Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

DPS 2008 Didaktika matematiky Přednáška 4 Vytváření poznatkové struktury.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "DPS 2008 Didaktika matematiky Přednáška 4 Vytváření poznatkové struktury."— Transkript prezentace:

1 DPS 2008 Didaktika matematiky Přednáška 4 Vytváření poznatkové struktury

2 O čem budeme dnes hovořit? Matematické pojmy a poznatky související s poměrem Poměr a aplikace matematiky Některé zvláště zajímavé poměry

3 Jaké matematické pojmy a poznatky souvisejí s pojmem POMĚR?

4 Pojmy z algebry a aritmetiky Rovnost poměrů, převrácený poměr Hodnota poměru, podíl Porovnávání podílem (rozdílem) Zlomky (krácení, rozšiřování) Racionalita a iracionalita Postupný poměr a přibližný poměr Procenta, trojčlenka Geometrická posloupnost (aritmetická, morfismus)

5 Pojmy z geometrie a další pojmy Dělení úseček (čísel) v daném poměru Podobnost útvarů Goniometrické funkce Přímá a nepřímá úměrnost Druhy průměrů a jejich vztahy, vážený průměr Pravděpodobnost

6 Co je podstatné? U žáků vytváříme strukturu poznatků, další látka se musí vracet k dříve zvládnutým představám, modelům a metodám v nových kontextech, a tím je posouvat na vyšší úroveň. HESLO: V každé kapitole se vracíme ke všem předchozím kapitolám!

7 Dokážeme nalézt v ostatních předmětech na ZŠ a v žákům dostupné praxi dosti zajímavých aplikací?

8 Aplikace z přírodních věd Páka, kladkostroj, těžiště Měřítko (mapy, modely, planetární soustava) Molekulární stavba (chemické výpočty) Transformátory Krevní skupiny

9 Další aplikace Formáty papíru Převody, ozubená kola (jízdní kolo) Směsi, slitiny, roztoky, koncentrace Kuchařské recepty Úroky Kurzovní lístky Indexy v ekonomii, analýza časových řad Míchání barev

10 Poměry takřka magické

11 Jak geometricky zkonstruovat číslo  ? Eukleidovská konstrukce úsečky, která má délku , vyplývá z vyjádření tohoto čísla. Užijeme pouze Pythagorovu větu: Číslu  říkáme zlatý poměr.

12 Jak vznikají Fibonacciho čísla ? Fibonacciho čísla lze postupně vypočítávat podle této rekurentní definice: Nepřipadají vám známá? Objevovala se u aproximací čísla . (Proč??) Jaký je tedy začátek posloupnosti? 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … atd.

13 Vzorec pro Fibonacciho čísla Fibonacciho čísla můžeme vypočítávat podle tohoto vzorce: Důkaz není ani tak složitý, jako spíš dlouhý. Spokojme se s ověřením pomocí Excelu: Fibonacci.xls

14 Co se stane při přemístění obrazců? Prohlédněme si to podrobně a počítejme obsahy!

15 Jak to vysvětlit? = = 5. (8 + 13) = = = = 105 – 104 = 1 Fibonacci.xls Problém chybějícího čtverečku.cdr Čtvereček tedy vzniká záměrně špatným kreslením. A jaká je souvislost s Fibonacciho čísly?

16 Poměry frekvencí tónů stanovené ve starém Řecku: oktáva 2 : 1 kvinta 3 : 2 kvarta 4 : 3 velká tercie 5 : 4 malá tercie 6 : 5

17 Jak dělili pythagorejci oktávu?

18 Jak dále dělili kvintu?

19 Jak počítat durové a mollové kvintakordy? Kvintakord se skládá se ze tří tónů. První a třetí tón tvoří kvintu (7 půltónů). Prostřední druhý tón tvoří s oběma krajními tercie. Pak jsou dvě možnosti: Dur velká tercie (4 půltóny) - malá tercie (3 půltóny) Moll malá tercie (3 půltóny) - velká tercie (4 půltóny)

20 Jak můžeme jinak počítat frekvence?

21 Jaké jsou výsledky? Počet půltónůJméno intervaluFrekvence z kvartFrekvence z kvint 0prima2 0 : 3 0 = 1, : 2 0 = 1,000 1malá sekunda 2 8 : 3 5  1, : 2 11  1,068 2velká sekunda 2 16 : 3 10  1, : 2 3  1,125 3malá tercie 2 5 : 3 3  1, : 2 14  1,201 4velká tercie 2 13 : 3 8  1, : 2 6  1,266 5kvarta 2 2 : 3 1  1, : 2 17  1,352 6triton 2 10 : 3 6  1, : 2 9  1,424 7kvinta 2 18 : 3 11  1, : 2 1  1,500 8malá sexta 2 7 : 3 4  1, : 2 12  1,602 9velká sexta 2 15 : 3 9  1, : 2 4  1,687 10malá septima 2 4 : 3 2  1, : 2 15  1,802 11velká septima 2 12 : 3 7  1, : 2 7  1,898 12oktáva 2 20 : 3 12  1, : 2 18  2,027

22 Co je to pythagorejské comma, ptolemaiovské comma a schizma? Vypočítejte poměry frekvencí z kvint a kvart pro jednotlivé tóny mimo primy a oktávy! Jaký výsledek jste obdrželi? Vypočítejte pro malou tercii poměry tří hodnot, které jsme již získali: 2 5 : 3 3  1,185 6 : 5  1, : 2 14  1,201

23 Jak se ladí kytara? Jednotlivé struny od nejnižší k nejvyšší jsou: e, a, d, g, h, e. Příslušné intervaly mezi nimi jsou tedy: kvarta, kvarta, kvarta, velká tercie, kvarta. Jaké chyby při ladění se dopustíme, když budeme ladit čistě?

24 Děkuji vám za pozornost.


Stáhnout ppt "DPS 2008 Didaktika matematiky Přednáška 4 Vytváření poznatkové struktury."

Podobné prezentace


Reklamy Google