umocníme: ….. (1.1b) Zákon zachování energie: (1.2)a tedy:.. (1.2b) Porovnáním rovnic (1.1b) a (1.2b) dostaneme: ………… (1.3) Pro skalární součin vektorů platí takže dostaneme

5 Je-li m t <>m α : Levá strana rovnice (1.3) záporná → z pravé plyne velký úhel mezi α a odraženým jádrem terče → velký úhel rozptylu částice α Konkrétní příklad rozptylu na atomu zlata: m α  3,7·10 3 MeV/c 2, m e  0,51 MeV/c 2 a m Au  1,8·10 5 MeV/c 2 1) Jestliže m t =m e, pak m t /m α  1,4·10 -4 : Z rovnice (1.3) dostaneme: v e = v t = 2v α cos ≤ 2v α Z rovnice (1.2b) dostaneme: v α  v 0 Pak pro velikosti hybností platí: m e v e = m  (m e /m  ) v e ≤ m  ·1,4·10 -4 ·2v α  2,8·10 -4 m  v 0 Maximální hybnost přenesená na elektron je ≤ 2,8·10 -4 původní hybnosti a jen o adekvátní (tedy zanedbatelnou) část hybnosti se zmenší hybnost částice α. Připomínka rovnice (1.3) Připomínka rovnice (1.2b): Maximální úhlová odchylka α částice α nastane, jestliže celá změna hybnosti elektronu i α jde do směru kolmého. Pak ( α  0): α  rad   tan α = m e v e /m  v 0 ≤ 2,8·10 -4  α ≤ 0,016 o

6 2) Jestliže m t =m Au, pak m Au /m α  49 Z rovnice (1.3) dostaneme pro velikost rychlosti: v Au = v t = 2(m α /m t )v α |cos |  2(m α v α )/m t Dosadíme tuto maximální možnou rychlost v t do (1.2b) dostaneme: v α  v 0 Pak pro velikosti hybností platí: m Au v Au ≤ 2m  v α  2m  v 0 Maximální hybnost přenesená na jádro Au je dvojnásobek původní hybnosti a částice α může být odražena zpět z původní velikostí hybnosti (rychlosti). Maximální úhlová odchylka α částice α bude až 180 o. Plně odpovídá Rutherfordovu experimentu a modelu: 1) Slabě odchýlené  - rozptyl na elektronech 2)  rozptýlené na velké úhly – rozptyl na hmotném jádře Pozor připomenutí!!: předpokládali jsme objekty podobné bodovým a neuvažovali charakter sil. Připomínka rovnice (1.3) Připomínka rovnice (1.2b): neboť:

7 Zahrneme charakter síly – centrální odpudivé elektrické pole: Thomsonův model - kladně nabitý oblak s poloměrem atomu R A : Intenzita elektrického pole vně: Intenzita elektrického pole uvnitř: Nejsilnější pole je na povrchu oblaku a síla působící na částici  (Q  = 2e) je: Tato síla rychle klesá se vzdáleností a působí po dráze L  2R A   t = L/ v 0  2R A / v 0. Výsledná změna hybnosti částice  = udělený příčný impuls: Maximální úhel je: Dosadíme za R A  m, v 0  10 7 m/s, Q = 79e (Thomsonův mod.):   rad   tan   2,7·10 -4 →   o jen velmi malé úhly. Uděláme odhad pro Rutherfordův model: Dosadíme za R A = R J  m (pouze kvalitativní odhad): tan    2,7 →    70 o  i velmi velké úhly rozptylu.

8 Možnost dosažení velkých odchylek mnohonásobným rozptylem Folie v experimentu měla 10 4 atomových vrstev. Předpokládejme: 1)Thomsonův model (rozptyl na elektronu nebo na kladně nabitém oblaku) 2)Jeden rozptyl v každé atomové vrstvě 3)Střední hodnota velikosti jedné odchylky   0,01 o. Buď na elektronu nebo na kladně nabitém oblaku Střední hodnota celkové velikosti odchylky po N rozptylech je (odchylky jsou do všech směrů, proto se musí vycházet z kvadrátů):  …..…. (1) Odvodíme vztah (1). Rozptyl se odehrává se v prostoru, ale pro jednoduchost dokumentujme úlohu na dvojrozměrném příkladu: Mnohonásobný rozptyl částic V daném případě jsou odchylky i jak v kladném tak záporném směru statisticky rozděleny podle Gaussova normálního rozdělení. Takže střední hodnota odchylky částice od původního směru je rovna nule:

9 Rozptyl na každé atomové vrstvě je stejného typu: Pak můžeme odvodit uvedený vztah (1): Neboť pro dvě vzájemně nezávislé náhodné veličiny a a b z Gaussým rozdělením platí: A platí tedy i již uvedené: Dosadíme za N zmíněných 10 4 a střední odchylku hodnotu 0,01 o. Střední hodnota velikosti odchylky po mnohonásobném rozptylu v experimentech Geigera a Marsdena nám pak vychází  1 o. Hodnota blízká této hodnotě byla opravdu naměřena. V experimentu se určité velmi malé procento částic odchylovalo o více než 90 o (jedna na každých 8000 částic). Určeme pravděpodobnost P(  ), že se díky mnohonásobnému rozptylu objeví velikost odchylky větší než . Nejdříve si všimněme, že i kdyby všechny odchylky byly velikosti střední odchylky a v jednom směru, bude konečný úhel ~100 o (zdůrazněme předpoklad  každý rozptyl je o úhel rovný střední hodnotě). Pravděpodobnost toho je P = (1/2) N =(1/2) = Korektním výpočtem dostaneme: Dosadíme: Jasný rozpor s experimentem – Thomsonův model je třeba zavrhnout

10 Odvození Rutherfordova vzorce pro rozptyl: Předpoklady: 1) Částice  i atomové jádro považujeme za hmotné body a bodové náboje. 2) Mezi částicí a jádrem působí pouze elektrická repulzní síla – započítáváme i dynamiku. 3) Jádro je ve srovnání s částicí tak masivní, že se nepohybuje. Působící síla: Nabité částice s nábojem Ze produkují coulombovský potenciál: Dvě nabité částice s náboji Ze a Z‘e ve vzdálenosti na sebe působí silou, která dává přírůstek k potenciální energii : Coulombovská síla je: 1) Konservativní – síla je gradientem potenciální energie: 2) Centrální : Velikost coulombovské síly je a působí ve směru spojnice částic. Elektrostatická síla je tedy úměrná 1/r 2  dráha částic  tvoří hyperbolu s jádrem ve vnějším ohnisku.

11 Definujme: Parametr srážky b – minimální vzdálenost, na kterou by se částice  přiblížila k jádru, kdyby mezi nimi neexistovaly žádné síly. Úhel rozptylu - úhel mezi asymptotickými směry příletu a odletu částice . Nejdříve najdeme vztah mezi b a : Jádro udělí částici  impuls  změní se její hyb- nost z počáteční hodnoty p 0 na konečnou hodnotu p  : Geometrie Ruthefordova rozptylu. Hybnosti v Ruthefordově rozptylu: …………………. (1) Z předpokladu o nehybnosti jádra plyne, že kinetická energie a velikosti hybností částice  před, v průběhu a po rozptylu jsou stejné: p 0 = p  = m  v 0 =m  v  Z obrázku je vidět, že: Protože je impuls ve stejném směru jako změna hybnosti, platí: kde  je okamžitý úhel mezi a podél dráhy částice. ……….. (2) ………………………… (3)

12 Dosadíme (2) a (3) do (1): ………… ……(4) Změníme integrační proměnou z t na  : ……….(5) Kde d  dt je úhlová rychlost částice  kolem jádra. Elektrostatické působení jádra na částici podél vektoru spojnice   nepůsobí žádný silový moment  moment hybnosti se nemění (jeho počáteční hodnota je m  v 0 b) a je spojen s úhlovou frekvencí   = d  /dt  m    r 2 = konst = = m  r 2 (d  /dt) = m  v 0 b tedy: dosadíme za dt/d  do (5): … (6) Dosadíme za elektrostatickou sílu F (Z  =2): Dostaneme: neboť platí: Dosadíme do rovnice (6): Úhel rozptylu souvisí se srážkovým parametrem b vztahem: … (7) Čím menší parametr srážky b, tím větší úhel rozptylu.

13 Zákony zachování energie a hybnosti V kinematice jsou důležité právě tyto zákony zachování, které určují vztah mezi kinematickými veličinami. Pro izolovanou soustavu platí: Zákon zachování celkové energie: Zákon zachování celkové hybnosti: Nerelativistické přiblížení (m 0 c 2 >> E KIN ): E KIN = p 2 /(2m 0 ) Pro pružný rozptyl platí zároveň: Ultrarelativistické přiblížení (m 0 c 2 << E KIN ): E ≈ E KIN ≈ pc

14 Pro pružný rozptyl dostaneme: Ze zákona zachování hybnosti: a použitím kosinové věty dospějeme k: Nerelativistickém přiblížení: Ze zákona zachování energie: Díky těmto rovnicím můžeme vždy eliminovat dvě proměnné. Většinou se neměří energie odražené částice E‘ KIN 2 a úhel odrazu ψ. S uvedených rovnic pak dostaneme vztah pro zbývající kinematické proměnné: Ultrarelativistické přiblížení: Ze zákona zachování energie: Z tohoto vztahu a vztahu pro zachování hybnosti dostaneme: cos  1 a tedy  0

15 Laboratorní a těžišťová soustava Nestudujeme pouze srážku částice s pevným centrem. V případě centrálního potenciálu lze i v případě komplikovanějším zjednodušit popis oddělením pohybu těžiště. Řešení úlohy pak provádíme ve výhodnější vztažné soustavě. Laboratorní soustava – probíhá v ní experiment, měří se v ní veškeré kinematické veličiny. Z hlediska experimentu primární. Většinou je terčová částice v této soustavě v klidu (výjimkou jsou experimenty s vstřícnými svazky). Těžišťová soustava – soustava v níž je těžiště v klidu a tedy celková hybnost částic nulová. Většinou nás zajímá relativní pohyb částic a ne pohyb celé soustavy jako celku, takže je použití této soustavy velmi výhodné. Připomenutí zavedení těžiště: předpokládejme dvě částice (o hmotnosti m 1, m 2 a souřadnicích ) interagující vzájemně pouze centrálním potenciálem: Pohybové rovnice lze zapsat ve tvaru: …………(1) kde má ve sférických souřadnicích tvar ( jsou příslušné jednotkové vektory): i = 1,2

16 Potenciální energie závisí pouze na vzájemné vzdálenosti částic. Definujme nové souřadnice: ………………………. (2) Připomenutí rovnic (1): Ze vztahů (1) a (2) dostaneme (platí ): Kde  je redukovaná a M celková hmotnost systému. V případě centrálního potenciálu lze pohyb rozdělit přepsáním do souřadnice vzájemné vzdálenosti a souřadnice těžiště: Pohyb těžiště je rovnoměrný přímočarý, v laboratorní soustavě se těžiště pohybuje konstantní rychlostí nezávisle na konkrétním tvaru potenciálu. Dynamika je plně obsažena v pohybu fiktivní částice s redukovanou hmotností  a souřadnicí r. V těžišťové soustavě se kompletní dynamika dá popsat pohybem jedné částice s hmotností  rozptýlené na nehybném centrálním potenciálu. Kinetická energie se dělí na kinetickou energii těžiště a část odpovídající relativnímu pohybu částic (kinetická energie v těžišťové soustavě).

17 Transformační vztahy mezi laboratorní a těžišťovou soustavou pro kinematické veličiny: Předpokládejme dvoučásticový rozptyl na pevném terči (v 2 =p 2 =0): Těžiště se v laboratorní soustavě pohybuje ve směru pohybu nalétávající částice rychlostí: V těžišťové soustavě se pohybují částice proti sobě rychlostmi: a tedy: (je vidět, že hybnosti jsou opačného směru a mají stejnou velikost) a Laboratorní souřadná soustava Těžišťová souřadná soustava

18 Rovnici (3) můžeme přepsat do tvaru: Pro pružný rozptyl platí: …………………….. (3) Podílem těchto vztahů dostaneme: Odvození vztahu mezi úhly rozptylu v těžišťové a laboratorní souřadné soustavě: Vztah mezi komponentami rychlostí ve směru pohybu částice svazku je: Vztah mezi komponentami rychlostí kolmými na směr pohybu částice svazku: Laboratorní souřadná soustava Těžišťová souřadná soustava

19 Energie reakce, energie rozpadu Zatím jsme se zabývali pružným rozptylem. Abychom mohli rozšířit rozbor na další typy reakcí (rozpady, jaderné reakce nebo kreace částic), zavedeme: Energii reakce Q: lze ji definovat jako rozdíl sumy klidových energií částic před reakcí a po ní nebo jako rozdíl sumy kinetických energií po reakci a před ní: Hodnota Q nezávisí na soustavě souřadnic. (Připomenuti m zde označuje klidovou hmotnost): Exoergické reakce Q  0  energie se uvolňuje (samovolné rozpady jader či částic, reakce probíhající při libovolné energii nalétávající částice). V případě rozpadu hovoříme o energii rozpadu. Pružný rozptyl Q = 0 Endoergické reakce Q  0  energii je třeba dodat (reakce neprobíhá samovolně, je třeba určité prahové energie nalétávající částice, aby k reakci došlo) Prahová energie v těžišťové souřadné soustavě: Z definice těžišťové soustavy platí pro počáteční stav: Ze zákona zachování hybnosti pak dostaneme: Může nastat i případ, že všechny koncové částice mají nulové hybnosti a tedy i jejich jednotlivé kinetické energie jsou nulové: Prahová energie E THR v těžišťové souřadné soustavě je tedy:

20 Prahová energie v laboratorní souřadné soustavě: Nejčastěji potřebujeme znát práh reakce v laboratorní soustavě. Předpokládejme nerelativistickou reakci do které vstupují dvě částice o klidových hmotnostech m 1 a m 2, z nichž terčová je v klidu vůči laboratorní soustavě. V laboratorní soustavě se těžiště pohybuje, má hybnost p 1 a odpovídající kinetickou energii: Která je pro průběh reakce nevyužitelná. Čili prahová energie musí být: Z definice E THR je minimální E KIN 1 : Dosadíme za p 1 2 do předchozího vztahu:Pro m 1 << m 2 je E THR = |Q| Vztah mezi energií reakce a kinematických veličinami nalétávající a rozptýlené částice můžeme vy- jádřit vztahem (dospějeme k němu stejným způsobem jako u podobného vztahu pro pružný rozptyl): Často potřebujeme závislost: E KIN 3 =f(E KIN 1, ), položíme x  √E‘ KIN 3 Řešení je:kde Nepružný rozptyl je vždy endoergický (kde jsme označili jako M 0 i M 0 f, E i KIN, E f KIN celkové sumy): M 0 i  M 0 f  E i KIN  E f KIN  Q  0 a Rozpad částice v klidu: Q = m 0 i c 2 -M 0 f c 2. Hybnosti při dvoučásticovém rozpadu jsou stejně velké, mají opačný směr. Izotropní rozdělení. Velikost hybnosti produktů:

21 Srážkový diagram hybností Zase předpokládáme, že terčové jádro je v klidu a nerelativistické přiblížení.Zapišme vztahy mezi hybnostmi částic před a po srážce: (Sečteme-li tyto rovnice, dostaneme zákon zachování hybnosti pro zkoumaný případ: ) Tyto vztahy jsou výchozími rovnicemi pro konstrukci vektorového diagramu hybností: 1) Hybnost dopadající částice zobrazíme orientovanou úsečkou. 2) Rozdělíme úsečku na dvě části v poměru 3) Kolem bodu O opíšeme kružnici procházející bodem C. Její poloměr je roven velikosti hybnosti p 1 v těžišťové soustavě. Kružnice je geometrickým místem vrcholů B vektorového trojúhelníku hybností ABC (znázorňuje zákon zachování hybnosti), jehož strany a představují možné hybnosti částic po srážce v laboratorní soustavě. m 1 < m 2 : m 1 = m 2 : m 1 > m 2 :

22 V závislosti na poměru hmotností částic se může bod A nacházet uvnitř dané kružnice, na ní nebo vně. Úhel rozptylu v těžišťové soustavě může nabývat všechny možné hodnoty od 0 do . Dovolené hodnoty úhlu rozptylu v laboratorní soustavě a úhlu odrazu  v laboratorní soustavě jsou v tabulce: m 1  m 2 m 1 = m 2 m 1  m 2 v 1 > v CM v 1 = v CM v 1 < v CM +    /2 +  =  /2 +    /2 =  = m 1 < m 2 : m 1 = m 2 : m 1 > m 2 : V laboratorní soustavě: m 1 < m 2  dopadající částice rozptýleny do obou polokoulí m 1 = m 2  dopadající částice rozptýleny do přední polokoule m 1 > m 2  dopadající částice rozptýleny do přední polokoule do kužele s vrcholovým úhlem 2 MAX (osou kužele je směr dopadajících částic): sin MAX =m 2 /m 1 Vztah mezi úhly rozptylu a odrazu v laboratorní a těžišťové soustavě (připomínka předpokladu pružného rozptylu): Vektorový diagram hybností poskytuje veškerou informaci, kterou lze získat z pouhých zákonů zachování hybností a energií. Ukazuje možné varianty rozletu částic, nic neříká o pravděpodobnostech realizace jednotlivých možných variant.

23 Relativistický popis – nerelativistické a ultrarelativistické přiblížení Celková energie je z hybností spojená relativistickým vztahem: V následujícím označíme klidovou hmotnost m  m 0. Klidová hmotnost a klidová energie jsou invariantní vůči lorentzovské transformaci (jsou stejné ve všech inerciálních souřadných soustavách) a tedy invariantní je i veličina (lze vybrat nejvhodnější souřadnou soustavu, ve které ji určíme): To platí pro jednotlivou částici, ale i pro soustavu v daném čase: Vyjádříme kinetickou energii a hybnost:... (1) V těžišťové soustavě pro prahovou energii platí, že suma kinetických energií soustavy v konečném stavu je nulová. Vyjádříme invariant (1) pro počáteční stav systému v laboratorní a pro konečný v těžišťové souřadné soustavě: Dosadíme za p 2 : a E KIN 1 : Díky zákonům zachování energie a hybnosti se zachovává i: Těžiště po reakci (suma hybností nula, pouze klidová energie) Laboratoř před reakcí

24 Dostáváme: Protože:dostaneme V nerelativistickém přiblížení (Q<>m 1 c 2 a Q>>m 2 c 2 ): E THR = Q 2 /m 2 c 2 Vyjádříme E KIN1 : Připomenutí:

25 Lorentzova transformace hybnosti a energie z těžišťové soustavy do laboratorní je (těžiště se pohybuje ve směru osy y): Použijeme polární soustavu souřadnic: a Odvodíme vztah pro úhel : V nerelativistickém přiblížení, kdy v CM << c dostaneme známý vztah, který jsme odvodily již dříve. Relativistický vztah mezi úhlem rozptylu v těžišťové a laboratorní soustavě

26 V praxi se používá místo rychlosti těžiště kinetická energie nalétávající částice: Rychlost těžiště v laboratorní soustavě je dána poměrem celkového impulsu a celkové energie systému v laboratorní soustavě: Využijeme vztahu mezi kinetickou energií a hybností: Dostaneme: Tento vztah lze dosadit do vztahu pro převod úhlu rozptylu z těžišťového do laboratorního systému. Podíváme se na speciální případ, kdy úhel rozptylu v těžišťové soustavě je π/2 (maximální odklon): V ultrarelativistickém přiblížení (E KIN 1 >> m 1 c 2 a E KIN 1 >> m 2 c 2 ) dostaneme: Je vidět, že v takovém případě se produkují částice v laboratorní soustavě do velmi malého úhlu.

27 Relativistické invariantní proměnné Při rozptylu dvou částic s klidovými hmotnostmi m 1 a m 2 můžeme dostat rychlost těžiště pomocí celkové relativistické hybnosti a celkové relativistické energie: … (1.a) Označme m 1 hmotnost projektilu a m 2 hmotnost terče. Použijeme laboratorní kinematické proměnné a dostaneme: …………… (1.b) Nerelativistické přiblížení (m 1 c 2  p 1 c): …………….. (1.c) Ultrarelativistické přiblížení (m 1 c 2  p 1 c a m 2 c 2  p 1 c): Pro m 1  m 2 : a Odvoďme obecný relativistický vztah pro  CM : z rovnice (1.b): Takže (m 1 2 c 4 = E 1 2 -p 1 2 c 2 ):

28 a dostaneme … (2) která se pro limity E 1  p 1 c  m 1 c 2 a p 1 c  m 2 c 2 redukuje na dříve uvedenou ultrarelativistickou limitu: Veličina v děliteli (2) je invariantní skalár. Což lze odvodit z čtverce následujícího čtyřvektoru v laboratorní soustavě (p 2 = 0): Tento skalár má stejnou hodnotu v libovolné vztažné soustavě. V těžišťové soustavě má jednoduchou interpretaci (celková hybnost v této souřadné soustavě je nulová): a s je čtverec celkové energie dostupné v těžišťové soustavě. Pak Invariantní proměnná s je často využívána pro popis vysoko-energetických srážek. Pro vstřícné svazky se často udává právě  s. Často užívaná je i veličina t – čtyřimpuls přenesený ve srážce (čtverec rozdílu čtyřvektorů energie a hybnosti projektilu před a po srážce): ……………………. (3a)

29 Protože platí zákony zachování energie a hybnosti, můžeme t vyjádřit i v terčových proměnných: ……………….. (3b) proměnná t je invariantní a můžeme ji počítat v libovolné vztažné soustavě. Doplňme ještě proměnnou u:nebo Proměnné t, u a s se nazývají lorentzovsky invariantní Mandelstamovi proměnné, jejichž součet obecně splňuje rovnici: Podívejme se pro příklad na pružný rozptyl v těžišťové soustavě (pro obě částice platí a ) Takové diagramy byly zavedeny R. Feynmanem pro výpočet rozptylových amplitud v QED a jsou označovány jako Feynmanovy grafy. Zavádí se proměnná q 2 (platí q 2 c 2 = -t), která je v nerelativistickém přiblížení rovna kvadrátu hybnosti přenesené na terčíkové jádro q 2  (m 2 v 2 ) 2. Feynmanův diagram: Protože –1 ≤ cos ≤ 1 platí t  0. Ovšem z (3a,b) se můžeme na proměnou t dívat jako na čtverec hmotnosti vyměňované částice (s energií a hybností ). Imaginární hmotnost  virtuální částice.

30 Ultrarelativistické přiblížení -rapidita Ve fyzice vysokých energií (ultrarelativistických srážkách  rychlost částic svazku v  c) je výhodné zavést novou kinematickou proměnnou – rapiditu (při zápisu dále uváděných vzorců se většinou klade c=1, m je celková hmotnost): Vybereme směr svazku jako osu z, pak můžeme celkovou energii a hybnost částice zapsat jako: E = m T c 2 cosh y, p x, p y a p z = m T c sinh y Pro připomenutí: Zavedli jsme příčnou hmotnost m T : a rapiditu y:a tedy: Pro nerelativistickou limitu (β → 0): y = β Pro ultrarelativistickou limitu (β → 1): y → ∞ Užití rapidity umožňuje velmi jednoduchý převod z jedné souřadné soustavy do druhé: Kde jsme označili y 21 rapiditu souřadné soustavy 2 v soustavě 1. Pro přechod s laboratorní soustavy do těžišťové pak platí: Příklady: GSI Darmstadt ( E LAB = 1GeV/A y=0,458 β=0,875 ) SPS CERN ( E LAB = 200GeV/A y=6,0 β=1,000 ) LHC CERN ( E LAB = GeV/A y=17,8 β=1,000 ) Závislost mezi transverzální složkou rychlosti a rapiditou ( )


Stáhnout ppt "Kinematika srážkových procesů 1) Úvod - srážkové a rozpadové procesy 2) Rutherfordův rozptyl (Rutherfordův experiment ze všech stran). 3) Zákony zachování."

Podobné prezentace


Reklamy Google