Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 16. PŘEDNÁŠKA.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 16. PŘEDNÁŠKA."— Transkript prezentace:

1 CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 16. PŘEDNÁŠKA Březen 2013 Teorie grafů

2 Březen 2013 další ….... POKRAČOVÁNÍ informací --- z oblasti TEORIE GRAFŮ ☺ POKRAČOVÁNÍ

3 Základní pojmy - přehled Základní pojmy - přehled orientovaný a neorientovaný graf uzel --- hrana (orientovaná, neorientovaná) sled hran – sled uzlů cesta --- cyklus – uzavřená cesta strom tok (maximální – minimální) …… Teorie grafů - pojmy Březen 2013

4 Příklad 0 - klasika Příklad 0 - klasika Poštovní doručovatel musí při roznášce pošty alespoň jedenkrát projít každou ulicí svého rajónu. Znamená to, aby postupoval tak, že, ujde co nejméně kilometrů ………. Teorie grafů - Algoritmus čínského pošťáka Březen 2011 POZN.: Problému „čínského listonoše“ a „obchod- ního cestujícího“ je věnován podrobný speciální výklad !

5 Zjistit, zda jsou všechny uzly sudého stupně. Není-li tomu tak, musíme přidat hrany, aby- chom tuto podmínku splnili a to provedeme tak, že spojíme uzly s lichým stupněm nejkratší cestou. Provedeme kontrolu, zda cesta pošťáka je opravdu nejkratší. Teorie grafů – NÁSTIN POSTUPU Březen 2011

6 Příklad 1 Příklad 1 Máme město, které se rozkládá na dvou os- trovech a dvou březích, které jsou spojeny sedmi mosty. Úkolem je určit, zda je možno projít přes každý ze sedmi mostů přesně pouze jednou, aniž bychom přeplavali řeku (viz obrázek)? Březen 2011 Teorie grafů – Jiný příklad …

7 Teorie grafů – město Krílovec (Koenigsberg) … Březen ostrovy + 2 nábřeží + 7 mostů ……

8 Teorie grafů Březen Sedm mostů a dva břehy daného města a odpovídají cí graf … projděte si to!!!

9 Teoréma: Není možno projít přes každý most právě jednou bez přeplavání řeky, protože všechny uzly mají lichý stupeň. Teorie grafů Březen 2013

10 Příklad 2 Příklad 2 Řešíme dřívější úlohu čínského pošťáka pro graf na obrázku. Březen 2011 Teorie grafů – Další jiný příklad … a f e 8d b 3 2 c 3 2

11 Teorie grafů Březen 2013 Překresleno z hlediska hran = vyznačení vztahů (vazeb). Pro 6 uzlů je to 6-ti úhelnik… e d c b a f 6 5

12 Řešení: Hrany tvořící nejlevnější perfektní párování jsou označeny tučně – viz následující obr. Stupně všech jeho uzlů jsou sudé, nečiní tedy potíže nalézt v tomto grafu uzavřený Eulerovský tah. Teorie grafů - Algoritmus čínského pošťáka Březen 2013

13 Teorie grafů Březen 2011 Hrany tvořící nejlevnější perfektní párování – tučné hrany e d c b a f 6 5

14 Teorie grafů Březen 2011 Hodnoty hran pro jednotlivé (přímé) cesty a-b = 5 a-c = 10, 9, 7b-c = 4, 5 a-d = 9, 7, 14b-d = 4c-d = 4, 5 a-e = 6b-e = 12, 7, 11c-e = 13, 7, 12 a-f = 6 nebo 7b-f = 9, 7, 14c-f = 8 d-e = 6 d-f = 6 nebo 7e-f = 7

15 Úloha hledání maxima toku Úloha hledání maxima toku Základem je orientovaný graf, tzv. digraf G =  V, E , kde V je množina uzlů a platí, že V =  1, 2, 3, …, n  (přitom……… Teorie grafů Březen 2013

16 přitom V = 1 označuje zdroj V = n označuje místo určení (konec) toku V = 2, 3, 4, … ostatní uzly označují, kudy tok prochází) E je množina orientovaných hran (např. produktovod, el. vedení, silnici, apod.) majících určitou přepravní kapacitu k ij. Teorie grafů Březen 2010

17 Celý produkt je vždy hranou přepraven od jednoho uzlu k druhému – nic nepřibude a nic se neztrácí. Pokud by se nejednalo o digraf, který má hrany orientovány pouze jediným směrem, musely by být obousměrné hrany nahrazeny proti sobě jdoucími dvěma (jednosměrně) orientovanými hranami. Teorie grafů Březen 2009

18 Přepravní problém Teorie grafů Březen 2013 Směrodatným je tedy i-tý uzel a jeho přepravní (transitní) kapacita. Cíl: Splnit požadavky odběratelů a nepřekročit kapacity dodavatelů při minimálních nákla- dech spojených s tokem.

19 Teorie grafů Březen 2013 Pro uzel i: a i > 0 dodavatel (zdroj), a i < 0 odběratel (místo určení, koncový uzel), a i = 0 průběžný uzel (překladiště), k ij – kapacita hrany (i,j), c ij – náklady spojené s jednotkou toku hranou (i,j) bude…..

20 Teorie grafů Březen 2013 bude nezbytné minimalizovat hodnotu sumy: při …

21 Teorie grafů Březen 2013 při splnění podmínek: při odtok přítok

22 Maximální tok sítí Maximální tok sítí znamená hledat maximum pro vztah: Teorie grafů Březen 2013 Připomenutí – existují vztahy pro více- produktové toky a pro zapojení ekono- mických (nákladových) ukazatelů.

23 Za podmínky, že: Teorie grafů Březen 2013 pro k ij – kapacita (maximální propustnost) hrany (i, j), uzel 1 – zdroj, uzel n – místo určení. kde

24 Omezení – kapacita uzlu: Omezení – kapacita uzlu: má vztah: Teorie grafů Březen 2013 k ij – kapacita (maximální propustnost) hrany (i, j), d j – maximální možný tok uzlem j.

25 Úloha hledání minimální kostry grafu Úloha hledání minimální kostry grafu Jedná se o úlohu, kde je graf neorientovaný, ale každá hrana je ohodnocena (například náklady na její zřízení v reálu). Je potřeba najít minimální počet hran, které graf musí mít. Vychází se z grafu, který má plný počet hran, čili spojení mezi jednotlivými uzly. Teorie grafů Březen 2013

26 Minimalizace proběhne na základě vypuštění určitých hran, jejichž úlohu převezmou jiné hrany mající dostatečnou kapacitu. Přitom bývá ještě omezení, že je omezen ná- růst ceny i prodloužení cesty a času potřeb- ného k projetí cesty. Teorie grafů Březen 2013

27 Pro graf bude KOSTRA grafu při Teorie grafů Březen 2013 Minimální kostra grafu – kostra grafu s mini - málním součtem ohodnocení hran ……

28 Teorie grafů Březen 2013 ohodnocení hra n: 1 hrana (i,j) bude vybrána 0 jinak Pokračuje se převodem na PŘEPRAVNÍ PROBLEM tok hranou (i,j) se bude …..

29 Teorie grafů Březen 2013 se bude minimalizovat: s podmínkami:

30 Teorie grafů Březen 2013 pak bude ….. tok hranou (i,j)

31 Teorie grafů Březen 2013 d i – počet hran, se kterými může být uzel i maximálně spojen Modifikace úlohy limitovaný počet připojen í. Znamená hledat řešení pro vztah:

32 Okružní úlohy Okružní úlohy Řeší se problémy spojené s rozvozem a svo- zem předmětů, materiálů, zboží atd. Uzly v grafu představují místa, kam nebo od- kud se vozí a hrany jsou spojnice (komuni- kace, silnice, atd.). Typickou úlohou je úloha obchodního cestu- jícího (Traveling salesman problem). Teorie grafů Březen 2013

33 Úlohou je navštívit všechny uzly pouze jed- nou a cesta přitom má být optimální čili nejkratší. Teorie grafů Březen 2013

34 Řešené úlohy: Teorie grafů Březen 2013 HAMILTONŮV CYKLUS … úloha ob- chodního cestujícího EULERŮV CYKLUS … úloha čínského listonoše EULERŮV TAH FLEURYHO ALGORITMUS

35 Klasifikace úloh: 1. Znalost zákazníků Teorie grafů Březen 2013 STATICKÉ ÚLOHY – všichni zákazníci jsou předem známí DYNAMICKÉ ÚLOHY – po výjezdu vozidel na trasy přicházejí další požadavky

36 2. Velikost požadavků a kapacita vozidel Teorie grafů Březen 2013 OKRUŽNÍ ÚLOHY – neuvažujeme velikost požadavků ROZVOZNÍ ÚLOHY – zadány velikosti poža - davků, kapacita vozidla je důležitá

37 3. Počet a umístění vozidel Teorie grafů Březen 2013 – jedno výchozí místo – několik výchozích míst

38 4. Cíl optimalizace Teorie grafů Březen nejkratší cesta - průchod každým bodem pouze jednou --- atd…….

39 Hamiltonovské cesty a kružnice Hamiltonovské cesty a kružnice Hamiltonovská cesta v grafu G je cesta, kte- rá obsahuje každý uzel grafu G právě jednou. Hamiltonovská kružnice (cyklus) v grafu G je kružnice (cyklus), která prochází každým uzlem grafu, u které je počáteční a koncový uzel totožný. Teorie grafů Březen 2009

40 Typy úloh: Najít Hamiltonovskou kružnici (cyklus) – úloha obchodního cestujícího. Najít Hamiltonovskou cestu (mezi libovol- nými dvěma uzly). ………….. Teorie grafů Březen 2010

41 Najít Hamiltonovskou cestu, jejíž krajní uzel je fixován. Najít Hamiltonovskou cestu, jejíž oba krajní uzly jsou fixovány. Pro řešení všech těchto typů úloh neexistuje žádný efektivní algoritmus. Teorie grafů Březen 2010

42 Metoda minimální cesty - Orientovaný graf Metoda minimální cesty - Orientovaný graf Pro určení minimální cesty v orientovaném ohodnoceném grafu se využívá Bellmanův princip optimality – pro následující obrázek: je-li cesta z A do C optimální, pak na této cestě musí ležet i cesta z B do C. Teorie grafů Březen 2009

43 Teorie grafů Březen 2009 Graf podmínky Bellmanova principu optimality

44 Podmínky pro graf, aby mohl být použít Bellmanův princip optimality: všechny hrany grafu jsou ohodnoceny t ij, v grafu nesmí být cykly  i < j (hrana musí vystupovat z uzlu i s číslem menším a vstu- povat do uzlu j s číslem větším), nesmí být rovnoběžné hrany – odstraníme pomocí fiktivních hran s nulovým ohod- nocením. Teorie grafů Březen 2009

45 Teorie grafů Březen 2009 Podmínka užití Bellmanova principu optimality Tvorba fiktivního prvku

46 Postup určování cesty v orientovaném grafu Postup určování cesty v orientovaném grafu Při hledání minimální (maximální) cesty v ohodnoceném orientovaném grafu postu- pujeme od koncového uzlu k počátečnímu uzlu. Teorie grafů Březen 2009

47 Ohodnocení v koncovém uzlu (T n = 0) polo- žíme rovno nule. Pak postupujeme proti smě- ru orientace hran k počátečnímu uzlu a u kaž- dého uzlu si pamatujeme minimální (maximál- ní) hodnotu součtu ohodnocení hran předcho- zí části cesty a směr, odkud jsme do daného uzlu došli. Hodnota v počátečním uzlu dává celkovou nejkratší (nejdelší) cestu v grafu. Teorie grafů Březen 2009

48 Teorie grafů Nejkrat ší cestaNejdel ší cesta T i = min ( T j + t ij ) T n = 0 T i = max ( T j + t ij ) T n = 0

49 Nejkratší cesta Nejkratší cesta vede uzly: 1 – 2 – 3 – 4 – 6 Délka cesty: = 10 jednotek Teorie grafů Březen 2009

50 Teorie grafů Příklad orientovaného grafu – nejkratší cesta

51 Nejdelší cesta Nejdelší cesta vede uzly: 1 – 3 – 5 – 6 Délka cesty: = 20 jednotek Teorie grafů Březen 2009

52 Teorie grafů Příklad orientovaného grafu – nejdelší cesta

53 Neorientovaný graf - Postup hle- dání minimální cesty v neorien- tovaném grafu Neorientovaný graf - Postup hle- dání minimální cesty v neorien- tovaném grafu Graf musí být ohodnocený, neoriento- vaný, bez číslování uzlů. Počáteční uzel je označen číslem nula. Teorie grafů Březen 2009

54 V každém dalším kroku ohodnotíme neohodnocené uzly, které jsou spojeny hranami s již ohodnocenými uzly a to tak, že je hodnotíme podle vztahu: Teorie grafů Březen 2009

55 minimální cesty. kde je: U( t i ) – hodnota ohodnoce- ného uzlu, t ij – hodnota hrany mezi ohodnoceným [ U(t i ) ] a neohodnoceným [ U(t j ) ] uzlem. Hodnota koncového uzlu dává hodnotu minimální cesty. Teorie grafů Březen 2009

56 Hrany, které leží na minimální cestě, určíme podle vztahu: t ij = [U(t j ) - U(t i )] směrem od posledního uzlu k prvnímu. Platí, že rozdíl hodnot sousedících uzlů musí být hodnota hrany. Teorie grafů Březen 2009

57 Teorie grafů Březen 2009 Příklad neorientovaného grafu

58 Teorie grafů Březen 2010 Postup ohodnocování uzlů

59 Matematický zápis grafů Matematický zápis grafů Matematický tvar je potřeba při zadávání grafu do algoritmů a metod řešených s po- mocí výpočetní techniky. Často používaným tvarem je uzlová inci- denční matice A s prvky nabývajícími násle- dujících hodnot: Teorie grafů Březen 2009

60 a ij = 0… pokud uzel (vrchol) u j není uzlem hrany h i (e i ) a ij = 1… existuje-li mezi uzly u i a u j hrana a ij = + k i … existuje-li hrana h i s počá- tečním uzlem u j a s ohodnocením k i a ij = - k i … existuje-li hrana h i s koncovým uzlem u j a s ohodnocením k i. Teorie grafů Březen 2011

61 Teorie grafů Březen Základní tvar stromu

62 Matice: A = Teorie grafů Březen 2009

63 Teorie grafů Březen ,5 5,6 6,2 5,4 6,4 3,9 3,6 Graf s ohodnocenými hranami

64 Předcházející graf má matici: 6,2 0 -6, ,4 -5, ,6 -5, A = ,6 -3, ,9 0 3, ,4 6, , ,5 Teorie grafů Březen 2009

65 Nejkratší cesta v grafu Nejkratší cesta v grafu Je další z klasických dopravních problémů – je to vlastně řešení problému najít na mapě nejkratší cestu místa A o místa B. Zde je řešení snadnější, protože mapa posky- tuje určitá vodítka v podobě zakreslených cest. Něco takového bohužel v hranově ohodnoce- ném grafu není k dispozici. Teorie grafů Březen 2009

66 Postup hledání cesty z uzlu r do uzlu s, je v tomto případě založen na využití určité for- my trojúhelníkové nerovnosti. Při řešení je doporučeno využít metodu pro- hledávání grafu do šířky, takže v každém kro- ku jsou vypočítávány vzdálenosti všech z vý- chozího uzlu dostupných (ostatních) uzlů při přidání nové hrany, která musí vytvořit kratší cestu, aby se změnilo ohodnocení uzlu. Teorie grafů Březen 2011

67 Algoritmus řešení má tyto kroky: 1. krok – vzdálenost výchozího uzlu v r se položí rovna 0 – touto hodnotou se tak ohod- notí výchozí uzel – a položí se J = Ø 2. krok – najdou se všichni následníci již oz- načených uzlů a jsou zařazeni do množiny J Teorie grafů Březen 2011

68 3. krok – vypočtou se délky cest do těchto uzlů, tj. existuje-li hrana z uzlu i do uzlu j Є J a vypočte se součet pro v j = v i + c ij 4. krok – označí se uzel k, pro který platí, že: k: v k = min v j, pro j Є J Teorie grafů Březen 2011

69 5. krok – algoritmus může skončit, pokud již byly označeny všechny uzly s hodnotami v i 6. krok – položí se J = Ø a pokračuje se krokem 2. Teorie grafů Březen 2011

70 březen 2013 …..… cw05 – 16 POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace pokračují …… v úlohách obchodního cestujícího a čínského listonoše…..

71 ……… Březen 2013


Stáhnout ppt "CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 16. PŘEDNÁŠKA."

Podobné prezentace


Reklamy Google