Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Magnetické pole Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Vlastnosti Magnetitu (Fe3O4) prý studoval již Thales z Milétu.
Magnetické pole Thales z Milétu 624 – 546 přnl Vlastnosti Magnetitu (Fe3O4) prý studoval již Thales z Milétu.

Hendrik Antoon Lorentz
Magnetické pole Hendrik Antoon Lorentz James Clerk Maxwell S J S J S J S J ? Magnetizmus je v současnosti připisován relativistickým deformacím elektrických polí (síla kolmá na směr letu nabité částice). Paul Dirac v Všechny v přírodě pozorované permanentní magnety jsou dipóly, kvadrupóly a více. Elementární magnetický náboj (monopól) doposud nebyl pozorován.

Magnetické pole Při definici magnetického pole se musíme obejít bez bodových nábojů, které jsme použili při definici elektrického pole. Musíme si pomoct silou, která působí na pohybující se nabitou částici. Budeme-li střílet do magnetického pole nabité částice, zjistíme, že pro daný bod existuje jeden význačný směr rychlosti, při kterém na částici nepůsobí žádná síla. Označme tuto rychlost vF=0. Pro všechny ostatní směry je velikost síly úměrná sinu úhlu mezi vF=0 a rychlostí částice. Magnetickou indukci definujeme jako vektor, který má směr vF=0. Pro rychlost kolmou na vF=0 je úhel 90O a síla, která na částici působí, je maximální. Velikost magnetické indukce definujeme vztahem Lorentzova síla kde q je náboj a v velikost rychlosti testovací částice. Všechny tyto poznatky můžeme shrnout do jediné vektorové rovnice pro Lorentzovu sílu.

Magnetické pole Lorentzova síla
Jednotku magnetické indukce určíme jako Jednotka magnetické indukce se nazývá Tesla. Starší jednotka, která nepatří do soustavy SI, se nazývá Gauss a platí 1 T = 104 G . V následující tabulce jsou přibližné velikost magnetických indukcí některých polí : Povrch neutronové hvězdy Supravodivé magnety urychlovače LHC Magnet diagnostického přístroje „MR“ Velký elektromagnet Malého tyčový magnet Povrch Země Mezihvězdný prostor Magneticky stíněná místnost 108 T 8.36 T 3 T 1.5 T 10-2 T 10-4 T 10-10 T 10-14 T

Magnetické pole Magnetické pole lze stejně jako pole elektrické popsat pomocí siločar. V každém bodě platí, že směr indukce je tečna k siločáře. Velikost vektoru B lze vystihnout hustotou siločar. Siločáry elektrického dipólu Siločáry magnetického dipólu S J Z větší vzdálenosti vypadá pole elektrického a magnetického dipólu obdobně, zblízka je ale zřejmé, že magnetické siločáry musí být uzavřené – neexistuje magnetický monopól, na kterém by končily či začínaly. Tento fakt se sofistikovaněji dá vyjádřit jako div B = 0. S J

Pohyby částic v poli Lorentzova síla Vektorový součin v Lorentzově síle a tedy směr síly lze určit, představíme-li si, že směr indukce B nám míří ven z dlaně podél pravé ruky a prsty ukazují směr rychlosti částice. Pak palec naznačuje směr síly. Víme také, že síla je vždy kolmá na oba vektory B i v. Bublinová komora

Pohyby částic v poli Samotný elektron byl objeven na základě pozorování chování katodových paprsků v magnetickém poli. Joseph J. Thompson Při vstupu paprsků do magnetického pole se jejich dráha zakřivila.

Pohyby částic v poli R e- U
Spočítejte parametry trajektorie elektronu, který po průchodu potenciálovým rozdílem U vletěl do homogenního magnetického pole, jehož indukce míří k pozorovateli (z obrázku) a má velikost B. Příklad R e- U Jak se trajektorie změní, jestliže elektron vstoupí do pole pod nějakým malým úhlem (tj. získá nenulovou složku rychlosti podél siločar)?

Co je dráha protonu a co elektronu?
Pohyby částic v poli Má-li elektron nenulovou složku rychlosti podél siločar, opisuje spirálu. Obecně je možné říct, že nabitá částice v magnetickém poli se „ovíjí“ kolem siločáry – spirála se zakřivuje tak, aby sledo-vala siločáru pole. Spirála se také rozšiřuje nebo zužuje podle toho, jak je pole silné. Co je dráha protonu a co elektronu?

Hallův jev Vložme vodič, kterým teče proud, do magnetického pole. Co se stane s putujícími elektrony? - - - + Po nějaké době se elektrony přesunou na jednu stranu vodiče, čímž zde vyvolají přebytek náboje a nastane rovnováha – Lorentzova síla bude vyrovnána odpudivou elektrostatickou silou. Krátce po zapnutí pole – driftující elektrony jsou strhávány polem k jedné straně vodiče. Ve vodiči vzniká potenciálový rozdíl – mezi stranami vodiče je měřitelné napětí.

Hallův jev Doplňme úvahy kvantitativními výpočty. Označme velikost náboje nosiče q, pro elektron q = e. Je-li elektrická síla v rovnováze s magnetickou, pak platí kde E je velikost elektrického pole vytvořeného nahromaděním nábojů. Lze ukázat, že pro driftovou rychlost platí - kde n je počet nosičů náboje (elektronů) na metr krychlový (hustota částic) a J hustota proudu. Pokud vztah dosadíme do předchozího, získáme kde UH je Hallovo napětí mezi stranami vodiče. Všechny veličiny na pravé straně lze měřit přímo a je tedy možné určit hustotu nosičů náboje ve vodiči. Zároveň lze díky Hallovu jevu změřit i driftovou rychlost – stačí, když se vodič bude v poli pohybovat opačným směrem, než náboje v něm. V okamžiku, kdy UH = 0 se vodič pohybuje stejnou rychlostí jako elektrony v něm opačným směrem. Nosiče náboje se tak vůči poli nehýbou a magnetická síla na ně nepůsobí.

Mg. pole míří z obrázku (k pozorovateli)
Ampérova síla Při výkladu Hallova jevu jsme ukázali, že na pohybující se nosiče náboje v magnetickém poli působí síla. Nosiče ovšem nemohou z vodiče uniknout a síla se tedy přenáší na vodič. Co se tedy s vodičem stane? Proud je definován opačně, než reálný směr toku nosičů náboje (elektronů)! Tj. v případě tečou elektrony odshora dolů a v druhé zezdola nahoru. I = 0 I1 I2 Mg. pole míří z obrázku (k pozorovateli) Je zjevné, že pokud prohodíme směr toku náboje a jeho polaritu, síla se nezmění. Proto účinky magnetického pole na vodič budou stejné, ať už v něm tečou záporné náboje jedním směrem nebo kladné druhým. Zachováním historické definice směru proudu tedy nepřinese žádné praktické problémy. - I1

Ampérova síla Určit směr Ampérovy síly může být i těžkou zkouškou pro vaše tělo …

Ampérova síla André-Marie Ampère Spočítejme velikost Ampérovy síly. Uvažujme úsek rovného vodiče o délce L. Vodivostní elektron se bude pohybovat driftovou rychlostí odshora dolů kolmo k řezu vodičem po dobu t : - I1 B Za tuto dobu projde průřezem náboj Dosaďme tento náboj do vztahu pro Lorentzovu sílu odkud získáme Ampérova síla Pro obecně natočený vodič v homogenním magnetickém poli pak kde vektor L má směr proudu a délku příslušného úseku vodiče.

Ampérova síla Není-li vodič přímý a pole homogenní, musíme rozdělit délku na infinitezimální úseky ds a integrovat výraz Vektor B je samozřejmě obecně závislý na poloze ds – pole se podél vodiče může měnit. Jako příklad spočítejme sílu, působící na půlkruhový vodič v homogenním poli. Zde můžeme s úspěchem využít toho, že díky vlastnostem kružnice síla míří vždy do středu. Její velikost pak je I ds dF dθ R θ ze symetrie je zřejmé, že x-ové složka každé z infinitezimální síly se vyruší s x-ovou složkou síly na druhé straně kružnice. Sečtou se pouze y-ové složky, pro jejichž velikost platí Nyní tyto kousky „posčítáme“ – provedeme integraci :

Proudová smyčka Předpokládejme nyní, že máme do magnetického pole vloženu vodivou smyčku, kterou protéká proud. Co se s ní stane? Je-li smyčka umístěna jako na prvním obrázku, je zjevné, že výslednice sil na ni působící je nulová. Pokud ji ale natočíme (druhý obrázek), výslednice už nulová nebude. Síly, které působí na protilehlé strany smyčky se nevyruší zcela – smyčka se sice nebude posunovat, začne na ni ale působit moment síly. Velikost sil lze snadno spočítat jako I F1 F2 a odtud dostaneme moment I F1 V tomto vzorci se ale vyskytuje násobek obou stran smyčky, což je její plocha, a tedy Moment se snaží otočit smyčku tak, aby její normálový vektor ležel souhlasně se směrem indukce.

Proudová smyčka Lze ukázat, že tento vztah platí pro každou plošnou smyčku, nehledě na její tvar – podstatný je jen její obsah. Pokud uděláme na vodiči smyček víc, dostáváme cívku. Jsou-li závity motané dostatečně blízko u sebe, můžeme tvrdit, že se jedná o plošnou cívku a moment, který na ni v poli působí, je pak Parametry v závorce se týkají vlastností samotné cívky. N je počet závitů, S plocha a I proud, který cívkou protéká. Na principu otáčení cívky v magnetickém poli pracují analogové ručičkové galva-nometry. Cívka se otáčí v radiálně symetrickém poli permanentního magnetu, v nulové poloze držená pruži-nou, kterou musí moment překonávat.

Některé magnetické momenty
Magnetický dipól Cívku, kterou protéká proud, lze charakterizovat pomocí veličiny, která se nazývá magnetický dipólový moment. Jedná se o vektorovou veličinu, značíme ji μ. Směr tohoto vektoru je shodný s normálovým vektorem smyčky (cívky) a velikost definujeme vztahem Poslední vztah již silně připomíná výraz což je moment, kterým působí elektrické pole na elektrický dipól. Obecně lze říct, že velikost silového momentu je vektorový součin elektrického či magnetického pole a příslušného (elektrického či magnetického) momentu. Stejně, jako jsme si definovali potenciální energii elektrického dipólu v poli, lze definovat i potenciální energie magnetického dipólu v magnetickém poli : Popisovat takto cívky možná není kdovíjaká výhra, nicméně tuto veličinu lze použít i k popisu dějů v mikrosvětě, a to i přes to, že kvantová mechanika přesvědčivě ukázala, že např. dráha elektronu v obalu atomu je všechno možné, jen ne smyčka. Některé magnetické momenty Země Malý tyčový magnet Proton Elektron 8 x 1022 Am2 5 Am2 Am2 Am2 Jaký magnetický dipólový moment by měl elektron, který by obíhal proton po kruhové dráze s poloměrem 1 Å = m ? Pozn. :Elementární částice mají magnetický moment podobný momentu rotující nabité koule. Částice ovšem ani nerotují, ani nejsou koule!

Magnetohydrodynamický pohon
Pro zajímavost – magnetohydrodynamický pohon („housenka“) není jen sci-fi kulisou z románu T. Clancyho, ale reálně fungující zařízení, o kterém bylo opravdu uvažováno během studené války jako o tiché alternativě pohonu. Nikdy nebyl nasazen do služby - je drahý a má nízkou účinnost. Principiálně může fungovat i ve vzduchu.

Magnetické pole elektrického proudu
v Doposud jsme se zabývali, jak magnetické pole působí na pohybující se náboje. otázkou ovšem zůstává, jak vlastně toto pole vytvořit. Vzpomeňme si opět na relativistické deformace elektrických polí. dá se očekávat, že cítí-li částice deformaci okolního pole při svém pohybu, tak i její okolí cítí deformaci jejího pole. Lze ukázat, že každý pohybující se náboj generuje magnetické pole. Permeabilita vakua Biotův-Savartův zákon Abychom mohli pole propočítat, předpokládejme, že pro magnetickou indukci platí to samé, co pro elektrickou intenzitu, ale místo elektrického náboje je ve vzorci proudový element. Chceme-li zjistit magnetické pole v nějakém bodě, musíme tento vztah zintegrovat přes všechny proudové elementy v okolí.

Jaké magnetické pole vytváří přímý dlouhý vodič? Z rotační symetrie je zřejmé, že pole musí být rovněž rotačně symetrické – siločáry musí mít tvar kružnic. O tom se lze snado přesvědčit i experimentem. Jak I = 1000 A spočítat velikost? I Z obrázku je zřejmé, že vektorový součin elementu ds a vektoru r musí jít v daném bodě od pozorovatele (do obrázku). Jeho velikost pak bude daná integrálem Polohový vektor r je funkcí s ( r ≡ r(s) ) a jako parametr má vzdálenost R :

Úhel θ také vyjádříme pomocí vzdáleností s a R. Je zřejmé, že I Připomeňte si, jak vypadá graf funkce sinus a první krok bude ihned jasný. Dosaďme nyní vše do integrálu : Neurčitý integrál najdeme v tabulkách : a tedy

Spočítejme ještě magnetickou indukci ve středu kruhové smyčky. Situace je opět symetrická. Proudový element míří ve směru kružnice, polohový vektor je na něj vždy kolmý a navíc má konstantní velikost. Výpočet je tedy o poznání jednodušší: R Výraz zintegrujeme přes celou kružnici, tedy Opět můžeme smyček namotat víc a vytvořit tak tenkou cívku. V jejím středu bude magnetické pole o velikosti

Dva rovnoběžné vodiče pod proudem se přitahují či odpuzují v závislosti na proudu, který jimi prochází. Problém lze propočítat tak, že „necháme“ jeden z nich vytvářit magnetické pole a druhý do něj „umístíme“. I1 d F I2 L V této konfiguraci je délkový element druhého vodiče kolmý na magnetické pole prvního a můžeme tedy napsat Síla působící na druhý vodič je stejné velikosti a v tomto případě opačného směru. Vodiče se souhlasně orientovanými proudy se přitahují, s opačně orientovanými se odpuzují.

Railgun a Gauss cannon Při konstrukci moderních projektilových zbraní, případně katapultů, které budou dopravovat vytěžený materiál z Měsíce či asteroidů na oběžnou dráhu bude možné využít princip elektromagnetického děla. To mění elektrickou energii na kinetickou energii projektilu (nákladu). Vysoký proud v kolejnicích vytváří silné magnetické pole, které působí na proud tekoucí projektilem. Síla, která působí na projektil, je schopna jej v krátkém čase urychlit až na tisíce m/s. Pokud bychom byli schopni vyrobit rozumný zdroj proudu, mohly by mít katapulty či ruční zbraně úsťovou rychlost například 3500 ms-1 (pro srovnání – karabina M16 má úsťovou rychlost 950 ms-1). Railgun se často vyskytuje v sci-fi filmech a počítačových hrách, je ovšem často zaměňován s Coilgunem (Gauss cannon), jehož princip je zřejmý z animace. Je důležité přesně vědět, čím fragujete !

Magnetické pole dlouhé cívky
Prozkoumejme nyní, jak vypadá magnetické pole uvnitř cívky, která má větší délku než průměr. Model pole (magnetické siločáry) je vidět na obrázku. Tomuto druhu cívky říkáme solenoid. Lze ukázat, že pole uvnitř ideální cívky tohoto tvaru je homogenní a má indukci Ideální model solenoidu má ovšem velmi husté vinutí a v podstatě nekonečnou délku. Pole reálné cívky je homogenní jen přibližně a na koncích cívky není homogenní vůbec. Všimněte si, že pole generované solenoidem má opět vlastnosti pole dipólu. Model pole reálné cívky – homogenní je jen přibližně

Elektromagnetická indukce
O elektrické kytaře asi slyšel každý. Kdo však tuší, jak vlastně funguje? Jaký je princip, který využívá při vytváření zvuku a jak se liší od akustické kytary? Jimi Hendrix na Woodstocku 1969

Vložíme-li vodivou smyčku, kterou teče proud, do magnetického pole, působí na ní síla. Jev je ale symetrický – vložíme-li do pole smyčku a budeme s ní otáčet, začne skrz ní téct proud! Stejně tak bude smyčkou téct proud, bude-li nehybná ale začne-li se měnit magnetické pole. I F1

Michael Faraday Anglický fyzik M. Faraday byl první, kdo přišel na to, že se změnou magnetického pole teče uzavřenou vodivou smyčkou elektrický proud. Poté, co znázornil magnetické pole pomocí siločar, vyslovil zákon, který souhrnně popisuje uvedené jevy : V uzavřené vodivé smyčce se indukuje proud, mění-li se počet siločar, které smyčkou procházejí. Důležitá je v zákoně změna – je-li pole stacionární a smyčka se nehýbe, žádný proud se neindukuje. Zákon lze vyjádřit i pomocí matematického jazyka. Definujme veličinu magnetický indukční tok plochou jako kde dS je infinitezimální ploška – přesněji normálový vektor k ní o velikosti jejího obsahu – a B vektor magnetické indukce v této plošce. Je-li plocha rovinná a pole homogenní, pak kde θ je úhel normály smyčky a vektoru B. Faradayův zákon indukce pak říká, že změna toku generuje elektromotorické napětí:

Magnetický indukční tok se mění, když : Měníme velikost indukce B Měníme plochu smyčky S Měníme úhel smyčky vůči poli Pro plochou či hustě vinutou cívku (tok každým závitem cívky je tentýž) platí Heinrich Friedrich Emil Lenz kde N je počet závitů. Faradaye doplnil Estonský fyzik Heinrich Lenz, který vyslovil pravidlo, podle kterého je možné určit směr indukovaného proudu : Indukovaný proud má takový směr, že magnetické pole tímto proudem vzbuzené působí proti změně magnetického pole, která proud indukovala. Pro určení směru indukce si lze opět pomoci pravou rukou. Ukážeme-li směr proudu ve vodiči palcem, prsty ukazují směr indukce (kolem vodiče má tvar kružnic). Směr indukce smyčky a cívky pak již lze snadno odvodit – a taktéž obráceně, ze směru indukce lze určit proud. I ? S J

struna S J Permanentní magnet snímače zmagnetuje strunu. Chvění struny pak vyvolá změny v magnetickém poli, které prochází vinutím cívky a díky těmto změnám se v cívce naindukuje napětí, jehož změny sledují změny v poloze struny. Napěťový signál se pak dále zpracovává elektronicky.

Indukované elektrické pole
Elektrický proud je způsoben gradientem v elektrickém poli. Dá se tedy říct, že změna magnetického pole vytváří elektrické pole : I V měděném kruhu, který je vložen do sílícího homogenního magnetického pole, je indukován proud. Náboje tečou opačným směrem a je zjevné, že se pohybují po gradientu elektrického pole. Elektrické pole k okrajům sílí (roste průměr „smyčky“). Odstraníme-li měď, proud přestane téct, ale pole se bude indukovat stejně. Změna magnetického pole vyvolá pole elektrické nehledě na okolní materiál.

Elektrický proud je způsoben gradientem v elektrickém poli. Dá se tedy říct, že změna magnetického pole vytváří elektrické pole : Vidíme, že elektrické pole nyní tvoří uzavřené smyčky – nejsou zde žádné zdroje. Takovéto pole není potenciální a dá se popsat pomocí operátoru rotace : Je-li pole homogenní a popsané vektorem vytvoří se vírové pole s intenzitou, díky symetrii problému nezávisí na souřadnici z. Jeho přesný tvar bychom získali řešením rovnice

Cívka a indukčnost Součástka, vytvářející elektrické pole a skladující v něm energii, je kondenzátor. Obdobně lze skladovat energii pomocí pole magnetického – příslušná součástka je cívka. Stejně, jako jsme kondenzátoru připsali veličinu kapacita (C), je třeba popsat i cívku nějakou veličinou. Využijeme k tomu faktu, že proud I, tekoucí cívkou, vytváří v jednom jejím závitu magnetický indukční tok Φ. Všechny závity dohromady vytvoří tok N-násobný. Tento celkový tok je úměrný proudu I – a konstanta úměrnosti je závislá pouze na vlastnostech cívky : Indukčnost Indukčnost solenoidu bez jádra při zanedbání okrajových efektů. Všimněte si, že indukčnost roste s druhou mocninou počtu závitů.

Vlastní indukce Měníme-li magnetický tok cívkou tím, že měníme proud I, indukuje se v ní elektromotorické napětí Ue, které se snaží působit proti změně proudu. Tomuto jevu se říká vlastní indukce. Za použití Faradayova zákona a vztahu pro indukčnost můžeme toto napětí vyjádřit jako I Úbytek napětí na cívce je tedy roven velikosti indukce násobeném velikostí změny proudu. Z toho je vidět, že zatímco rezistor klade odpor jakémukoliv elektrickému proudu, cívka klade odpor střídavému elektrickému proudu. Pokud proud zvyšujeme, je třeba vynakládat práci a příslušné množství energie se ukládá v poli cívky. Začneme-li proud naopak snižovat, snaží se jej cívka udržet v původní velikosti – a vynakládá na to energii ze svých zásob. roste klesá I I E E

RL obvod Zapojíme-li obvod s cívkou, odporem a zdrojem dohromady, bude situace vypadat obdobně, jako v RC obvodu. I výpočty budou podobné, jen nyní nemáme vztahy pro náboj, ale pro proud. Použijeme Kirchhoffova zákona o napětí ve smyčce – víme-li že celkový úbytek napětí v obvodu je roven elektromotorickému napětí zdroje, můžeme zapsat: R + L lineární diferenciální rovnice prvního řádu popisující chování obvodu Nejprve vyřešíme homogenní rovnici : Jedno libovolné řešení s pravou stranou najdeme snadno, je jím například Řešení sečteme a zavedeme počáteční podmínku I(0)=0. Tak získáme Proud roste nejprve rychle a pak pomalu až do nasycené hodnoty U/R, která odpovídá Ohmovu zákonu (jako by v obvodu žádná cívka nebyla).

RL obvod Nárůst proudu po zapnutí zdroje R + L
Pokles proudu po vypnutí zdroje

Víme ihned, že řešení rovnice vypadá takto:
LC obvod Ještě mnohem zajímavější jev nastane, spojíme-li v jednom obvodu cívku a kondenzátor. Pro jednoduchost předpokládejme, že vodiče ani součástky nemají žádný ohmický odpor (ideálně supravodivé materiály). Kondenzátor nabijeme na napětí Ue a potom jej zapojíme do obvodu s cívkou. Co se bude dít dál? Zkombinujme vzorce pro kondenzátor a cívku : + L C Napětí na cívce a na kondenzátoru se musí rovnat (vodivé spoje), a tedy musí platit Odtud ihned dostaneme , což je ale zjevně rovnice harmonického oscilátoru s kruhovou frekvencí Víme ihned, že řešení rovnice vypadá takto:

LC obvod + L C Časový průběh v obvodu dostaneme ihned za použití vztahu pro kondenzátor : Proud pak získáme derivací náboje, tedy a protože ω = 2πf, má konstanta před kosinem rozměr proudu a je možné psát Jak proud, tak napětí mají harmonický průběh s fázovým posunem π/2. Takto idealizovaný obvod je netlumený harmonický oscilátor – energie se periodicky přelévá z elektrického pole kondenzátoru do magnetického pole cívky a obráceně.

RLC obvod Zapojíme-li ještě odpor, můžeme předpokládat, že přelévající se energie na něm bude ve formě tepla rozptylována do okolí a oscilace budou tlumené. A opravdu – doplníme-li rovnici o člen U= R.I a spojíme s ostatními L C R získáme rovnici což je rovnice tlumeného harmonického oscilátoru s úhlovou frekvencí a dekremen-tem útlumu Maximální hodnoty napětí a proudu budou exponenciálně klesat. Ω U malé δ velké δ Pokud budeme proud v obvodu budit nějakým střídavým zdrojem, získáme buzené kmity stejně jako v případě mechanického oscilátoru a budeme moci pozorovat jev rezonance.

Maxwellovy rovnice James Clerk Maxwell Veškeré poznatky o elektřině a magnetizmu brilantním způsobem shrnul do několika parciálních diferenciálních rovnic angličan J. Maxwell. Jeho slavné rovnice (pro vakuum) vypadají následovně: kde ρ je hustota náboje a J hustota proudu. Z těchto rovnic navíc odvodil, že může existovat elektromagnetická vlna – „stačí“ dosadit rovnici vpravo nahoře do rovnice vpravo dole. Budeme-li předpokládat, že se nacházíme ve vakuu, kde J = 0, pak po jednoduché, nicméně zdlouhavé úpravě výrazu získáme což je vlnová rovnice. Tento druh rovnice je opět znám i z mechaniky …

Odvození vlnové rovnice
Zatoulejme se na chvíli do oblasti mechanického vlnění a prozkoumejme, jak se šíří vlna na napjaté struně. z1 z2 Δz z x Mějme strunu o délce L napjatou silou F. Zkoumejme příčné výchylky u(z,t). řekněme, že struna má lineární hustotu ρ = m/L. Zvolme dva velmi blízké body z1 a z2 – čímž vysekneme na zvlněné struně přibližně rovný úsek – a zkoumejme pohybovou rovnici tohoto úseku. Z 2. Newtonova zákona dostaneme pro pohyb úseku jako celku rovnici

x Nyní předpokládejme, že výchylka úseku v ose x je velmi malá. Pak je možné použít tvrzení 1) 2) Bod 1) vychází z Taylorova rozvoje funkce sinus, bod 2) pak z faktu, že pro malé výchylky je sklon úseku v podstatě rovnoběžný. Dále využijeme faktu, že pro velmi malé úhly platí

x Za daných předpokladů pak můžeme pohybovou rovnici upravit jako Z obrázku je zřejmé, že „průběh struny“ je vlastně grafem funkce u(z,t). Dále je zřejmé, že úhly φ1 a φ2 jsou směrnicovými úhly tečen k tomuto grafu v bodech z1 a z2 a jejich tangenty jsou směrnicemi těchto tečen. Ovšem směrnice tečny k funkci je derivace této funkce. Proto

x Dosadíme do pohybové rovnice : a b c Nyní je třeba si vzpomenout na Lagrangeovu větu o přírůstku : a aplikovat ji na pravou stranu rovnice. Funkce musí být spojitá, což lze v tomto případě zařídit podmínkou, která říká, že na napjaté struně nemohou být žádné „zlomy“ či „špičky“.

x V našem případě platí, že do věty dosazujeme a pravou stranu tak upravíme na

x Podívejme se nyní na levou stranu rovnice a upravme přímo derivaci hybnosti dle času: neboť je zjevné, že rychlost v ose x je derivace polohy v ose x dle času, ale poloha v ose x je výchylka u(z,t). Hmotnost m se týká pouze zvoleného úseku struny a lze ji vypočítat jako m=ρ.Δz , kde ρ je lineární hustota a Δz délka úseku struny. Tedy pro každý bod struny (a tedy i pro z0) platí

x Oba výrazy dáme do rovnosti a zkrátíme Δz : Rovnost musí platit pro každé z0 a pro každé t. Z číselné rovnice tak můžeme udělat parciální diferenciální rovnici druhého řádu s okrajovými podmínkami : Jakákoliv funkce u(z,t), která vyhovuje této rovnici, může popisovat šíření vlny na struně.

Maxwellovy rovnice James Clerk Maxwell Vrátíme-li se k elektromagnetizmu, vidíme, že rovnice je vlnové rovnici na struně (až na dimenzi) opravdu nápadně podobná. Konstanty určují rychlost šíření vlny v daném prostředí. Změna v elektrickém poli vyvolá proměnné magnetické pole a to zase změnu v elektrickém a tak dále. Tyto změny se šíří rychlostí světla.

Jedním z možných řešení je rovinná vlna, kterou lze popsat rovnicí kde vektor k má směr šíření vlny a velikost Řešením jsou i kulové vlnoplochy a další typy vln.

Shrnutí Magnetické pole Pohyby částic v magnetickém poli Hallův jev
Ampérova síla Proudová smyčka Magnetický dipól Magnetické pole elektrického proudu Elektromagnetická indukce Cívka a indukčnost RL, LC a RLC obvody Maxwellovy rovnice Elektromagnetická vlna

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Podobné prezentace

Prezentace na téma: "Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti"— Transkript prezentace:

Podobné prezentace

O projektu

Kontaktní formulář

Přihlásit se

Přihlásit se přes sociální síť:

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Podobné prezentace

Prezentace na téma: "Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti"— Transkript prezentace:

Podobné prezentace

O projektu

Kontaktní formulář