Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Mocniny, odmocniny Pravidla pro počítání Částečné odmocňování Usměrňování zlomků Daniel Traub, T4C.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Mocniny, odmocniny Pravidla pro počítání Částečné odmocňování Usměrňování zlomků Daniel Traub, T4C."— Transkript prezentace:

1 Mocniny, odmocniny Pravidla pro počítání Částečné odmocňování Usměrňování zlomků Daniel Traub, T4C

2 Mocnina a historie Již u starověkých řeků ( geometrické úlohy)  Druhá a třetí mocnina Heron z Alexandrie –čtvrtá mocnina Diofantos z Alexandrie (konec 3. stol. n. l.)  šestá mocnina Vliv indické matametiky René Descartes (1596 až 1650), fran. Matem.  dílo Géométire (1637), zaveden souč. zápis

3 Umocňování Matematická funkce, vyjadřuje opakované násobení. Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo násebení ke sčítání. Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení:

4 Umocňování V tomto vzorci se a označuje jako základ mocniny (mocněnec) a n se nazývá exponent (mocnitel). Výsledek je n-tá mocnina čísla a, a na n-tou. Speciálním případem prázdného součinu je a 0 = 1 (pro a > 1). (pro Když nelze psát exponent na horní pozici, používá se často zápis ve tvaru a^b, někdy také a**b.

5 Zobecnění funkce Výše uvedená definice mocnění jako opakovaného násobení je použitelná jen pro přirozené exponenty. Záporné exponenty označují mocninu převráceného čísla: Zobecnění pro racionální exponent:

6 Zobecnění funkce Mocniny s komplexními exponenty jsou definovány následujícím způsobem: Je-li s reálnými čísly a, b, r > 0 a φ, pak platí

7 Pravidla pro počítání a 0 = 1 pro a ≠ 0 (pro 0 0 viz dále) Umocňování není obecně komutativní (2³ = 8 ≠ 9 = 3²).

8 Rychlost růstu Mocnina je velice rychle rostoucí funkce, jedna z nejrychleji rostoucích běžně používaných funkcí. List papíru se nechá obvykle přeložit (na polovinu) jen asi sedmkrát. Výsledkem je 128 (27) vrstev papíru. Pokud by (teoreticky) takový papír byl přeložen 42krát, vrstva papíru by měla tloušťku rovnající se vzdálenosti ze Země na Měsíc. Každý člověk má dva biologické rodiče, čtyři prarodiče, osm praprarodičů atd. Pokud sledujeme tento rodokmen dále, dejme tomu 70 generací, dostaneme se až do doby narození Ježíše Krista. V tomto případě počet předků každého člověka představuje 270 = lidí. To výrazně přesahuje počet všech dosud žijících lidí.

9 0 na 0-tou Obecně není výraz 0 na 0ltou definován Limita v tomto tvaru je tzv. neurčitý výraz a pro její vyčíslení je potřeba použít jinou techniku (např. L'Hôpitalovo pravidlo) Dvojí pohled 1) funkce x 0, všude (kromě nuly) = 1, je možno ji v nule dodef. stejně a klade se 0 0 = 1. 2) funkce 0 x, všude (kromě nuly) nulová, takže se v nule dodefinuje 0 0 = 0. Běžně hlavně první definice, 0 0 = 1. Pro použití první definice několik závažných důvodů, mezi nejdůležitější patří binomická věta, pro jejíž obecnou platnost je tato definice vyžadována.

10 Algoritmus výpočtu druhé mocniny umocníme dvěma první číslici, k dvojnásobku čísla zapsaného první číslicí připíšeme druhou číslici a vzniklé číslo násobíme touto druhou číslicí, k dvojnásobku čísla zapsaného prvními dvěmi číslicemi připíšeme třetí číslici a vzniklé číslo násobíme třetí číslicí, dále pokračujeme v načatém algoritmu, součin každého dalšího řádku píšeme o dvě místa vpravo. Příklad:

11 Odmocnina a historie Objev Pythagorovy věty pomohl zjistit, že úhlopříčka čtverce není vyjádřitelná racionálními hodnotami, tj. že její délku není možné vyjádřit jako celé nebo lomené číslo. Tento objev způsobil velký nesoulad v tehdejších řeckých filozofických a matematických poznatcích. Nemáme bezpečnou zprávu o tom, jak Archimédes (asi 287 – 212 před n. l.) určoval druhé odmocniny ve svých výpočtech. Používal pravděpodobně, stejně jako Heron, přibližnou hodnotu podle vzorce Tento způsob odmocňování znali prý už Babyloňané. Znak odmocniny se objevil na konci 15. století. Současný znak se začal používat už Simon Stevin (1548 – 1620) a Albert Girard (1595 – 1632) na konci 16. století a poupátkem 17. století.

12 Odmocňování Odmocňování jako inverzní operace k umocňování Nechť n je libovolné přirozené číslo, a nezáporné číslo, pak takové (jediné) nezáporné číslo b, pro které platí b n = a, se nazývá n – tá odmocnina čísla a. Zapisujeme Číslu se říká základ odmocniny (nebo odmocněnec) a číslu n odmocnitel. Je-li Je-li a > 0,je pro každé Speciálně pro n=2 píšeme jen pro každé reálné číslo a platí Neboť pro a >= 0 je, avšak pro a < 0 je Zobecnění: Pro každé sudé přirozené číslo n a každé reálné číslo a platí je.

13 Vzorce pro počítání s odmocninami Pro m,n … přirozená čísla, a >= 0 Vzorec lze rozšířit na libovolný konečný počet odmocnin s týmž odmocnitelem: Pro m,n … přirozená čísla, a >= 0, b > 0 Pro n,o … přirozená čísla, a >= 0

14 Částečné odmocňování Ze vzorců plyne že je Pro každé Této úpravě se říká částečné odmocňování a obrácené úpravě převedení činitele a do odmocněnce.

15 Algoritmus výpočtu druhé odmocniny odmocněnce rozdělíme na dvojčísli zprava doleva, při desetinném čísle na dvojčísli od desetinné čárky doprava i doleva, první číslici odmocniny dostaneme odmocněním prvního dvojčíslí od prvního dvojčíslí odečteme druhou mocninu první číslice odmocniny a k rozdílu připíšeme další dvojčíslí v dělenci zatrhneme poslední místo a zbylé číslo dělíme dvojnásobkem dosavadního výsledku, výsledek dělení zapíšeme do výsledku a současně ji připíšeme k děliteli vzniklé číslo násobíme stejným číslem a výsledek odečteme od původního čísla (viz příklad).

16 Grafy funkcí Funkce y =  x je inverzní k funkci y = x n, x   a n je sudé.

17 Usměrňování zlomků Některé zlomky obsahují ve jmenovateli odmocniny. Tyto zlomky můžeme vhodným rozšířením upravit na zlomky jim rovné, které ve jmenovateli odmocninu nemají. Tato úprava se nazývá usměrňování zlomků. 1) Zlomek typu kde rozšíříme číslem, čímž ve jmenovateli dostaneme číslo a ; 2) Speciálně zlomek typu rozšíříme číslem abychom ve jmenovateli dostali číslo a.

18 Usměrňování zlomků 3) Zlomek typu rozšíříme dvojčlenem, takže ve jmenovateli bude pak číslo

19 Příklady

20

21

22

23 Konec Zdroje


Stáhnout ppt "Mocniny, odmocniny Pravidla pro počítání Částečné odmocňování Usměrňování zlomků Daniel Traub, T4C."

Podobné prezentace


Reklamy Google