Když tři rozměry nestačí...

Prezentace na téma: "Když tři rozměry nestačí..."— Transkript prezentace:

1 Když tři rozměry nestačí...
4D Tělesa Když tři rozměry nestačí...

2 3D svět Reálný svět je z pohledu lidského oka omezen třemi prostory
Matematika coby obecná věda takové omezení nezná (běžně se setkáváme s pojmy n-rozměrný vektor, n-rozměrný prostor)

3 3D vs 4D

4 4D  3D  2D S vizualizací trojrozměrných objektů se setkáváme denně (3D modely na obrazovce) Zobecněním promítání 3D do 2D snadno najdeme postup na promítnutí 4D do 3D Tento obraz následně promítněme do 2D, čímž získáme vizualizaci čtyřrozměrného tělesa

5 Bod a vektor v 4D Bod je základní geometrická entita a ve 4D je určen uspořádanou čtveřicí (reprezentující polohu v soustavě souřadnic) Vektor je určen počátečním a koncovým bodem (jeho složky na rozdíl od bodu zapisujeme do kulatých závorek)

6 Geometrické transformace
Mezi základní geometrické transformace patří: Posunutí Rotace Změna měřítka Geometrické transformace běžně vyjadřujeme pomocí matic

7 Projekce Projekcí rozumíme promítnutí objektu z vícerozměrného prostoru do prostoru o méně rozměrech Otázka k zamyšlení: Proč projekci nepovažujeme za geometrickou transformaci?

8 Těleso Tělesem rozumíme množinu bodů splňující určitá kritéria
Nejjednodušší způsob popisu tělesa spočívá pouze v popisu hran a vrcholů (drátěný model) Známé pojmy z 3D vrchol, hrana a stěna „přejmenujeme“ – zobecnění

9 Zobecnění známých pojmů
Vrchol  stěna dimenze 0 Hrana  stěna dimenze 1 Klasická stěna  stěna dimenze 2 Stěnu 3. dimenze budeme nazývat hyperstěna Otázka k zamyšlení: Co je hyperstěnou u trojrozměrného tělesa?

10 Hierarchie stěn

11 Teserakt 4D analogie krychle
Vrcholy jednotkové krychle tvoří všechny body, jejichž složky jsou kombinací jedniček a nul Hrany spojují body lišící se v jedné složce

12 Zobecnění principů známých z 3D
Konstrukce teseraktu Zobecnění principů známých z 3D

13 Pentachoron Analogie trojrozměrného čtyřstěnu
Vrcholy jednotkového tělesa tvoří body s maximálně jednou jedničkovou složkou Hranami jsou spojeny všechny body navzájem

14 Ikositetrachoron Konvexní pravidelný 4-polytop
Konstrukce už je složitější, je analogií konstrukce nepříliš známého 3D tělesa rombického dodekahedronu

15 Rombický dodekahedron

16 Počet stěn dané dimenze

17 Kde hledat další informace o 4D
Informace o nejrůznějších tělesech naleznete například na Wikipedii: Obecnější výklad o 4D s konstrukcemi těles a rovinných řezů i s implementací lze najít v bakalářské práci „4D grafika v OpenGL“: