Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Elementární funkce Základními elementárními funkcemi se nazývají funkce mocninné exponenciální logaritmické goniometrické cyklometrické Elementárními funkcemi.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Elementární funkce Základními elementárními funkcemi se nazývají funkce mocninné exponenciální logaritmické goniometrické cyklometrické Elementárními funkcemi."— Transkript prezentace:

1 Elementární funkce Základními elementárními funkcemi se nazývají funkce mocninné exponenciální logaritmické goniometrické cyklometrické Elementárními funkcemi se nazývají funkce, které jsou vytvořeny ze základních elementárních funkcí pomocí konečného počtu základních algebraických operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání). V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU (www.gnu.org).

2 Rovnice Rovnicí nazveme výraz (podmínku) ve tvaru. Všechna čísla x z definičního oboru funkce f, která podmínce vyhovují, nazveme řeše- ním rovnice nebo kořeny funkce f. Rovnici lze zapsat i ve tvaru. Na výchozí tvar ji lze pře- vést odečtením g (x) od obou stran rovnosti :. Výraz nalevo je nová funkce. Rovnice může mít obecně jedno nebo více řešení, popřípadě žádné či nekonečně mnoho – to záleží na tvaru funkce f (x). Například rovnice má jedno řešení x = 1/2 má dvě řešení x = 2, x = -2 má nekonečně řešení x = 2kπ, k Z nemá žádné řešení (v reálných číslech)

3 Polynomické funkce Polynom n-tého stupně nazveme funkci ve tvaru kde koeficienty a i jsou obecně komplexní čísla, n přirozené číslo. Pro některá n nazýváme polynomy konstantní, lineární, kvadratická a kubická funkce.

4 Vlastnosti kvadratických funkcí a > 0 a < 0 Grafem kvadratické funkce je křivka zvaná parabola. Ta je souměrná podle osy rovnoběžné s osou y. Její tvar závisí zejména na koeficientu a. a > 0 : funkce je zdola omezená funkce klesá na funkce roste na v bodě má ostré minimum a < 0 : funkce je shora omezená funkce klesá na funkce roste na v bodě má ostré maximum

5 Polynomické rovnice Věta 2. Polynom stupně alespoň 1 má alespoň 1 kořen. Karl Friedrich Gauss Základní věta algebry Polynom stupně 0 je triviální – nemá žádný kořen. Polynom stupně 1 má vždy jeden kořen Co je kořen – graficky?

6 Polynomické rovnice Polynom stupně 2 – musí mít alespoň jeden kořen? Má tento polynom alespoň jeden kořen? Ano, má dva : Základní věta algebry platí pouze v oboru komplexních čísel. V oboru reálných platit nemusí. Reálné kořeny rovnic jsou ale důležité. Jak spočítat obecně reálné kořeny kvadratické rovnice – či jak zjistit, že žádné nemá? Tuto rovnici lze řešit tzv. doplněním na úplný čtverec, tj. za využití vzorce

7 Řešení kvadratické rovnice Substituce p = b/a, q = c/a další výpočet zpřehlední. Nyní je nutné upravit výraz napravo tak, aby v něm bylo pouze jediné x. Využijeme předchozího vzorce jestliže vhodným doplněním členů získáme

8 Řešení kvadratické rovnice Přepsali jsme rovnici na tvar, ve kterém je již elementárními úpravami snadno k vyřešení: Nyní dosadíme zpět za p, q :

9 Řešení kvadratické rovnice Vzhledem k ± zde není nutné vkládat absolutní hodnotu.

10 Řešení kvadratické rovnice Výraz D = b 2 - 4ac nazýváme diskriminant. Tento vzorec ukazuje, že každý polynom druhého stupně má nejvýše dvě řešení. V reálném oboru lze o počtu kořenů rozhodnout z výrazu. Pokud, řešení je právě jedno. Je-li tento výraz záporný, rovnice reálné řešení nemá. Jinak má dvě. Lze dokázat, že libovolný polynom n-tého stupně má nejvýše n kořenů. Vzorce, kterými je možné vypočítat ale pro polynomy vyššího stupně než čtyři (tzv. Cardanovy vzorce) nejsou známy. Lze dokázat, že každý polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má minimálně jeden reálný kořen.

11 Řešení polynomických rovnic vyšších stupňů Lze dokázat, že libovolný polynom n-tého stupně má nejvýše n kořenů. Vzorce, kterými je možné vypočítat ale pro polynomy vyššího stupně než čtyři (tzv. Cardanovy vzorce) nejsou známy. Rovnice lze řešit buď přibližně (numerickými metodami), graficky, nebo, pokud to je možné, nějak problém zjednodušit. Grafické řešení x y = f (x)

12 Příklad Vyřešte rovnici Řešení polynomických rovnic vyšších stupňů Řešení je triviální. Povšimneme si, že rovnici řeší x = 0. Předpokládáme-li, že x ≠ 0, pak můžeme celou rovnici x vydělit, zbude a dle dříve uvede- ného vzorce pak x = 1, x = 2. Rovnice má tedy tři kořeny. Obecně lze říci, že každý polynom lze zapsat jako kde x 1 – x m jsou kořeny a k i přirozená čísla, pro která platí k 1 + k 2 +…+ k m = n. Uhodneme-li nějakým způsobem jeden kořen, můžeme ho z polynomu „vytknout“ a celou rovnici vydělit příslušnou závorkou. Tím získáme polyno- mickou rovnici nižšího stupně. Čísla k i určují tzv. násobnost kořenu.

13 Příklad Vyřešte rovnici Řešení polynomických rovnic vyšších stupňů Všimneme-li si například, že rovnici řeší x = 3, pak snadno dospějeme k následujícímu: Rovnice má tedy dva kořeny, x = 3, x = 1. Druhý z kořenů má násobnost 2.

14 Racionální funkce Racionální nazveme funkci ve tvaru kde koeficienty p i, q j jsou obecně komplexní čísla, n a m přirozená čísla. Jedná se zjevně o podíl dvou polynomů. Ve speciálních případech nazýváme funkce hyperbolická (nepřímá úměrnost) a lineární lomená funkce. Podmínky u druhé z funkcí zajišťují, aby se z výrazu nestala funkce lineární či dokon- ce konstantní.

15 Vlastnosti hyperbolické funkce funkce není omezená funkce klesá na celém D f funkce nemá na D f extrémy funkce je lichá Graf nepřímé úměrnosti je tzv. rovnoosá hyperbola. Ta je souměrná podle os kvadrantů. Hyperbola se neomezeně blíží k souřadným osám, nikdy se jich však nedotkne. V bodě x = 0 funkce není definována (tento bod nepatří do jejího defi- ničního oboru). Je-li konstanta v čitateli zlomku záporná, jsou větve hyperboly v opačných kvadrantech.

16 Vlastnosti lineární lomené funkce funkce není omezená funkce klesá na celém D f funkce nemá na D f extrémy Graf lineární lomené funkce je rovněž rovnoosá hyper- bola, ovšem posunutá mimo počátek souřadnic. její střed leží v bodě jinak se ve všech vlast- nostech shoduje s nepřímou úměrností. Řešení racionálních rovnic spočívá pouze v úpravě výrazů a vede na řešení rovnic polynomických. Je třeba jen vést v patrnosti čísla, která do rovnice nelze dosadit (dělení nulou).

17 Exponenciální funkce Podmínky jsou nutné, neboť reálná mocnina je definována pouze pro kladná čísla a v případě, že a = 1, není funkce exponenciální, nýbrž polynomická 0. stupně. Pro vědeckou praxi jsou důležité exponenciální funkce se základy Iracionální číslo e se nazývá eulerovo, nebo základ přirozeného logarit- mu. Dostaneme se k němu v rámci úvodu do matematické analýzy. přirozená exp. funkce dekadická exp. funkce Exponenciální funkcí funkcí o základu a nazveme funkci

18 Vlastnosti exponenciální funkce a > 1 : funkce je zdola omezená funkce je rostoucí funkce je prostá nemá lokální extrémy vždy prochází bodem [0,1], neboť libovolné číslo umocněné na nulu je jedna Exponenciální funkce pro a > 1 velmi rychle roste. Například funkce 2 x zdvojnásobí svou funkční hodnotu pokaždé, kdy se x zvětší o 1.

19 Vlastnosti exponenciální funkce a < 1 : funkce je zdola omezená funkce je klesající funkce je prostá nemá lokální extrémy vždy prochází bodem [0,1], neboť libovolné číslo umocněné na nulu je jedna

20 Vlastnosti exponenciální funkce Exponenciální funkce se zákla- dy a a 1/a jsou vůči sobě syme- trické podle osy y. To je dáno tím, že Jinými slovy, nahradíme-li základ a základem 1/a, provádíme vlastně nahrazení argumentu funkce x argumentem –x, a tato operace převrátí graf funkce podle osy y.

21 Logaritmické funkce Logaritmickou funkcí o základu a nazveme funkci inverzní k zapisujeme Jelikož exponenciální funkce je prostá v celém svém definičním oboru, je možné k ní utvořit funkci inverzní na celém oboru hodnot. Obor hod- not exponenciální funkce je ovšem interval (0,+∞), proto je tento interval zároveň definičním oborem logaritmu. Dle definice platí Pro zjednodušení se zavádí zápisy

22 Vlastnosti logaritmické funkce y x Protože logaritmus je inverzní funkce k funkci exponenciální, jsou jejich grafy symetrické podle osy 1. a 3. kvadrantu a > 1 : funkce není omezená funkce je rostoucí funkce je prostá nemá lokální extrémy vždy prochází bodem [1,0]

23 y x Vlastnosti logaritmické funkce Protože logaritmus je inverzní funkce k funkci exponenciální, jsou jejich grafy symetrické podle osy 1. a 3. kvadrantu a < 1 : funkce není omezená funkce je klesající funkce je prostá nemá lokální extrémy vždy prochází bodem [1,0]

24 Vlastnosti exponentů a logaritmů Tato identita plyne přímo z definice. Logaritmus a exponenciála jsou k sobě navzájem inverzní. Zapíšeme-li tedy exponenciálu jako inverzní funkci k logaritmu a neprohodíme x a y, získáme Z definice rovněž plyne

25 Vlastnosti exponentů a logaritmů Rovnosti vycházejí z vlastnosti exponenciál Dále platí pro libovolná x 1, x 2 > 0, a > 0, a ≠ 1 : Poslední rovnost je splněna pouze v tom případě, že se rovnají výrazy v exponentu.

26 Vlastnosti exponentů a logaritmů Předchozí rovnosti lze rozšířit na Dále platí pro libovolná x > 0, a > 0, a ≠ 1, r reálná a n přirozená : Což by šlo dokázat stejně jako předchozí identity. Odsud také rovnou plyne

27 Vlastnosti exponentů a logaritmů Poslední důležitý vztah pro logaritmy je To vyplývá z následujících jednoduchých úprav: Speciálně pak celá rovnost zlogaritmována při základu b

28 Příklady na počítání s logaritmy

29 Pomocí logaritmů lze převést řadu násobení a dělení na sčítání a odčítání. Dříve se tohoto faktu hojně využívalo při výpočtech za pomoci logaritmického pravítka. logaritmické stupnice

30 Logaritmické stupnice není zde 0 (je v nekonečnu)

31 Logaritmické stupnice Ta samá data v dekadické stupnici – malé píky vůbec nejsou vidět!

32 Logaritmické stupnice

33 Exponenciální a logaritmické rovnice Exponenciální rovnicí nazveme každou rovnost, ve které se neznámá vyskytuje v exponentu. Základní tvar takové rovnice lze zapsat jako kde f(x) a g(x) jsou nějaké jednodušší funkce (např. racionální). Z tohoto tvaru lze rovnici převést na racionální zlogaritmováním s libovolným zá- kladem, např. 10: Výrazy log a a log b jsou pro danou rovnici konstanty a lze je najít v ta- bulkách či spočítat na kalkulačce.

34 Příklad Vyřešte rovnici Protože platí, že Exponenciální a logaritmické rovnice lze rovnici upravit na K řešení jsme využili faktu, že po elementární úpravě byly obě funkce v exponentu stejné. Nebylo tedy nutné celou rovnici zlogaritmovat.

35 Příklad Vyřešte rovnici Exponenciální a logaritmické rovnice Rovnici upravíme :a zlogaritmujeme:

36 Příklad Vyřešte rovnici Exponenciální a logaritmické rovnice Součty nelze zlogaritmovat a mocniny mají různé základy. Je třeba rovnici nejprve ně- jak upravit:

37 Příklad Vyřešte rovnici Exponenciální a logaritmické rovnice

38 Logaritmickou rovnicí nazveme každou rovnost, ve které se neznámá vyskytuje argumentu logaritmu. Základní tvar takové rovnice lze zapsat jako kde f(x) a g(x) jsou nějaké jednodušší funkce (např. racionální). Z tohoto tvaru lze rovnici převést na racionální převodem na společný základ a odlogaritmováním: Většinou se ovšem setkáváme z jednoduššími rovnicemi, u kterých je základní tvar

39 Příklad Vyřešte rovnici Exponenciální a logaritmické rovnice

40 Příklad Vyřešte rovnici Exponenciální a logaritmické rovnice Je třeba mít na pamětí, že argumenty logaritmů musí být kladné a tedy x > -3 a zároveň x > 2, tedy dohromady x > 2. Vyjde-li nám jiný výsledek, musíme jej zahodit.

41 Shrnutí Elementární funkce Rovnice, kořeny rovnice Polynomy, polynomické rovnice, základní věta algebry Kvadratická funkce a rovnice Řešení polynomických rovnic vyšších stupňů Racionální funkce Nepřímá úměrnost, lineární lomená funkce Exponenciální a logaritmické funkce Vlastnosti exponenciál a logaritmů, logaritmická stupnice Exponenciální a logaritmické rovnice


Stáhnout ppt "Elementární funkce Základními elementárními funkcemi se nazývají funkce mocninné exponenciální logaritmické goniometrické cyklometrické Elementárními funkcemi."

Podobné prezentace


Reklamy Google