Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Kmity, vlny Nejjednodušší případ oscilátoru: ● Lineární—pohybuje se jenom v jednom směru, polohu označíme x ● Harmonický—síla je úměrná výchylce z rovnováhy.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Kmity, vlny Nejjednodušší případ oscilátoru: ● Lineární—pohybuje se jenom v jednom směru, polohu označíme x ● Harmonický—síla je úměrná výchylce z rovnováhy."— Transkript prezentace:

1 Kmity, vlny Nejjednodušší případ oscilátoru: ● Lineární—pohybuje se jenom v jednom směru, polohu označíme x ● Harmonický—síla je úměrná výchylce z rovnováhy a směřuje k rovnováze Vzorcem: Jinými než lineárními harmonickými oscilacemi se nebudeme zabývat. Kmity = oscilace: pohyb objektu v blízkosti stabilní rovnovážné polohy Více harmonických oscilátorů, které na sebe působí  oscilace se mohou šířit prostorem a vytvářet vlny (druhá část přednášky). E pot stabilní rovnovážná poloha F F Objektu vykonávajícímu oscilace říkáme oscilátor.

2 Příklad lineárního harmonického oscilátoru: těleso na pružině Pohyb:Síla: (index „s“ od slova „spring“)

3 Dosazení do 2. Newtonova zákona dá diferenciální rovnici Jak dostaneme oscilace matematicky? ● homogenní, lineární  řešení tvoří lineární prostor, tj. a) řešení vynásobené číslem je zase řešení. b) součet dvou řešení je zase řešení. ● s konstantními koeficienty  řešení hledáme ve tvaru ● 2. řádu (nejvyšší derivace je druhá)  prostor je 2-rozměrný, tj. řešení bude obsahovat dva parametry. Rovnice je s neznámou.

4 Tímto jsme zavedli úhlovou frekvenciVíce o ní na příští straně. Pomocí  můžeme diferenciální rovnici přepsat jako derivace exponenciály  násobení Dosazení s využitím dá Obě strany rovnice můžeme vydělit exponenciálou (je nenulová). Dostaneme tak charakteristickou algebraickou rovnici pro : Ta by měla mít 2 kořeny pro 2-rozměrný prostor řešení diferenciální rovnice. Skutečně:

5 2 kořeny jak jsme čekali, ale imaginární  Obecné řešení: lineární kombinace sinu a kosinu  t …2 parametry Lépe: souvisí s periodou T a s frekvencí f : A je amplituda,  je fázový posun argument harmonické funkce (sin, cos) se nazývá fáze. „Nejkrásnější rovnice matematiky“ -Sčítání, násobení, mocnění 0, 1, e, i,  vše právě jednou Pro zajímavost: speciální případ Vzpomeneme si, že Také 2 parametry, ale s jasným významem: harmonické funkce…proto harmonický oscilátor úhlová frekvence  = změna fáze za jednotku času.

6 Rychlost: Zrychlení: Vidíme, že což je výchozí rovnice pro oscilace. Graficky: Každá derivace = posun dopředu o čtvrt periody. Derivování podle času dá

7 Úhlová frekvence odpovídá úhlové rychlosti…stejný symbol  Dostředivé zrychlení (viz 1. přednáška): Souvislost s kruhovým pohybem Projekce na osu x :což je opět výchozí rovnice pro oscilace. Graficky:Animace:

8 Obecně, pokud se potenciální energie mění se vzdáleností jako n -tá mocnina, platí Pro harmonický oscilátor n = 2, pro gravitační pole n = -1. ● Potenciální (vůči rovnovážné poloze v x = 0 ): Jako funkce času během oscilací: ● Kinetická: ● Celková: Zachovává se, jak jsme čekali. Grafem je parabola. Energie Kinetická a potenciální energie harmonického oscilátoru se v průměru rovnají: E kin E pot Naopak minule pro kruhovou dráhu v gravitačním poli jsme viděli, že Graficky: funkce času a výchylky

9 Fig. 1 CASSCF/SOCI potential energy curves for several low-lying electronic states of LiH J.M.H. Lo, M. Klobukowski Computational studies of one-electron properties of lithium hydride in confinement Chemical Physics Volume 328, Issues V okolí minima funkce vypadá jako parabola…proto harmonické oscilace vždy, když je výchylka z rovnovážné polohy dostatečně malá Např. molekula LiH v různých elektronických stavech:

10 Příklad Slupkové teorémy z minula: na objekt ve vzdálenosti r od středu působí síla od všech slupek s menším poloměrem. Jejich celková hmotnost je hmotnost koule o poloměru r : Objekt přitahují silou: Projekce do směru tunelu: Objekt o hmotnosti m se pohybuje hladkým přímým tunelem mezi 2 body na povrchu Země. Ukažte, že pohyb objektu m v tunelu je harmonický a najděte jeho periodu. Řešení:

11 …znaménko „–“ protože síla směřuje obráceně než výchylka. Síla je úměrná výchylce…harmonický oscilátor s elastickou konstantou Odtud úhlová frekvence Perioda: ● nezávislá na umístění tunelu. ● tatáž jako perioda orbitu satelitu těsně nad povrchem Země (viz 3. Keplerův zákon minule).

12 Rovnice je lineární  součet dvou je zase řešení. Jaká bude výsledná amplituda A a fáze  pro amplitudy A 1, A 2 a fáze  1,  2 vln, které sčítáme? Musí platit pro všechna t, tj. musí se rovnat koeficienty u sin(  t) a cos(  t): Skládání (superpozice) oscilací Použijeme vztah: Má tedy platit: Otázka:

13 Grafická interpretace: sčítání vektorů

14 K elastické síle přidáme sílu odporu prostředí působící proti rychlosti Tlumení: prostředí obvykle klade odpor Pohybová rovnice pak má tvar: Toto je nejjednodušší případ: síla odporu je úměrná rychlosti. Opět homogenní lineární rovnice s konstantními koeficienty  opět hledáme řešení ve tvaru Opět rovnice druhého řádu  opět čekáme dvě řešení charakteristické rovnice pro neznámou.

15 původní frekvence bez tlumení Účinek tlumení: Charakteristická rovnice: Doplnění na čtverec: Řešení: kde jsme zavedli: koeficient tlumení frekvence s tlumením ● zmenšení frekvence z  0 na  ● přidání záporné reálné části -   exponenciální pokles amplitudy

16 Obecné řešení má proto tvar: Graficky:

17 Přidáme periodickou vnější (externí) sílu, která bude kompenzovat ztráty kvůli odporu: Budeme proto řešit rovnici a pak z řešení vezmeme reálnou část . Vnější síla  rovnice je nehomogenní. Obecné řešení = obecné řešení homogenní rovnice (už máme—tlumené oscilace) + jedno partikulární řešení nehomogenní rovnice Partikulární řešení budeme hledat ve tvaru Nucené oscilace A tentokrát není volný parametr, nýbrž ho musíme určit dosazením do rovnice.

18 Dosazení do rovnice dá: A je komplexní číslo…obsahuje amplitudu i fázový posun. Amplituda je daná velikostí čísla A : Výraz pod odmocninou doplníme na čtverec:  Resonance (maximální amplituda) pro: …nižší než frekvence tlumených kmitů  Hodnota amplitudy v maximu: roste s klesajícím , jak ukazuje resonanční křivka:

19 Příklad a)Při jaké rychlosti se vůz začne prudce rozhoupávat vlivem nárazů na spoje kolejnic? b)Jaká je přitom amplituda vzniklých oscilací vozu, je-li síla nárazů na spoje kolejnic F ext = 30 [N] ? Prázdný železniční vůz má hmotnost m = 2000 [kg]. Při zatížení nákladem o hmotnosti M = 3000[kg] se pružiny kol zkrátí o délku  x = 6 [cm]. Koeficient tlumení pružin má hodnotu  = 0,001 [s -1 ]. Vůz s nákladem jede po kolejnicích délky d =12,56 [m]. kde a) Vůz se začne prudce rozhoupávat, když nárazy na spoje kolejnic vyvolají resonanci pružin. Resonanční úhlová frekvence pružin Řešení:

20 Konstantu pružnosti k určíme z údaje, že při zatížení nákladem hmotnosti M se pružiny zkrátí o  x Tlumení změní resonanční frekvenci o stomiliontinu! Vliv  na  res můžeme zanedbat. K resonanci dojde, když perioda oscilace pružin bude rovná době mezi nárazy kolejnic, tj. Dosazení dá:

21 b) Tlumení můžeme zanedbat pod odmocninou ale ne před odmocninou. Číselně: Statické zatížení hmotností 3000kg (tj. silou N) zkrátilo pružiny o 6cm kdežto v resonanci 1000  menší síla vyvolala 5  větší amplitudu! To je dáno malou hodnotou poměru  /  0 (viz resonanční křivka). Asi nejdramatičtější případ resonance:

22 2 oscilátory: mezikrok na cestě k vlnám Stejné hmotnosti, stejné tuhosti postranních pružin k, jiná tuhost prostřední pružiny k´ 2 mody:  prostřední pružina se nenatahuje:  střed pružiny v klidu  celková elastická konstanta =

23 Matematika potvrdí fyzikální intuici: Pohybové rovnice: Součet: Rozdíl: Rovnice harmonických oscilací s úhlovými frekvencemi

24 Řetězec oscilátorů x n-1 xnxn x n+1 FnFn x n výchylka z rovnováhy n-tého oscilátoru xx xx k k m m m V rovnováze: Vychýlení z rovnováhy: Síla na n-tý oscilátor: síla od (n-1)ho oscilátoru síla od (n+1)ho oscilátoru

25 Pohybová rovnice: Řešení hledáme ve tvaru: q udává změnu fáze na jednotku délky mezi oscilátory …prostorová obdoba úhlové frekvence Čekáme, že na vlnočtu q bude záviset frekvence  —viz případ dvou oscilátorů:  Vztah mezi vlnočtem a vlnovou délkou jako mezi úhlovou frekvencí a periodou: Odsud do konce přednášky: rozumí se, že z komplexních čísel bereme reálnou část. ● Fázový rozdíl byl 0 nebo  (součet nebo rozdíl poloh). ● Frekvence rostla s fázovým rozdílem. Závislosti úhlové frekvence na vlnočtu  ( q ) se říká dispersní relace. Tím jsme zavedli novou proměnnou q zvanou vlnočet (vlnový vektor).

26 Dispersní relace pro řetězec Dosadíme tvar řešení do pohybové rovnice a dostaneme: Frekvence roste s vlnočtem až do maximální hodnoty 2  0 pro q =  /  x Vlnočet se někdy (např. tady na obrázcích) značí písmenem k a rovnovážná vzdálenost oscilátorů písmenem a

27 Máme oscilátory hustěji a hustěji: Spojitá limita Místo pořadového čísla oscilátoru n zavedeme spojitou proměnnou polohy x. Výchylka n -tého oscilátoru se tak stane funkcí spojité proměnné x : Rozdíly přejdou v prostorové derivace: n -tý oscilátor 0 Výchylka n -tého oscilátoru v lineárním řetězci v čase t Výchylka spojitého lineárního oscilujícího prostředí v místě x a čase t

28 Pohybová rovnice: Při limitním přechoduzároveň pošleme Tím zůstane konstantní i Tuto konstantu označíme c 2. Pak pohybová rovnice má tvar: Říká se jí vlnová rovnice a je to jedna z nejčastěji se vyskytujících rovnic ve fyzice. Disperzní relace dostane ve spojité limitě tvar: tak, aby zůstaly konstantní modul pružnosti k  x a hustota m/  x.

29 Fyzikální význam c : fáze v čase t+  t =  Vlna se posunula o c  t doprava. Takže c je rychlost bodu s danou fází (např. maxima, minima, nuly) …fázová rychlost Pro q > 0 : Obdobně pro q < 0 : vlna se posune o c  t doleva. Navíc znaménko q určuje směr šíření vlny. Odtud:

30 —změna vlny při pohybu zdroje a pozorovatele Rychlost zdroje v Z  změna vlnové délky Pohyb pozorovatele: vPvP Dopplerův jev  Rychlost vlnění vůči pozorovateli je v Z > 0 pokud se zdroj pohybuje k pozorovateli v P > 0 pokud se pozorovatel pohybuje ke zdroji Úhlová frekvence, kterou měří pozorovatel: Frekvencese změní stejným způsobem Znaménka: Pohyb zdroje:

31 Skládání (superpozice) vln Jako u oscilátoru: Vlnová rovnice je lineární  Součet dvou řešení je zase řešení. Uvážíme tři případy: ● Dvě vlny s blízkými vlnočty a frekvencemi…grupová rychlost ● Více (až nekonečně mnoho) takových vln…vlnový balík ● Dvě vlny se stejným vlnočtem a frekvencí ale opačným směrem šíření …stojaté vlny

32 Vezměme součet dvou řešení s blízkými vlnočty a frekvencemi modulovaná vlna Obálka se pohybuje grupovou rychlostí: Grupová rychlost je obecně jiná než fázová. Pro lineární dispersi jsou stejné. Grupová rychlost nosná vlnamodulační obálka Obálka má dlouhou vlnovou délkua dlouhou časovou periodu =  Toto je případ, kdy

33 Příklad Určete poměr fázové a grupové rychlosti vln ve vodě. Z rozměrové analýzy: Odtud fázová rychlost: Grupová rychlost: Poměr: Řešení:  Toto je případ, kdy

34 Sečteme více než dvě (až nekonečně mnoho) vln s blízkými vlnočty a frekvencemi: ● Balík je tím užší, čím více vlnových délek použijeme a naopak je tím širší, čím méně vlnových délek použijeme. relace neurčitosti…fundamentální význam v kvantové mechanice ● Balík vznikne kvůli interferenci: konstruktivní v maximu, destruktivní dál od maxima více o interferenci v optice. ● Pohybuje se grupovou rychlostí. Vlnový balík a dostaneme vlnový balík:

35 Sečteme dvě vlny šířící se v opačných směrech: Oddělí se časová a prostorová závislost…vlna se nepohybuje: Stojatá vlna K tomu může dojít kvůli okrajovým podmínkám. Tím se zároveň vyberou jen některé vlnové délky.

36 Například výchylka zafixovaná na nulu ve vzdálenosti d : V kvantové mechanice pak uvězněná částice může mít jen některé energie. Tím se zároveň vyberou jen některé frekvence …viz struna na kytaře nebo vzduch v píšťale. Pak d musí být celočíselný násobek délky půlvlny:

37 Příště: optika Světlo jsou vlny. Různé chování podle toho, jestli se pohybuje na vzdálenostech srovnatelných s vlnovou délkou nebo podstatně větších.


Stáhnout ppt "Kmity, vlny Nejjednodušší případ oscilátoru: ● Lineární—pohybuje se jenom v jednom směru, polohu označíme x ● Harmonický—síla je úměrná výchylce z rovnováhy."

Podobné prezentace


Reklamy Google