Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

1/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Petr Jedlička Jan Kočvara Jakub Strnad TECHNIKY VÝPOČTU IBNR A JEJICH APLIKACE V POJIŠTĚNÍ ODPOVĚDNOSTI.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "1/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Petr Jedlička Jan Kočvara Jakub Strnad TECHNIKY VÝPOČTU IBNR A JEJICH APLIKACE V POJIŠTĚNÍ ODPOVĚDNOSTI."— Transkript prezentace:

1 1/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Petr Jedlička Jan Kočvara Jakub Strnad TECHNIKY VÝPOČTU IBNR A JEJICH APLIKACE V POJIŠTĚNÍ ODPOVĚDNOSTI Z PROVOZU VOZIDEL

2 2/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Obsah prezentace Munich Chain-Lader (MCL) Regresní metody výpočtu rezerv (Probabilistic Trend Family – PTF) Simulační techniky k určení rozdělení IBNR Aplikace v pojištění odpovědnosti z provozu vozidla (POV) –Ilustrace použití metod na škodách způsobených nepojištěnými řidiči

3 3/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Trojúhelníková schémata Data –Pojistná plnění –Závazky –Počty událostí… Forma dat (v řádcích) –Kumulativní –Přírůstková Interpretace –Řádky: odpovídají období vzniku relevantní události –Sloupce: období zpoždění ve hlášení nebo plnění události od data vzniku  Diagonály: údaje pro jednotlivá kalendářní období Snahou je odhad dat pod aktuální diagonálou –Doplnění trojúhelníku na čtverec (obdélník) –Statistické metody, nejznámější je Chain-Ladder odhadovaná část známá data období vzniku zpoždění

4 4/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Standardní Chain-Ladder a jeho nedostatky Neuvažuje / neumožňuje: –Systematický vývoj podle roku vzniku –Odhadnout inflaci ve výši škod (vývoj podle kalendářního období) –Určit vedle bodového odhadu IBNR její pravděpodobnostní rozdělení  nelze spočítat interval spolehlivosti pro IBNR, medián atd. –Projekce vyplacených plnění (Paid) a celkových závazků (Incurred) často zcela odlišné Nevýhody z hlediska POV –V celém trhu POV je pozorován nárůst škod v čase převyšující inflaci (tzv. superimposed inflation) –Výrazný meziroční nárůst objemu škod u ŠU placených z GF ČKP

5 5/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Úvod k Munich Chain-Ladder Metoda vyvinuta aktuáry Münchener Rück –Odtud odvozen její název Rozšiřuje model T. Macka (1993) – stejné kalkulace variability vývojových faktorů Hlavní znaky –Pracuje zároveň s kumulativními trojúhelníky Paid i Incurred –Snahou je zmenšit rozdíly projekcí obou trojúhelníků –Úprava vývojových faktorů Standardního Chain-Ladderu (SCL) –Modelování závislostí mezi trojúhelníky

6 6/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Používané symboly pro MCL n…rozměr trojúhelníků a(i)…poslední známé období vývoje pro rok vzniku i P i,j …kumulativní hodnota vyplaceného plnění –pro rok vzniku i a zpoždění j I i,j …kumulativní hodnota celkového závazku = P i,j + odpovídající stav RBNS (P/I) i,j = P i,j / I i,j –i = 1,…,n; j = 1,…,a(i). –Trojúhelník podílů vyplacených plnění a celkového závazku (měl by konvergovat k 1)

7 7/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Vývojové faktory Standardní faktory Chain Ladder pro oba trojúhelníky: Průměrný poměr Paid a Incurred: –Dodefinujeme pro Při použití těchto projekcí SCL platí následující: –Grafická interpretace na následujícím grafu (Závislost poměru P/I na období vývoje): podíly projekcí Paid a Incurred nekonvergují k 1. –Nízká hodnota podílu ve známé části  také nízké hodnoty podílu predikcí

8 8/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Graf podílu Paid a Incurred Graf vlevo znázorňuje známá data včetně průměrných podílů Druhý graf je doplněn o podíly predikcí P/I dle SCL - Podíl Paid a Incurred nekonverguje ke 100%

9 9/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Hlavní myšlenka MCL metody Nízký podíl dosud vyplaceného plnění (Paid) z celk. závazku (Incurred), tj. (P/I) i,j  vyšší podíl plnění P i,j+1 /P i,j  je vhodné navýšit vývojový faktor  nižší podíl závazků I i,j+1 /I i,j  je vhodné snížit vývojový faktor Matematicky –Záporná korelace mezi oběma veličinami (P/I) i,j a P i,j+1 /P i,j –Možnost modelovat závislost pomocí regrese a následně vývojový faktor ze SCL upravit: Pro roky vzniku s nízkým podílem P/I dojde k urychlení vývoje  vyšší faktor u Paid trojúhelníku a naopak

10 10/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Problémy s implementací Není možné formulovat oddělené regrese pro každé období vývoje –Modely pak ovlivněny nedostatkem pozorování –Vysoká variabilita odhadů Lineární regrese není vhodná –Málokdy je vývojový faktor menší než 1 a nikdy není záporný –Možno proto modelovat hyperbolickou křivkou

11 11/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Řešení uvedených problémů Linearita regrese –Uvažovat závislost P i,j+1 /P i,j na (I/P) i,j namísto na (P/I) i,j Nedostatek dat a kvalita odhadů –Nebrat oddělené regresní modely pro každé období vývoje, ale uvažovat všechna data společně v jednom modelu –K tomu je nutná standardizace hodnot vysvětlující i vysvětlované proměnné  Nutné předpoklady o variabilitě a střední hodnotě –Predikce regresního modelu pak určují „korekce“ vývojových faktorů standardního Chain-Ladderu pro trojúhelník vyplacených plnění

12 12/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Technika standardizace Podobně jako závislost P i,j+1 /P i,j na (I/P) i,j lze uvažovat závislost I i,j+1 /I i,j na (P/I) i,j –Užitečné pro adjustaci vývojových koeficientů trojúhelníku Incurred –Stejné důvody pro standardizaci –Analogické předpoklady o variabilitě faktorů (T. Mack) Odhady parametrů obou regresí by měly vycházet kladné

13 13/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Předpoklady – Trojúhelník Paid Viz Thomas Mack (1993) Náhodná posloupnost P i :=(P i,1,P i,2,…,P i,n ) ’ Střední hodnota: Variabilita: –Označení: P i (j)=(P i,1,…P i,j ) ’ (tj. známá část procesu v okamžiku odhadu) Posloupnosti P x a P y jsou nezávislé pro x ≠ y Analogické předpoklady pro Incurred trojúhelník

14 14/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Komentář k předpokladům Předpoklad o střední hodnotě lze upravit: Úprava předpokladu o rozptylu:  Analogický předpoklad je ve speciálním případě modelů ELRF (Extended Link Ratio Family) odpovídající právě SCL

15 15/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Předpoklady – Trojúhelník Incurred Náhodná posloupnost I i :=(I i,1,I i,2,…,I i,n ) ’ Střední hodnota: Variabilita: –Označení: I i (j)=(I i,1,…I i,j ) ’ (tj. známá část procesu v okamžiku odhadu) Posloupnosti I x a I y jsou nezávislé pro x ≠ y Limitace –Neuvažují se (zatím) předpoklady o vztahu Paid a Incurred

16 16/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Předpoklady o závislostech V praxi znalost obou trojúhelníků Paid i Incurred P i,j, I i,j  Značení: –B i ={P i, ;I i } –B i (j)={P i (j); I i (j)}’ (známá část obou procesů v čase výpočtu projekcí) –Q i =P i / I i –Standardizovaná náhodná veličina X při znalosti C: Předpoklad základního vztahu MCL –Předpokládaná lineární závislost Paid vývojového faktoru na poměru I/P (ve standardizovaném tvaru)… udává sklon regresní přímky Předpoklad nezávislosti –Procesy B x a B y jsou stochasticky nezávislé

17 17/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Korekce vývojového faktoru Z předchozího vyplývá: Poznámky –Vývojový faktor MCL je přirozeně určen jako korekce faktoru SCL –Postup odvození ukázán pro Paid trojúhelník –Analogické principy i pro Incurred trojúhelník:

18 18/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Korelační koeficienty Označení –X …standardizované hodnoty podílů P/I resp. I/P –Y…standardizované vývojové faktory V předpokladech modelu uvedeno:  Dosazením dostáváme matematickou interpretaci koeficientů: –Standardizace hodnotu korelačního koeficientu neovlivní –„Rozumná“ situace

19 19/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Výpočty odhadů - variabilita Standardní odhady vývojových faktorů (viz dříve) Variabilita faktorů –Trojúhelník Paid –Trojúhelník Incurred Odhad : Odhad variabilit podílů Paid a Incurred –Paid: je odhadem –Incurred: je odhadem

20 20/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Tvar vypočtených residuí Teoretická veličinaVypočtené hodnoty

21 21/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Výpočty MCL vývojových faktorů Na základě vypočtených standardizovaných hodnot formulujeme regresní modely  Odhady parametrů pomocí MNČ  Odhady vývojových faktorů MCL  Odvození projekcí obou trojúhelníků pro j=a(i) pro ostatní j

22 22/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Aplikace metody MCL v POV ČKP aplikovala MCL na data –Vybraných členských pojišťoven –Garančního fondu Zkušenosti s metodou na datech členů –Očekávanou závislost veličin se ne vždy podařilo prokázat –K přiblížení výsledků projekcí obou trojúhelníků došlo jen částečně Analýza GF ČKP (přesněji ŠU způsobené nepojištěnými) –Podobně rozporuplné výsledky –Např. citlivost odhadů regresních parametrů na odlehlá pozorování

23 23/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Ukázka závislosti Grafy ukazují závislosti normovaných hodnot podílu P i,j+1 /P i,j na (I/P) i,j (všechna data, resp. data po vyloučení dvou odlehlých pozorování) Odhady parametrů: Citlivost na odlehlá pozorování je výrazná. Vynechání dvou pozorování způsobilo pokles korelace o 0,2 (!)

24 24/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Zhodnocení výsledků MCL Predikce založené na MCL –Při „správném“ charakteru závislostí: podobné odhady finálních projekcí nezávisle na typu trojúhelníku U SCL problém: –některé predikce Paid převyšují odhady Incurred – jiné jich nedosahují (viz graf) zvlášť často v pozdějších letech vzniku (extrém např. v posledním období vzniku, pokud např. (P/I) n,j ~ 0 pro j=a(n)) IBNR podle MCL může vyjít nižší než podle SCL (z Incurred trojúhelníku) –V našem příkladě škod nepojištěných cca. o 44% –Obecně ale platit nemusí

25 25/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Grafické srovnání projekcí SCL a MCL Podíl P/I u MCL konverguje ke 100% pro každý rok vzniku Dokonce i pro ta období vzniku, kde je dosud vyplacené plnění relativně zanedbatelné vůči závazku

26 26/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Přestávka

27 27/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Regresní techniky výpočtu rezervy Dynamické modely: Y i,j =b j *Y i,j-1 +e i,j, Var(e i,j )=  2 (Y i,j-1 )  –Y i,j kumulativní data (počty škod, plnění nebo závazek k období vzniku i a vývoje j) –Přímočaré rozšíření SCL metody –Speciálně  = 0 Metoda nejmenších čtverců  = 1 SCL metoda  = 2 –Zobecnění modelu: Y i,j = a 0 +a 1 *i+b j *Y i,j-1 +e i,j, Var(e i,j )=  2 (Y i,j-1 )  Zahrnutí vývoje podle období vzniku události Extended link ratio family model

28 28/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Popis PTF Modelu PTF = Probabilistic Trend Family Modelování vývoje pomocí trendů ve třech směrech –Accident (vývoj počtu nebo objemu škod mezi řádky trojúhelníku) i Důležitý u škod s neznámou expozicí (např. právě GF ČKP) –Development (vývoj mezi sloupci) j –Payment/Calendar trend (vývoj po diagonálách) t = i + j pomocí něj lze odhadnout tzv. superimposed inflaci Regresní model –Vysvětlující proměnné jsou „indikátory“ časových období –Vysvětlovaná proměnná je logaritmus přírůstkových nebo i kumulativních údajů počty událostí, plnění, závazky

29 29/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Specifikace regresního modelu Nejpodrobnější možný model: –Každý přechod v libovolném směru je modelován odlišným parametrem –Model je evidentně přeparametrizován (vysoká vysvětlovací schopnost, avšak přesto nevhodné pro predikci) –Odhady mohou být zatíženy velkou chybou –Špatně podmíněná matice X (LZ sloupce, X T X singulární) –Ukázka designové matice X takového modelu

30 30/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Poznámky k formulaci PTF Pro obecný PTF platí: Vývoj v libovolném směru lze převést na zbylé dva směry –Příklad: Následující dva modely jsou ekvivalentní –Stabilní shodné trendy a v accident a development = stabilní trend a v payment směru 2a

31 31/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Předpoklady o rozdělení plateb přírůstek trojúhelníku Normalita residuí v PTF modelu  Vztahy pro logaritmicko-normální rozdělení P i,j Rozdělení podílů

32 32/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Hledání vhodného modelu – 1. možnost Začínáme s popsaným „plným“ modelem –resp. modelem získaným forward krokovou regresí Použitý přístup: vytvářet podmodely sčítáním sloupců matice –CSS = Columns Sum Submodel –Pro období se stabilním J vývojem stačí jediný parametr trendu, např. –Rozdílné od myšlenky vypouštět nevýznamné parametry původního modelu Cíl: –Kompromisní model, který : přijatelně vysvětluje data, ale neobsahuje mnoho parametrů  např. model minimalizující AIC (Akaikeho informační kritérium)

33 33/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Hledání vhodného modelu – 2. možnost Postupujeme „zdola“ od jednoduchých modelů –Např. začínáme s modelem: Y i,j = a + b*i + c*j + e i,j V něm se předpokládá, že platí Y i+1,j – Y i,j ~ b, pro každé j a Y i,j+1 – Y i,j ~ c, pro každé i –Hledáním „zlomů“ ve vývoji grafů residuí vůči hodnotám i, j a t se pak dá odvodit, mezi jakými okamžiky uvažovat změnu parametru Např. model bude tvaru Y i,j+1 – Y i,j ~ c 0 pokud j < j 0 a Y i,j+1 – Y i,j ~ c 1 jinak. –K nalezení vhodného modelu pomůže i znalost okamžiku intervence jakýkoliv vnější vliv – legislativní, ekonomické změny apod. –Opět vhodnou mírou kvality výsledného modelu je AIC nebo modifikovaný koeficient determinace

34 34/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Postup tvorby modelů dle grafů residuí Graf průměrů residuí základního modelu proti zpoždění Zřejmý trend v grafu Růst residuí do 4. období vývoje (model trend podhodnocuje) Pak následuje pokles (model trend nadhodnocuje) Řešení:  uvažovat dva parametry pro development trend („zlom“ ve 4. období) V rozšířeném modelu nepozorujeme trendy v residuích

35 35/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Kumulativní vs. přírůstková data PTF model je možné aplikovat na kumulativní i přírůstková data Zehnwirth (1994, 1998) uvažuje logaritmus přírůstkových dat Nevýhody tohoto přístupu podle ČKP –Nulové hodnoty v pozdějších obdobích vývoje nelze logaritmovat –Případné nahrazení nulových hodnot „malými hodnotami“ zkresluje model –Občas náročné najít model s dobrou vysvětlující schopností Řešení –Někdy lze použít logaritmy kumulativních dat (nesmí ale být významná autokorelace residuí) –Obtížněji interpretovatelné odhady parametrů a teoretické zdůvodnění modelu

36 36/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Požadavky na výsledný model Jejich splnění důležité pro adekvátnost bootstrapu (viz dále) Dostatečná vysvětlovací schopnost –Při hodnotách R 2 < 0,85 narůstá při přechodu na nelogaritmované hodnoty rozdíl mezi střední hodnotou a mediánem (vysoká variabilita) Odstranění systematických složek z grafů residuí Nezamítnutí normality residuí –Shapiro – Wilkův test, –Normal Probability plot –Histogram residuí Nekorelovanost residuí –Durbinův – Watsonův test Pozor na multikolinearitu (i + j = t)

37 37/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Doplnění trojúhelníku na čtverec Výpočet lineárních předpovědí Y i,j včetně predikčních intervalů pro i, j splňující: – i+j > T – i <= T –T je poslední známé kalendářní období Přechod na původní (nelogaritmované) hodnoty –Předpokládáme splnění normality v logaritmovaném modelu –Použijeme vztah pro střední hodnotu a medián logaritmicko-normálního rozdělení –Potřebnou variabilitu odvodíme v logaritmickém tvaru z rozdílu: 97,5% kvantil – stř. hodnota ~ 2* směr. odchylka

38 38/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Zhodnocení implementace PTF metody Metoda je flexibilní –Lze jí uplatnit i na trojúhelníky z nejrůznějších důvodů neúplné –Z jednou vytvořeného modelu lze někdy vycházet i při další analýze –Rozmanité možnosti předpovídání Limitace metody –Předpoklad stejného vývoje plateb podle kalendářního období do budoucna (vývoj ve směru payment nemusí být stabilní) –Při predikci tail faktoru se uvažuje vývoj daný posledním parametrem i na další období vývoje Softwarová realizace –Software ICRFS (vyvinutý jedním z autorů metody Dr. B. Zehnwirthem) automaticky určí „nejlepší“ model a vše ostatní –Realizace ČKP (regresní modely vytvářeny manuálně) Regresní část: STATISTICA Simulační část: Excel, Mathematica

39 39/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Odhady rozdělení předpovědí Z předpovědí k dispozici : –Odhad střední hodnoty a kvantilů Zajímá nás: –Např. rozdělení součtu v neznámé části čtverce –Sice platí, že střední hodnota součtu = součet středních hodnot, ale pro kvantily žádná analogie neplatí Řešení použité ČKP –Bootstrap na základě lineárních předpovědí z modelu v logaritmickém tvaru získáme odhad střední hodnoty, směrodatné odchylky (předpokládáme normalitu a také nezávislost) – viz požadavky na regresní model –Opakované generování takto určených náhodných veličin a následné součty realizací (součty odlogaritmovaných hodnot)  Získáme empirické rozdělení součtu (plnění, závazku nebo počtu událostí)  Pravděpodobnostní meze např. pro IBNR

40 40/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Aplikace PTF metody a simulací v ČKP 1.Odhady IBNR Garančního fondu ČKP Nezjištění Nepojištění Problém Neznámá velikost „kmene“ těchto motoristů Stálý nárůst počtu událostí i objemů způsobených škod 2.Analýzy IBNR členských pojišťoven 3.Analýzy agregované IBNR celého trhu  Ve všech případech poskytl vhodně zvolený PTF model velmi dobré výsledky

41 41/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Aplikace PTF pro GF ČKP – „nepojištění“ Analýza pomocí objemů škod nedala přijatelné výsledky –Nízké R 2 (pouze cca. 72%)  přes splnění normality residuí predikce nepoužitelné v praxi –Nerealisticky široký predikční interval po odlogaritmování Možné řešení –Přechod k analýze počtu pojistných událostí pomocí PTF –R 2 výsledného modelu 89% –Regresní diagnostika neindikuje nesplnění předpokladů –Odhad celkového plnění a IBNR proveden pomocí vývoje průměrné PU

42 42/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Příklad tvorby modelu Porovnání výsledků modelu z kumulativních i přírůstkových dat Tvorba kumulativního modelu –Odhadnutí okamžiků změny vývoje  Grafy logaritmovaných hodnot vůči směrům Accident – stabilní růst do 10. období, pak pokles Development – zlom vývoje ve 3. období Payment – stabilní růst

43 43/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Formulace kumulativního modelu Odhady parametrů Obdobným postupem hledání zlomů v grafech residuí jsme odvodili podrobnější model: Stále systematický vývoj v grafech residuí  např. zřejmý zlom ve vývoji residuí podle roku vzniku

44 44/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Hledání modelu - pokračování Nakonec formulován model se šesti parametry –Ten byl následně zredukován o nevýznamné parametry –Byl přidán parametr popisující payment trend. Výsledky konečného modelu včetně grafů vývoje residuí:

45 45/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Srovnání výsledků obou přístupů Kumulativní –Součet predikcí: –Součet diagonály  Očekávaný přírůstek –R 2 = 0,935 –DW = 1,08  corr = 0,454 (!) –Normalita: Přírůstkový –Součet predikcí: –Součet diagonály  Očekávaný přírůstek –R 2 = 0,886 –DW=1,68  corr = 0,157 –Normalita:  Na základě těchto výsledků jsme se rozhodli pro přírůstkový model. (Nicméně v jiných případech byl kumulativní použitelný)

46 46/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Další simulační technika Vyvinuta firmou Deloitte Rozšiřuje možnosti softwaru na výpočet rezerv Cros Poskytuje podobné informace o empirickém rozdělení jako bootstrap používaný ČKP

47 47/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Stručný popis techniky Vychází z projekcí získaných SW Cros: –Standardní Chain Ladder –Vyhlazení vývojových faktorů různými křivkami –Bornhuetter – Fergusonova metoda –Kredibilitní přístup… Vlastní simulace v Excelu (odvolává se na struktury Crosu) Myšlenka generování scénářů –Náhodné prohazování vypočtených residuí a nové výpočty projekcí

48 48/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Princip simulací Doplnění trojúhelníku na čtverec Zpětné určení vyhlazených hodnot ve známé části trojúhelníku –Protažení vývojovými faktory od diagonálních hodnot nazpátek Přechod od kumulativních hodnot na přírůstková data –U původních i zpětně vyhlazených trojúhelníků Výpočet residuí –Odečtením přírůstkových trojúhelníků pozorovaných a očekávaných hodnot

49 49/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Použitá standardizace residuí Uvažují se standardizovaná residua – Snaha o zdůvodnění –Uvedený postup smysluplný, pokud je rozptyl přímo úměrný stř. hodnotě –To se sice předpokládá (se zpožděním) u ELRF modelu, ale pro kumulativní data Y i,j Regresní model Y i,j+1 =b j *Y i,j +e i,j+1, Var(e i,j+1 )=  2 (Y i,j+1 ) (*) je ekvivalentní SCL a také var(Y i,j+1 | Y i,j )=  2 (Y i,j ) –Teď se předpokládá přímá úměra pro přírůstková data X i,j+1 =Y i,j+1 – Y i,j –Odvození Var(X i,j+1 | Y i,j ) za platnosti modelu (*)

50 50/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Zhodnocení uvažované standardizace Odvodili jsme: Standardizace by byla v pořádku, pokud:  Nepodařilo se najít zdůvodnění použitého přístupu standardizace V dodaných materiálech žádná interpretace standardizace residuí nebyla uvedena.

51 51/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Další postup – prohazování residuí Trojúhelník možno rozdělit na několik oblastí –Residua jsou pak prohazována uvnitř daných oblastí –Tím vytvářeny „nové“ průběhy vývojového trojúhelníku  nový výpočet vývojových faktorů  pomocí nich protažen původní trojúhelník  zahrnutí případného tail faktoru  scénáře ultimates  opakováním empirické rozdělení ultimates

52 52/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Otevřené otázky a problémy Jak volit uzavřené oblasti s odděleným prohazováním dat? –Věcná interpretace rozdělení trojúhelníku na oblasti je obtížná –Snaha, aby uvnitř oblastí byly splněny předpoklady o shodných rozptylech residuí –Problém s určením oblastí pro oddělené prohazování residuí Rozdělení residuí v rámci oblastí –Nejsou nutné žádné apriorní předpoklady o jejich rozdělení –Předpokládá se Uvnitř každé oblasti residua nezávislá Namísto generování z odhadnuté distribuce prohazování empirických residuí „Prohazování“ probíhá s vracením (možnost opakování stejných residuí)  Postup obtížně interpretovatelný (zvláště při malé velikosti oblastí)

53 53/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Numerické srovnání prezentovaných metod Předpovědi IBNR nepojištěných –Standard Chain Ladder (SCL) = 100% –Intervalové odhady PTF 1 nepoužitelné (Model vycházející z výše škod) –Model PTF 2 dává přijatelné výsledky intervalového odhadu (Přírůstkový model počtu pojistných událostí) –MCL kvůli nesplnění předpokladu závislosti IBNR nerealisticky podceňuje –Následuje grafické srovnání

54 54/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Grafické porovnání výsledků metod

55 55/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Použité prameny  Zehnwirth: Probabilistic Development Factor Models with Applications to Loss Reserves Variability, Prediction Intervals and Risk Based Capital, 1994  Barnett, Zehnwirth: Best Estimes for Reserves, 1998  Mack: Distribution–free Calculation of the Standard Error of Chain Ladder Reserve Estimates, 1993  Quarg, Mack: Munich Chain Ladder, 2004  Cros manual

56 56/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Děkujeme za pozornost


Stáhnout ppt "1/56 Seminář z Aktuárských věd, UK MFF - ZS 2004/2005 Petr Jedlička Jan Kočvara Jakub Strnad TECHNIKY VÝPOČTU IBNR A JEJICH APLIKACE V POJIŠTĚNÍ ODPOVĚDNOSTI."

Podobné prezentace


Reklamy Google