Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Co je diferenciální počet? Jedna z nejjednodušších základních definic ve fyzice je zavedení průměrné rychlosti : Zavést rychlost okamžitou je ale mnohem.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Co je diferenciální počet? Jedna z nejjednodušších základních definic ve fyzice je zavedení průměrné rychlosti : Zavést rychlost okamžitou je ale mnohem."— Transkript prezentace:

1 Co je diferenciální počet? Jedna z nejjednodušších základních definic ve fyzice je zavedení průměrné rychlosti : Zavést rychlost okamžitou je ale mnohem těžší. Jak na to? Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

2 Co je diferenciální počet? Zjednodušme si život uvažováním pouze přímočarého pohybu (resp. pohybu pouze v jedné souřadné ose – složce vektoru). Potom dostaneme průměrnou rychlost vztahem : O přesné rychlosti v obou bodech či mezi nimi toho ale mnoho nevíme. Trochu si pomůžeme, dáme-li body blíže k sobě: Tím jsme odhad okamžité rychlosti v bodě s 1 trochu zlepšili, ale ne o moc.

3 Co je diferenciální počet? Můžeme obě polohy přiblížit ještě více a ještě více a tak odhad dále zpřesňovat. Ovšem nelze dát oba body na trajektorii totožné, neboť bychom dělili nulou. Jak z toho tedy vybruslit?

4 Definice okamžité rychlosti Okamžitá rychlost je definována jako limita Tato definice má smysl, neboť z matematického hlediska je poloha tělesa funkce času. Funkce je spojitá a nemá ostré zlomy (Newtonova mechanika nepočítá s transportními paprsky ze Star Treku ani s nekonečně velkými zrychleními) a tato limita musí vždy existovat. Limita typu se nazývá derivace a má mnoho praktických aplikací, zejména ve fyzice a technice (pro obecné funkce samozřejmě existovat nemusí).

5 Směrnice tečny Mějme funkci y = f(x) a zkonstruujme k ní tečnu v bodě x = 8. Jak na to? Tečna je přímka, jež lze zapsat ve směrnicovém tvaru jako p(x) = k.x + q. Zkonstruovat tečnu tedy znamená určit koeficienty k a q. Pokud zjistíme k (směrnici, koeficient udává sklon), q snadno dopočítáme, neboť p musí procházet bodem [ 8, f(8) ]. Jak na to, když druhý bod neznáme?

6 Směrnice tečny [ x 1,y 1 ] [ x 2,y 2 ] Δx = x 2 – x 1 Δy = y 2 – y 1 α k = tg α

7 Směrnice tečny

8 Směrnice tečny, derivace Buď f reálná funkce jedné reálné proměnné. Říkáme, že funkce f má v bodě x 0 derivaci c, právě když existuje limita Definice 68. Vidíme, že směrnici tečny lze zapsat jako Pak značíme

9 kde k = f ’(x 0 ) je derivace v bodě x 0, nazýváme diferenciál funkce f v bodě x 0. Diferenciál vyjadřuje přírůstek funkce v těsném okolí bodu. Pozor – diferenciál není přímo ta tečná přímka. Je to vlast- ně přímka, která je s tečnou rovnoběžná, ale prochází počátkem. Diferenciál Definice 69. Lineární zobrazení d f : R -> R ve tvaru Na rozdíl od tečné přímky je diferenciál lineární zobrazení ve všech aspektech této definice (viz. přednášky z lineární algebry). Na „nekonečně malém“ okolí diferenciál roste stejně jako funkce, tj. přírůstek funkce pro ξ -> 0 můžeme vyjádřit jako V limitně nulovém (infinitezimálním) okolí se tedy jakákoliv diferencova- telná funkce chová jako přímka.

10 K čemu je derivace? Derivace udává sklon tečné přímky (resp. diferenciálu). Čím vyšší je sklon, tím větší je k. Zde je evidentně k 1 > k 2, modrá křivka tedy v těsném okolí bodu 6 roste rychleji, než zelená křivka. Derivace je tedy jakousi mírou „rychlosti růstu“ funkce v daném bodě.

11 K čemu je derivace? V bodech, kde se funkce „překlápí“ z růstu do klesání, tj. v lokálních extrémech je derivace nulová (tečná přímka je konstantní). Dokážeme-li tedy snadno určit derivaci funkce v libo- volném bodě, známe polohy všech lokálních extrémů – jsou jimi některá řešení rovnice f ’(x) = 0. Mohou ale existovat i taková řešení této rovnice, která lokálními extrémy nejsou!

12 Výpočet derivace Pokud známe derivaci funkce v každém jejím bodě, máme definovanou novou funkci: Výpočet derivace jako funkce spočívá ve vyjádření této (resp. definiční) limity pro každý bod x z D f. Pro všechny elementární funkce je nutné tento úkon provést zvlášť. Zde příklad pro f (x) = x 2 : Tedy (x 2 )’ = 2x. Parabola tedy zrychluje svůj růst úměrně s 2x.

13 Výpočet derivace x2x2 2x Vztah mezi grafem funkce a její derivace lze demonstrovat na předchozím příkladu. Tam, kde funkce klesá, je derivace záporná. Tam, kde funkce roste, je derivace kladná. V místě lokálních extrémů je derivace nulová.

14 Derivace elementárních funkcí

15 Výpočty derivací Věta 28. Buďte f a g reálné funkce jedné reálné proměnné, které mají derivace v bodě x 0. Potom platí následující rovnosti:

16 Výpočty derivací Věta 29. Buďte f a g reálné funkce jedné reálné proměnné s definičními obory D f a D g a nechť Potom pro derivaci složené funkce platí Spočítejte derivace a zjistěte polohu lokálních extrémů funkcí Příklad

17 Derivace vyšších řádů Jelikož derivaci lze interpretovat jako funkci, je možné provést tzv. druhou derivaci – tedy výslednou funkci poderivovat ještě jednou. Stejným způsobem lze získat i derivace vyšších řádů. Derivace vyšších řádů se značí příslušným počtem čárek, tedy f, f ’, f ’’, f ’’’ atd., vyšší derivace pak číslem v závorce, např. f (6), f (45). Spočítejte druhé derivace funkcí Příklad Spočítejte obecně n-té derivace funkcí Příklad

18 L’ Hospitalovo pravidlo Věta 30. Buďte f a g reálné funkce jedné reálné proměnné, jež mají v nějakém prstencovém okolí bodu a konečné derivace (prstencové okolí bodu a je H a – {a}). Předpokládejme dále, že nebo a navíc na H a - {a} je g nenulová. Potom platí Ukažte, že následující limity jsou a/b, 0, 1/2, e 1/6 : Příklad

19 Úlohy o maximalizaci a minimalizaci Určete obdélník pevně daného obsahu S, který má nejmenší obvod. Příklad Do elipsy vepište obdélník, jehož strany jsou rovnoběžné s osami elipsy a který má největší možný obsah. Příklad V jaké výšce nad středem kruhového stolu o poloměru a je třeba umístit svítidlo, aby osvětlení okrajů stolu bylo maximálně jasné? Jas osvětlení je dán vzorcem Příklad kde φ je úhel sklonu paprsků, r vzdálenost zdroje od odvětlovaného místa a k svítivost zdroje.

20 Vyšetřování průběhů funkcí Předpokládejme, že nepřítel nám zadal funkci a chce po nás, abychom mu nakreslili její graf bez pomoci výpočetní techniky. Jak na to? Budeme postupovat podle následujícího seznamu úkonů: Určíme definiční obor funkce a také obor hodnot, je-li to možné. Tím si vymezíme prostor, kde se graf funkce bude nacházet. V bodech, kde je ve funkci dělení nulou, naznačíme tzv. svislé asymptoty – k těmto svislým přímkám se funkce bude limitně blížit. Spočítáme limity funkce v nekonečnech a nevlastních bodech zleva a zprava. Získáme tak hrubou představu o tom, jak se graf chová „nalevo“ a „napravo“ od papíru, na který kreslíme a jestli u svislých asymptot půjde nahoru nebo dolu. Spočítáme asymptoty – přímky, ke kterým se funkce bude blížit v nekonečnech. Pomocí první derivace určíme polohu lokálních extrémů funkce a intervaly, ve kterých funkce klesá a roste. Pomocí druhé derivace určíme polohu inflexních bodů a intervaly, ve kterých je funkce konvexní a konkávní. Načrtneme graf.

21 Vyšetřování průběhů funkcí Načrtněte graf funkce Příklad Určíme definiční obor funkce. Spočítáme limity funkce v nekonečnech. Získáme tak hrubou představu o tom, jak se graf chová „nalevo“ a „napravo“ od papíru, na který kreslíme. Tj. „vlevo“ jde funkce dolů, „vpravo“ nahoru, u svislé čáry zleva i zprava k +∞.

22 Vyšetřování průběhů funkcí Co zatím víme:

23 Vyšetřování průběhů funkcí Spočítáme asymptoty – přímky, ke kterým se funkce bude blížit v nekonečnech. Asymptota je přímka, která se v limitě v nekonečnech chová stejně jako funkce (viz obrázek). Defi- novat jí lze pomocí limity – je-li pak přímka a(x) = kx+q je asymptota v plus resp. minus nekonečnu. Koeficienty asymptoty k a q lze spočítat postupně pomocí limit Důkaz pro toto tvrzení je velmi snadný, rozmyslete si jej sami.

24 Vyšetřování průběhů funkcí Spočítáme asymptoty – přímky, ke kterým se funkce bude blížit v nekonečnech. Asymptoty v plus i mínus nekonečnu jsou shodné, je jimi přímka

25 Vyšetřování průběhů funkcí Co zatím víme: Ale je to opravdu tak, že se funkce k asymptotě blíží jen shora? To je třeba ověřit, pokud je to možné.

26 Vyšetřování průběhů funkcí Ověřme, zda je funkce v okol nekonečen větší či menší než asymptota, pokud je možné to snadno rozhodnout.

27 Vyšetřování průběhů funkcí Co zatím víme:

28 Vyšetřování průběhů funkcí Pomocí první derivace určíme polohu lokálních extrémů funkce a intervaly, ve kterých funkce klesá a roste. 1 5 roste klesá minimum plato

29 Vyšetřování průběhů funkcí Co zatím víme:

30 Vyšetřování průběhů funkcí Pomocí druhé derivace určíme polohu inflexních bodů a intervaly, ve kterých je funkce konvexní a konkávní. konvexní funkce křivka je „nad“ tečnou konkávní funkce křivka je „pod“ tečnou Funkce je konvexní, pokudFunkce je konkávní, pokud konvexní na ex Tam, kde platí má funkce tzv. inflexní bod.

31 Vyšetřování průběhů funkcí

32 Teď už víme vše, náčrtek vypadá takto:

33 Vyšetřování průběhů funkcí Graf vykreslený počítačem

34 Rozvoj funkce do Taylorovy řady Mějme funkci spojitou na Ha, leč komplikovanou. Může být výhodné ji aproximovat nějakou jednodušší – nejlépe polynomem. Tento polynom by měl mít podobné vlastnosti – růst (klesat) tam, kde roste (klesá) původní funkce, být konvexní (konkávní) tam, kde původní funkce a tak podobně. To můžeme dosáhnout tak, že zvolíme polynom, který má v bodě a shodných několik derivací s původní funkcí. -π-ππ 1 π/2-π/2

35 Rozvoj funkce do Taylorovy řady Věta 31. Buď f reálná funkce, jež má v bodě a konečnou n-tou derivaci. Pak existuje právě jeden polynom T n stupně nejvýše n, pro který platí Nultou derivací se rozumí původní funkce. Polynom T n má tvar Polynom nazýváme Taylorův. Důkaz :Vezměme nějaký obecný polynom ve tvaru Zde a reprezentuje posun po ose x od počátku souřadnic k bodu a. Budeme-li jej derivovat, jednotlivé členy postupně zmizí.

36 Rozvoj funkce do Taylorovy řady Důkaz :Vezměme nějaký obecný polynom ve tvaru Zde a reprezentuje posun po ose x od počátku souřadnic k bodu a. Budeme-li jej derivovat, jednotlivé členy postupně zmizí.

37 Rozvoj funkce do Taylorovy řady Nás především zajímá, jak vypadá polynom v bodě a. Hodnota závorky (x - a) j-k je zde nulová až na člen, ve kterém j=k. V tomto členu je hodnota závorky 1. V tomtéž členu se pak nutně musí z ostatního „hebdí“ stát k! a koeficient a j = a k. Proto Polynom ovšem konstruujeme tak, aby jeho derivace v bodě a byly shodné s derivacemi funkce v bodě a a tedy Z podmínky na rovnost derivací jsme tedy opravdu získali polynom ve tvaru Q.E.D.

38 Rozvoj funkce do Taylorovy řady Definice 70. Označme si pro x z Ha R n zde představuje chybu v aproximaci – rozdíl f (x) a T n (x) v daném bodě. Identita se nazývá Taylorův vzorec (rozvoj) funkce f v bodě a. R n se pak nazývá zbytek v Taylorově vzorci. Pozn. : lze dokázat, že Taylorův polynom n-tého stupně je nejlepší možná aproximace funkce f (x), tj. že pro libovolný jiný polynom stupně n by zbytek T n je v každém bodě Ha v absolutní hodnotě větší.

39 Rozvoj funkce do Taylorovy řady Rozviňte do Taylorovy řady funkci f (x) = e x v bodě a = 0. Příklad Zkonstruujme pro funkci f obecnou n-tou derivaci. To je snadné: Nyní ji vyčísleme v bodě a = 0: Derivaci dosaďme do vzorce: Lze dokázat, je to však složité.

40 Rozvoj funkce do Taylorovy řady Rozviňte do Taylorovy řady funkce sin x a cos x v bodě a = 0. Příklad Zkonstruujme pro funkcei obecnou n-tou derivaci v bodě a = 0: Z tabulky je vidět, že derivace se opakují a Taylorovy polynomy budou vykazovat jistou pravidelnost. Předně v rozvoji pro sinus budou jen liché členy, zatímco v rozvoji pro cosinus pouze sudé (pozn.: to souvisí i s tím, že sinus je funkce lichá a cosinus sudá).

41 Rozvoj funkce do Taylorovy řady

42 Rozviňte do Taylorovy řady funkci ln( 1 + x ) v bodě a = 0. Příklad

43 Shrnutí Co je diferenciální počet Definice derivace (fyzikální a matematický pohled) Diferenciál Použití derivací Výpočet derivací Derivace vyšších řádů l’Hospitalovo pravidlo Úlohy o maximalizaci a minimalizaci Vyšetřování průběhu funkcí Rozvoj funkce do Taylorova polynomu


Stáhnout ppt "Co je diferenciální počet? Jedna z nejjednodušších základních definic ve fyzice je zavedení průměrné rychlosti : Zavést rychlost okamžitou je ale mnohem."

Podobné prezentace


Reklamy Google