Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová."— Transkript prezentace:

1 4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová

2 © L&K2 Doc. Ing. Milada Lagová, CSc. Konzultační hodiny: – Čtvrtek 9:30 – 12:30 hod. – Místnost NB 433 – – Web:

3 © L&K3 LITERATURA Povinná literatura: –Lagová, M., Jablonský, J.: Lineární modely, VŠE, Praha 2004 –Lagová, M., Kalčevová,J.: Matematické programování v příkladech, VŠE, Praha 2007 Doporučená literatura: –Jablonský, J.: Operační výzkum, Professional Publishing, Praha 2003 –Lauber, J., Jablonský, J.: Programy pro matematické modelování, VŠE, Praha 1997 –Pelikán, J.: Diskrétní modely v operačním výzkumu, Professional Publishing, Praha 2003

4 © L&K4 PROGRAMOVÉ SYSTÉMY Povinné: - LinPro - LPPro Doporučené: - MS Excel - Řešitel - Lindo - Lingo a další

5 © L&K5 1. PŘEDNÁŠKA ÚVOD DO LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ

6 © L&K6 OSNOVA PŘEDNÁŠKY 1. Úvod do matematického modelování 2. Lineární programování (LP) 3. Ekonomický model úlohy LP 4. Matematický model úlohy LP 5. Grafické řešení úlohy LP 6. Typické úlohy LP a jejich formulace 7. Analýza výsledků

7 © L&K7 VYUŽITÍ MATEMATIKY V EKONOMII Teoretické poznatky již v 17. a 18. století (anglický klasický ekonom William Petty – ekonometrie, francouzský ekonom Francois Quesnay – strukturní analýza) Praktické aplikace souvisí se dvěma událostmi: –2. světová válka –zavedení počítačů Během druhé světové války byly matema- tické metody využívány pro řízení vojen- ských operací – „Operační výzkum“

8 © L&K8 OPERAČNÍ VÝZKUM Není to jednotná vědní disciplína, skládá se z řady odvětví Zabývá se řízením složitých systémů po- mocí formulace a řešení matematických modelů Model budeme obecně chápat jako zobra- zení těch rysů skutečnosti, které jsou pod- statné z hlediska sledovaného cíle Modelování využívá různých prostředků (fyzikální, verbální, deskriptivní, analogové atd.)

9 © L&K9 Model hromadné obsluhy Matematický model: NF(c) = k 1 N + k 2 c Obr. 1.1 − Optimalizace v teorii front Doba mezi příchody 1/λ Doba obsluhy 1/μ

10 © L&K10 MATEMATICKÝ MODEL Matematický model (MM) popisuje sle- dovaný systém pomocí vyjadřovacích prostředků matematiky Ty mohou být různě složité – čím složi- tější, tím je model přesnější Klasifikace matematických modelů: - MM lineární x MM nelineární - MM deterministické x MM stochastické - MM statické x MM dynamické - MM mikroekonomické x MM makro- ekonomické

11 © L&K11 MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ Matematický model je tvořen: - soustavou vlastních omezení - podmínkami nezápornosti - účelovou funkcí Na množině nezáporných řešení soustavy vlastních omezení hledáme extrém (ma- ximum nebo minimum) účelové funkce Řešení maximalizující, popř. minimalizující hodnotu účelové funkce je optimální (pro- to optimalizační model - OM)

12 © L&K12 Modely matematického programování jsou: - lineární nebo nelineární - deterministické - statické Řešením modelů tohoto typu se zabývá: - lineární programování - nelineární programování - vícekriteriální programování Nejjednodušší jsou lineární optimalizační modely (LOM)

13 © L&K13 ŘEŠENÍ LOM Řeší se jednoduchým matematickým aparátem, jehož základem je lineární algebra Řešení praktického problému pomocí ma- tematických metod není jednorázovou záležitostí Jde o dlouhodobý proces, který je možno rozdělit do několika fází Celý postup znázorníme schematicky

14 © L&K14 2. Formulace matematického modelu 1. Formulace ekonomického modelu 3. Řešení matematického modelu Obr. 1.2 − Fáze řešení LOM 4. Rozbor výsledného řešení Definice

15 © L&K15 1. Formulace ekonomického modelu Řešení problému LP začíná jeho definicí, tj. ujasněním problému Touto definicí je ekonomický model Popisuje: − procesy neboli činnosti − činitele neboli podmínky − cíl optimalizace Dále musí být v EM stanoveny všechny kvantitativní vztahy mezi procesy, činiteli a cílem a jednotky, ve kterých je měříme

16 © L&K16 2. Formulace matematického modelu Matematický model MM) obsahuje: - proměnné (strukturní): x j, j = 1, 2,..., n - omezení vlastní: nerovnice typu ≤, ≥, = - omezení nevlastní (podmínky nezápor- nosti): x j ≥ 0, j = 1, 2,..., n - účelovou funkci, jejíž maximum nebo minimum hledáme

17 © L&K17 Vztah EM a MM Ekonomický model Procesy − činnosti Činitelé − kapacity, požadavky − činnosti Cíl − kriterium optimality Matematický model Proměnné –x j Omezení –nerovnice ≤,≥, = –podmínky nezápornosti Účelová funkce –maximalizační –minimalizační

18 © L&K18 3. Řešení matematického modelu Univerzální metodou řešení úloh LP je simplexová metoda (SM) Tato etapa je většinou záležitostí počítačů, jen malé úlohy se dají řešit ručně V současné době je součástí softwarové- ho vybavení všech počítačů (např. Řešitel neboli Optimizer v Excelu) Existují i metody pro řešení speciálních problémů LP, jako je např. dopravní problém

19 © L&K19 4. Rozbor výsledného řešení Řešení matematického modelu je třeba analyzovat: 1. ekonomicky je interpretovat 2. verifikovat je 3. analyzovat vliv změn v modelovaném problému 1. Ekonomická interpretace: Matematické výsledky řešení MM převe- deme do termínů EM

20 © L&K20 2. Verifikace výsledků Numerické výsledky je třeba srovnat s po- žadavky v definici problému - pokud ne- souhlasí, je zřejmě špatně naformulováno odpovídající omezení MM 3. Analýza výsledků Model také umožňuje analyzovat výsled- ky, tj. zkontrolovat, zda jsou reálné, a růz- ně s nimi experimentovat – vyčíslit, co by se stalo s optimálním řešením, kdyby se změnily výchozí podmínky

21 © L&K21 Příklad 1.1 Firma vyrábí šroubky a matice Šroubky i matice jsou lisovány – vylisování krabičky šroubků trvá 1 minutu, krabička matic je lisována 2 minuty Šroubky i matice balí do krabiček, ve kte- rých je pak prodává - krabička šroubků se balí 1 minutu, krabička matic 4 minuty Firma má k dispozici 2 hodiny času pro li- sování a 3 hodiny času pro balení výrobků

22 © L&K22 Vzhledem k poptávce je třeba vyrobit alespoň o 90 krabiček šroubků více než krabiček matic Z technických důvodů nelze vyrobit více než 110 krabiček šroubků Zisk z jedné krabičky šroubků je 40 Kč, z jedné krabičky matic 60 Kč Firma nemá potíže s odbytem výrobků Kolik krabiček šroubků a matic má fir- ma vyrobit, chce-li dosáhnout maximál- ního zisku?

23 © L&K23 Procesy Jednotky 1.Výroba šroubků (Š) 1 krabička (kr.) 2.Výroba matic (M) 1 krabička Činitelé na straně vstupu 1.Čas na lisu 1 min. 2.Čas pro balení 1 min. Činitelé na straně výstupu 3. Vztah počtu KŠ a KM 1 krabička 4. Max. počet KŠ 1 krabička Cíl –Maximální ziskKč Ekonomický model

24 © L&K24 Tab. 1.1 Kvantitativní vztahy v modelu Je vhodné je uspořádat do tabulky:

25 © L&K25 Formulace MM Firma vyrábí šroubky a matice Šroubky i matice balí do krabiček, ve kterých je pak prodává Šroubky i matice jsou lisovány – vylisování krabičky šroubků trvá 1 minutu, krabička matic je lisována 2 minuty Výrobky jsou pak baleny – krabička šroubků 1 minutu, krabička matic 4 minuty [krabička] [krabička] Šroubky – x 1 Matice – x 2 LIS 1 min 2 min BALENÍ 1 min 4 min Firma má k dispozici 2 hodiny času pro lisování a 3 hodiny času pro balení výrobků 2 hodiny 3 hodiny 120 min 180 min 1 x 1 2 x 2 1 x 1 4 x  Vzhledem k poptávce je třeba vyrobit alespoň o 90 krabiček šroubů více než matic POPTÁVKA: šroubků stejně nebo více než matic + 90 POPTÁVKA x1x1 x2x2  1 x 1 -1 x 2  90 krabiček Z technických důvodů nelze vyrobit více než 110 krabiček šroubů ŠROUBKY1 x 1  110 krabiček0 x 2 + Nelze vyrábět záporné množství výrobků NEZÁPORNOST x 1, x 2  0 Firma maximalizuje zisk z prodeje svých výrobků: - Z každé prodané krabičky šroubků má zisk 40 Kč - Z každé prodané krabičky matic má zisk 60 Kč ZISK 40 Kč 60 Kč 40 x 1 60 x 2 … max Kč +

26 © L&K26 Srovnání EM a MM Ekonomický model: Procesy –Výroba Š [KŠ] –Výroba M [KM] Činitelé –Čas na lisu [min.] –Čas balení [min.] –Poptávka [krabičky] –Max. KŠ[krabičky] Cíl –Maximální zisk [Kč] jednotky v EM jednotky v MM Matematický model: Proměnné –x 1 [KŠ] –x 2 [KM] Omezení –spotřeba ≤ 120 [min.] –spotřeba ≤ 180 [min.] –KŠ – KM ≥ 90 [krabičky] –KŠ ≤ 110 [krabičky] Účelová funkce –Maximální zisk [Kč]

27 © L&K27 3. Řešení MM Jednoduchou úlohu vyřešíme graficky: - zvolíme souřadnicový systém os x 1 a x 2 - znázorníme všechna omezení modelu - najdeme jejich průnik v prvním kvadrantu - znázorníme účelovou funkci - rovnoběžně ji posuneme tak, aby se dotkla průniku množin (shora nebo zdola) - v bodě (popř. bodech) dotyku účelové funkce a množiny přípustných řešení je optimální řešení

28 © L&K28 Osy x 1 a x 2 x1x1 x2x x x 2  x x 2  x x 2  x x 2  x 1, x 2  0 Množina přípustných řešení 40 x x 2  … max Z max OPTIMUM Obr. 1.3 − Grafické řešení úlohy LP (2) (1) (3) (4)

29 © L&K29 Optimální řešení zadané úlohy leží na průsečíku dvou hraničních přímek omezení (1) a (4): x 1 + 2x 2 = 120 x 1 = 110 Odtud je x 1 = 110, x 2 = 5 Bod optimálního řešení je tedy O≡[110, 5] Hodnota účelové funkce je po dosazení z = 40x x 2 40· ·5 = 4700

30 © L&K30 Ekonomický model ● Procesy –vyrábí se 110 krabi- ček šroubků –vyrábí se 5 krabiček matic Matematický model ● Proměnné x 1 = 110 x 2 = 5 ● Účelová funkce 40x x 2 = 4700 ● Cíl Max. zisku je 4700 Kč 4. Rozbor výsledků 1. Ekonomická interpretace

31 © L&K31 Omezení 1. x 1 + 2x 2 ≤ – (x 1 + 2x 2 ) = 0 2. x 1 + 4x 2 ≤ – (x 1 + 4x 2 ) = x 1 - x 2 ≥ 90 (x 1 - x 2 ) - 90 = x 1 ≤ – x1 = 0 Činitelé kapacita lisu je 120 min. kapacita lisu je celá vyčerpána kapacita balicí linky je 180 min. na balicí lince zbývá 50 min. krabiček šroubků má být alespoň o 90 více než krabiček matic krabiček šroubků je o 15 více než požadavek 90 maximum krabiček šroubků 110 vyrobí se jich přesně 110

32 © L&K32 2. Verifikace OŘ (1) Kapacita lisu je celá využita (2) Na balicím zařízení zbývá 50 minut (3) Je třeba vyrobit alespoň o 90 krabiček šroubků více než krabiček matic: x 2 = 5, tj. vyrábí se 5 krabiček matic, takže krabiček šroubků musí být alespoň 95: x 1 = 110, podmínka je splněna (4) x 1 = 110, krabiček šroubků se vyrábí přesně povolené množství

33 © L&K33 3. Analýza OŘ Jednodušší závěry vyplývají z grafického řešení na obr. 1.3 Např. změna pravé strany omezení (4) ze 110 na 116 posune hraniční přímku doprava a způsobí i změnu OŘ: x 1 = 116, x 2 = 2, z = 4760 Z obrázku je také zřejmé, že zvýšit hor- ní limit počtu krabiček šroubků nad 120 je zbytečné, protože omezení se stává redundandní

34 © L&K34 TYPICKÉ ÚLOHY LP Skupiny klasických úloh: - úlohy výrobního plánování - směšovací problémy - úlohy o optimálním dělení materiálu - distribuční úlohy Další aplikace: - úlohy finančního plánování, plánování reklamy, rozvrhování pracovníků, úlohy LP s podmínkami celočíselnosti (problém batohu, problém obchodního cestujícího, pžiřazovací problém) atd.

35 © L&K35 1. Úlohy výrobního plánování Úkolem je určit druh a množství výrobků, které se budou vyrábět z celkové nabídky Je třeba respektovat omezené kapacity Je třeba dodržet požadavky Cílem optimalizace bývá obvykle maxima- lizace zisku, tržeb nebo množství výrobků, popř. minimalizace nákladů apod. Proměnná označuje druh výrobku, její hodnota určuje množství vyráběného výrobku ve stanovených jednotkách

36 © L&K36 2. Směšovací problémy Obecně jde o vytvoření směsi požadova- ných vlastností Je dána nabídka složek (komponent) Je omezeno disponibilní množství složek Jsou určeny požadované vlastnosti směsi: –např. váha, obsah složky v %, obsah vý- živné látky Cílem je většinou minimalizovat náklady na vytvoření směsi Proměnné určují použité složky a jejich množství

37 © L&K37 Příklad 1.2 Hříbárna v Nišovicích u Volyně nakupuje na zimu krmivo: SENO a OVES Výživné hodnoty krmiv a požadované den- ní dávky pro jedno hříbě jsou v tabulce 1.2 Každé hříbě musí v krmné dávce denně dostat alespoň 2 kg ovsa Průměrná cena včetně dopravy činí 1,80 Kč za1 kg sena a 1,60 Kč za 1 kg ovsa Sestavte denní dávku krmení pro jedno hříbě tak, aby náklady byly minimální

38 © L&K38 POŽADAVKY Alespoň 6200 g Nejvýše 1150 g Nejvýše 5,35 g Alespoň 30 g Nejvýše 44 g Přibližně 7 g g / kgsenooves Sušina SNL53123 Škrob0,3480,868 Vápník61,6 Fosfor2,83,5 Sodík0,21,4 Cena1,801,60 Tab. 1.2

39 © L&K39 Formulujte MM úlohy LP: ?

40 © L&K40 Zadání vstupních údajů Obr. 1.4 – Vstupní tabulka

41 © L&K41 Optimální řešení Obr. 1.5 – Souhrnné výsledky

42 © L&K42 Optimální řešení: x 1 = 3,9 x 2 = 4,3 z = 13,82 INTERPRETUJTE VÝSLEDKY ? Analyzujte podle obrázku 1.5, jak jsou splněny jednotlivé podmínky úlohy ?

43 © L&K43 Interpretace:

44 © L&K44 3. Řezné problémy Jinak „Úlohy o optimálním dělení materiálu“ Řeší se problém dělení větších celků na menší části V LP jde o jednorozměrné celky (délka) –např. provazy, tyče, trubky apod. Je známa délka dělených kusů a jejich počet Je určena délka a počet požadovaných kusů Přitom je třeba respektovat požadavky na to, v jakém poměru mají vzniklé menší části být, kolik minimálně resp. maximálně jich má vzniknout, kolik je k dispozici větších kusů apod.

45 © L&K45 Cílem je většinou minimalizace odpadu, ale také minimalizace spotřeby materiálu nebo nákladů Každý větší celek lze na menší části rozřezat celou řadou způsobů – je známo nebo je třeba sestavit tzv. “řezné schéma” Procesem a tudíž i proměnnou je zde použití jednoho z možných způsobů dělení většího celku, hodnota proměnné ukazuje četnost jeho použití Úloha o dělení materiálu může být i vícerozměr- ná, tzn. dělení plošných nebo prostorových předmětů. V tomto případě již nejde o úlohy LP

46 © L&K46 Příklad 1.3 Na vnitřní dřevěné obložení chaty je třeba: –maximálně 120 ks prken délky 35 cm –180 až 330 ks prken délky 120 cm –alespoň 30 ks prken délky 95 cm Koupit lze jen prkna délky 4 metry Celkový odpad nesmí být větší než 360 cm Náklady na koupi prken musí být minimální

47 © L&K47 Řezné schéma Způsob cm cm cm Odpad Pozn.: Řezné schéma je vhodné uspořádat tak, aby způsoby řezání i nařezané kusy byly seřazeny podle velikosti

48 © L&K48 Formulujte MM úlohy LP: ?

49 © L&K49 Optimální řešení Obr. 1.8 – Souhrnné výsledky

50 © L&K50 Optimální řešení: x 1 = 60 x 7 = 2,5 x 9 = 10 x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = = x 8 = x 10 = x 11 = 0 z = 72,5 INTERPRETUJTE VÝSLEDKY

51 © L&K51 Interpretace:

52 © L&K52 KONEC


Stáhnout ppt "4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová."

Podobné prezentace


Reklamy Google