Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

MHJ 1- Textilní metrologie

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "MHJ 1- Textilní metrologie"— Transkript prezentace:

1 MHJ 1- Textilní metrologie
Dana Křemenáková Jiří Militký Katedra materiálového inženýrství Technická Univerzita v Liberci Zelené nadpisy-opakování pojmů

2 Předmět metrologie Metrologie • Teorie měření
nauka, která se zabývá měřením a jeho vyhodnocením • Teorie měření – obecné postupy a filosofie • Chyby měření – typy, modely • Měřící přístroje – přesnost, správnost, kalibrace, – porovnání měření z více přístrojů • Návrh experimentů – plánování experimentů, třídění, analýza rozptylu • Zpracování výsledků – filtrace, komprese, analýza jedno a vícerozměrných dat, kalibrace interpretace výsledků

3 Metrologické instituce I

4 Metrologické instituce II

5 “In theory, reality and theory are the same. In reality, they are not
Metody poznání Tradice - Zde se lidé drží pravdy, o níž vědí, že je pravdou, protože se jí drží, poněvadž ji vždy znají jako pravdu. Současné poznatky ukazují, že lidé často lpí na svých názorech i tváří v tvář jasně odporujícím faktům. Autorita - Metoda pevně stanoveného názoru podpořená autoritou. Tato metoda má přednost před metodou tradice, protože lidského pokroku, byť i pomalého, lze jejím aplikováním dosáhnout. Intuice (metoda a priori) - Důvodem její nadřazenosti je zřejmost předpokladu, že tvrzení, akceptovaná "aprioristy", jsou "ve shodě s rozumem". Tato tvrzení jsou "v souladu s rozumem" a ne nutně se zkušeností. Věda - Vědecký přístup má vlastnost, kterou nemá žádná jiná metoda získávání poznání: sebe korekci. Spolehlivějšího poznání se dosahuje pomocí vědy, protože věda se nejvíc dovolává důkazu: tvrzení jsou podrobována empirickému ověřování.

6 Soudobá věda Základní představou je, že skutečnost, realita má svou hlubinnou strukturu, která určuje chování předmětů a působení sil a která není na první pohled postižitelná, zjevná. Úkolem poznání je odhalit tyto skryté vrstvy, vytvořit teorii, která by vysvětlovala i sféru vnímatelného a pozorovatelného. Tato představa je běžně chápána jako cesta dosahování vědecké pravdy. Z druhé strany však má tento přístup i určitá omezení, která vyplývají z nebezpečí libovolného počtu hlubších úrovní, postulování tzv. "skrytých" parametrů a nových teoretických entit, představujících v podstatě vysvětlení pomocí hypotézy ad hoc. V současné vědě je postulována zásada zachování jevů, což v podstatě znamená formulování teorií, které by neodporovaly intuitivním představám o jevech. V experimentálních vědách je to požadavek, aby vědecké teorie nebyly ve sporu s pozorováním.

7 Data a věda Data nejsou prioritní vzhledem ke všem teoretickým předpokladům, ale spíše existuje symbióza mezi teorií a daty. Teorie má hlavní úlohu v určování: co může být měřeno nebo jinak pozorováno především jako data která data jsou relevantní jak jsou výsledky měření zpracovávány jak jsou data interpretována jak jsou interpretovaná data legitimně používána při konstrukci a konfirmaci teorií V typických případech jsou některé teoretické předpoklady dostatečně dobře stanoveny, ale vždy vzniká nutnost určitých dodatečných předpokladů, které mohou být naopak podporovány daty.

8 Měření Měření je přiřazování čísel (číslic) k atributům objektů, osob nebo jevů podle jistého klasifikačního pravidla pravidla (spolehlivost a správnost pravidla musí být ověřitelná). Čísla přiřazená k objektům/jevům musí odrážet vztahy mezi nimi [izomorfismus (stejnorodost) - vztah mezi objekty, který v nějakém smyslu ukazuje shodnost jejich struktury] Škálovací pravidlo představuje systematický vztah mezi dvěma systémy: systémem reálných čísel a datovým systémem f = {(x, y); x = nějaký objekt, y = číslo} "Funkce f nebo pravidlo shody je rovna množině uspořádaných párů (x, y), v nichž x je objektem a každé odpovídající y je číslem." (a = b) nebo (a # b), [ a= b) a (b = c)], pak (a = c). [a > b) a (b > c)] pak (a > c).

9 Kalibrace - vytvoření vztahu mezi požadovanou veličinou (špatně
Základní pojmy I Kalibrace - vytvoření vztahu mezi požadovanou veličinou (špatně měřitelná) a měřenou veličinou, (snadno měřitelná). Dvě fáze: vytvoření modelu, ověření modelu. Adjustace - nastavení přístroje tak, aby měřil správně (pomocí etalonů, testů atd.) Zkoušení - konkrétní činnost směřující k poznání vlastností materiálů a výrobků Certifikace - písemné úřední ověření nebo osvědčení (ověření shody) osvědčení pomocí certifikátu, že výrobek nebo služba jsou ve shodě s požadavky určitých norem nebo technických podmínek Zabezpečování jakosti - dle ISO, ASME atd. Auditorství - činnost, při které se ověřuje schopnost (způsobilost) vykonávat určitou práci

10 Základní pojmy II Q TQ Akreditace - oficiální uznání, že zkušební nebo kalibrační laboratoř, certifikační orgán nebo inspekční orgán jsou způsobilé provádět určité zkoušky nebo určité druhy zkoušek, kalibrační, certifikační nebo inspekční činnosti Akreditační orgán - řídící orgán spravující systém akreditace a udělující akreditace v příslušné zemi jeden stát - jeden akreditační orgán (ČIA - Český institut pro akreditaci) Ověřování - potvrzení zkoumáním a poskytnutím objektivního důkazu, že specifikované požadavky byly splněny (v laboratoři verifikace způsobilosti zkušební techniky) Validace - potvrzení platnosti zkoumáním (potvrzení souhlasu s postupem prováděné zkoušky)

11 Standardy měření

12 Základní jednotky SI Standardní kilogram je blok platinum-iridia
Délka – 1 m je 10-7 vzdálenost mezi severním polem a rovníkem 1 m je vzdálenost mez značkami platino-iridiové tyče Dnes: 1 m je vzdálenost, kterou urazí světlo za 1/ vteřin Hmotnost- 1 kilogram (kg) Standardní kilogram je blok platinum-iridia uložený v Severs Čas - 1 vteřina (s) 1 s = oscilací světla emitovaného atomy Cesia 133

13 Prototypy základních jednotek SI

14 Normy

15 Normy – instituce a úřady

16 Signál kalibrace a zpracování
Měřicí přístroje Čidlo (princip, auto diagnostika,) Zesílení (signál, regulační zásahy) Přenos (sběr dat, kalibrace) Signál kalibrace a zpracování Senzor Fyzikální proměnná

17 Textilní metrologie Standardně, jádrem je realizace měření :
Návrh experimentu Realizace experimentu Vyhodnocení experimentu Interpretace výsledků Nové cíle: Komplexní jakost (produkty, procesy) Řízení procesů Projektování výrobků Předpovídání a optimalizace průmysl laboratoře obchod

18 Textilní normy – přehled I

19 Textilní normy – přehled II

20 Vitruvian man metrology

21 Technický experiment Skládá ze čtyř etap: návrh experimentu
provedení experimentu ze zpracování dat interpretace výsledků. Nejslabším článkem je stále úroveň zpracování dat. Výsledky jsou často ve formě neúplných nebo nepřímých informací, např. kvalita a koncentrace částice je monitorována jejím spektrem.

22 Úrovně měření Úroveň měření CHARAKTERISTIKY Příklad Poměrová
(kardinální) Čísla jsou jednotky s ekvivalentními intervaly ve vztahu k přirozené nule Vzdálenost, věk, čas, váha, koncentrace Intervalová Ekvivalentní intervaly mezi hodnotami bez vztahu k přirozené nule-nereprezentují absolutní kvantitu Kalendářní roky, IQ teplota v °C pořadová ordinální Čísla označují pořadí pozorování Stupnice tvrdosti, bolest, omak , stálosti nominální Číslice reprezentují názvy kategorií (klasifikace) Pohlaví, národnost technologie, typ

23 Vlastnosti stupnic Konstanty A, B E(AX ± B) = A E(X) ± B
Konstanty A, B D(AX ± B) = A 2 D(X) stupnice vlastnosti dovolené matematické operace transformační invariabilita poměrová pořadí ekvidistance přirozená nula Všechny X' = aX kde (a 0) Invariantní při multiplikativní transformaci. intervalová Sčítání, odčítání. Násobení a dělení pouze intervalů. X' = a + bX kde (b 0) a = počátek škály, b = jednotky měření Invariantní při lineární transformaci. pořadová Agebra nerovností. X' = f(X) [kde f(X) = monotónně stoupající funkce]. Invariantní při monotónní transformaci. nominální pouze identifikace prvků/tříd Žádné (pouze počty v rámci tříd) X' = f(X) [kde f(X) = odpovídá vzájemné substituci].Invariantní při vzájemné jednoznačné transformaci.

24 Omezení stupnic měření
stupnice význam omezení nominální Různé hodnoty representují různé typy proměnné ["3" je jiný typ atributu než "1"] Hodnoty nelze uspořádat dle velikosti. pořadová Různé hodnoty indikují různou míru a vyšší hodnoty representují větší míru atributu ["3" je více než "1"] Vzdálenost mezi čísly neodpovídají realitě. [nelze říci o kolik více má jeden atribut než druhý] intervalová Eekvivalentní vzdálenosti mezi čísly representují ekvivalentní diference v realitě. ["3"je více atributu než "1„ jako je "5" více než "3"] Stupnice nemá absolutní nulu  [nelze říci kolikrát více atributu má jeden objekt/jev než druhý] poměrová Nula znamená úplnou absenci atributu, poměr mezi dvěmi hodnotami koresponduje s realitou. ["3"je 3 krát více atributu než "1"] žádné

25 Škály

26 Výsledky měření Nevychýlená Vychýlená
Přesnost, reprodukovatelnost, opakovatelnost (Precision) Správnost, nevychýlenost (Accuracy) Žluté – výběry Zelená – celkový průměr Nepřesná Přesná Správná Nesprávná

27 Vhodný počet měření Statistická kritéria Přesnost měření
Součet náhodných veličin Přiblížení k normalitě

28 Opakovatelnost vs. reprodukovatelnost
Celkový průměr a rozptyl Opakovatelnost s2o (Repeatability) vyjadřuje variabilitu způsobenou přístrojem. Měří se jako variabilita opakovaných měření prováděných jedním operátorem na témže přístroji. Reprodukovatelnost s2r (Reproducibility) vyjadřuje variabilitu způsobenu operátory. Měří se jako variabilita opakovaných měření prováděných různými operátory na témže přístroji Počet operátorů j = 1..m, počet vzorků i = 1..n. Výsledek měření xij Průměr j tého operátora Reprodukovatelnost Opakovatelnost

29 Opakovatelnost vs. reprodukovatelnost limitní
Opakovatelnost – hodnota pod kterou leží absolutní hodnota rozdílu mezi dvěma výsledky měření získanými za stejných podmínek se zadanou pravděpodobností (0.95). Reprodukovatelnost – hodnota pod kterou leží absolutní hodnota rozdílu mezi dvěma výsledky měření prováděnými na stejných typech přístroje různými operátory v různých laboratořích získanými na stejném vzorku za stejných podmínek se zadanou pravděpodobností (0.95). Rozptyl v rámci laboratoře: s2w Často se předpokládá stejný Rozptyl mezi laboratořemi: s2L Opakovatelnost Reprodukovatelnost

30 Typy chyb

31 Teorie chyb Relace vstup výstup měřítko přesnosti měření P
měřítko správnosti S

32 Typy odchylek Absolutní odchylka Relativní odchylka Obecně:
korelační koeficient . . systematická odchylka . . náhodná odchylka . .„přesnost“ přístroje, limitní

33 Aditivní chyby I Chyby nulové hodnoty
Vyjadřuje třídu přesnosti přístroje Aditivní chyby I Chyby nulové hodnoty xL dolní limita pracovního intervalu xU horní limita pracovního intervalu R pracovní rozmezí xu - xL  Redukovaná relativní odchylka

34 Aditivní chyby II Práh citlivosti: vstupní hodnota xc, pro kterou je  = (100%) Chceme malé hodnoty  pro malé x (p  0.1 (0.05)). Spodní mez pracovního intervalu Omezené použití přístrojů ( jen pro velká x)!

35 Multiplikativní chyby
(nekonstatní přesnost) Chyby citlivosti: Třída přesnosti Mezní přesnost Absolutní odchylka

36 Kombinované chyby Třída přesnosti P1/P2:

37 Druhy odhadů chyb měření I

38 Druhy odhadů chyb měření II

39 Sčítání kvantilových chyb
Pro řadu rozdělení platí Pro sčítání kvantilových chyb pak je Obecné kvantilové chyby g2 je špičatost daného rozdělení. Kvantilové chyby však nelze obecně sčítat

40 Celková chyba měření Šíření chyb měření a) nezávislé chyby
b) lineárně závislé chyby

41 Dilema chyb Nejistota měření Míra toho do jaké míry je možné odhadnout skutečnou hodnotu měřené veličiny. (u chyb měření se naopak hodnotí jak přesně lze skutečnou hodnotu měřené veličiny odhadnout) Definice ‘chyby měření’: hodnota měřené veličiny mínus referenční hodnota “nepoznatelná” chyba: referenční hodnota je skutečná hodnota měřené veličiny (ta není známa a nelze ji přiřadit chybě měření) “poznatelná” chyba (měření) : referenční hodnota má známou velikost – např. standard (je možné ji přiřadit chybě měření)

42 Chyba kalibrace Kalibrované závaží Nepoznatelná chyba PDF kalibrace

43 mi odečtené hodnoty na dané váze
Chyba odečtu - vážení závaží mi odečtené hodnoty na dané váze Chyba vážení ev ev = mi- mkalib Poznatelná chyba váha

44 Interpretace nepřesnosti
Hmotnost = 50 ± 5 g Co znamená ± 5 ? Odhad rozmezí experimentátorem Polovina vzdálenosti mezi dílky stupnice Výběrová směrodatná odchylka :  Směrodatná odchylka průměru: m = /n 95% nebo 99% interval spolehlivosti Interval ± 2 nebo ± 3) Standardní nejistota: u Kombinovaná standardní nejistota: uc

45 Motto: „The only relevant thing is uncertainty - the extent of our knowledge and ignorance.“ [ Bruno deFinneti ] Nejistoty měření Hlavním cílem měření je kvantifikace měřených proměnných a odhad jejich nejistoty související s: principem měření, měřicím zařízením, operátorem, variabilitou měřeného materiálu, podmínkami okolí atd. Výsledky měření slouží k odhadu neznámé střední hodnoty  měřené veličiny x a její nejistoty související s modelem měření a externími vlivy. Ve statistickém smyslu (kdy je pravděpodobnost chápána jako limita relativní četnosti) je nejistota vyjádřena jako interval spolehlivosti parametru . V metrologickém smyslu (kdy je pravděpodobnost vyjádřena jako míra důvěry-víry) se nejistota vyjadřuje spíše jako nedostatek (omezení) znalostí než jako výsledek opakovaných měření.

46 Základní pojmy

47 Přímá měření Metrologie Statistická analýza Obecně
Odhad střední hodnoty Odhad nejistot A, B Odhad kombinované nejistoty Odhad rozšířeně nejistoty Přímá měření Statistická analýza Obecně Střední kvadratická chyba

48 Nejistoty typu A Střední hodnota

49 Nejistoty typu B (1)

50 Nejistoty typu B (2)

51 Nejistoty typu B (3)

52 Rozšířená nejistota Kombinovaná nejistota uc
Kombinace nejistot typu A a B založená de facto na předpokladech platnosti aditivního modelu měření a nezávislosti jednotlivých nejistot. Rozšířená nejistota U Formálně jde o pološířku 95 % ního konfidenčního intervalu střední hodnoty  pro případ normálního rozdělení Hlavní rozdíl od konstrukce intervalu spolehlivosti je zahrnutí neměřených nejistot typu B, tedy rozšíření celkové variability. Omezením je předpoklad nezávislosti zdrojů variability a normality.

53 Řada zdrojů chyb a nelineární transformace
Vstupy Nepřímá měření Řada zdrojů chyb a nelineární transformace Požadovaný výsledek měření je často nelineární funkcí přímo měřitelných veličin y Jsou známy odhady středních hodnot a rozptylů vstupů Taylorova linearizace

54 Nepřímá měření - analýza
Metrologie Statistická analýza a) Při odhadu střední hodnoty funkce y se volí silně zjednodušený předpoklad, že což obecně neplatí a) Určení z odhadů i = 1,...M b) Odhad rozptylu se provádí na základě Taylorova rozvoje (linearizace) b) Odhad rozptylu c) Konstrukce intervalu spolehlivosti pro y c) Rozšířená nejistota U (polovina 95 % ního intervalu spolehlivosti se počítá na základě předpokladu normality. Je známo, že nelineární funkce proměnných pocházejících z normálního rozdělení nemá normální rozdělení. Obyčejně je pak interval spolehlivosti asymetrický.

55 Komplikace způsobené nelinearitou
Nelineární transformace náhodné proměnné obecně změní její rozdělení a to se projeví ve vzniku závislosti rozptylu na střední hodnotě (pro normální rozdělení jde o nezávislost). Pokud má měřená proměnná x konstantní rozptyl 2(x) má výsledek zpracování (analýzy) y = f(x) nekonstantní rozptyl Průměr nelze odhadnout přímým dosazením průměru be do funkce f(x), tedy ex pro x Taylorův rozvoj

56 Příklady uc(y) Funkce: y = (x1a1 * x2 a2 * ... * xM aM)
Funkce: y = (x1+x2+...+xM) – korelované nejistoty Funkce: y = (x1+x2+...+xM) – nekorelované nejistoty r(xi,xk) korelační koeficient cov(xi,xk) kovariance

57 Grafický postup

58 Příklad I x1 nepřesnost kalibrace a =  1 C
Určení nejistoty měření rtuťového teploměru. Zdroje nejistoty - všechny jsou typu B tj. experimentálně neměřené: x1 nepřesnost kalibrace a =  1 C x2 nepřesnost konstrukce a =  0.1 C x3 nepřesnost odečtu teploty a =  0.25 C První dva zdroje jsou systematické pro daný teploměr a nelze je omezit opakováním měření. Předpokládejme rovnoměrné rozdělení pro všechny tři zdroje uB= 0,5774 a Nejistota uB1 = x = oC Nejistota uB2 = x 0.1 = oC Nejistota uB3 = x 0.25 = oC

59 Příklad I Kombinovaná nejistota – nekorelované zdroje
Rozšířená nejistota U = 2 uc = oC Kombinovaná nejistota – lineárně závislé zdroje Rozšířená nejistota U = 2 uc = oC Jsou tedy k dispozici rozšířené nejistoty pro dva krajní případy vztahu mezi zdroji nejistot měření

60 Typy měření Rozmezí analyzovaných dat se pohybuje v rámci jednoho řádu. To umožňuje použití standardních statistických metod založených na předpokladu konstantního rozptylu resp. aditivního modelu měření. Rozmezí analyzovaných dat se pohybuje v rozmezí několika řádů. Pak se může použít transformace stabilizující rozptyl nebo multiplikativní model měření. To vede k logaritmické transformaci dat. Nevýhodou logaritmické transformace je fakt, že při nízkých koncentracích je absolutní chyba měření velmi malá (blízká 0), což odporuje realitě.

61 Předpoklady o chybách:
Autokorelace Modely měření I Heteroskedasticita Aditivní model kde skutečná hodnota a je náhodná chyba s rozdělením Předpoklady o chybách:  ·   střední hodnota je nulová, ·   rozptyl je konstantní ·   chyby jsou vzájemně nezávislé ·   chyby mají normální rozdělení Pokud tyto předpoklady o chybách platí, že výsledky měření mají normální rozdělení. h(x)=ln(x) δ….. variační koeficient

62 Aditivní model porušení předpokladů
Vlivem vzorkování na jedné soustavě vzniká autokorelace I.řádu Zde ui je náhodná veličina s konstantním rozptylem Platí, že u0 = 0. Autokorelační koeficient  je korelační koeficient mezi dvojicemi xj a xj+1, V případě výrazné autokorelace dojde ke zvýšení rozptylu.

63 Odhad autokorelace lze považovat  za nevýznamný. y x
Autokorelační koeficient  se obyčejně odhaduje pomocí vztahu Orientačně platí, že pokud leží v intervalu lze považovat  za nevýznamný.

64 Modely měření II Multiplikativní model kde předpoklady o náhodných chybách jsou stejné jako pro adivní model Pokud platí, že má výsledek měření x lognormální rozdělení s parametry Geometrický průměr

65 Multiplikativní model -analýza
Šikmost 0.35 a vyšší ukazuje na nutnost použít tří parametrový model s prahovou hodnotou A Multiplikativní model -analýza Odhady parametrů Rozptyly Logaritmická transformace aditivních dat

66 Asymetrické rozdělení chyb
Pro odstranění asymetrie se často používá transformace h(x) . Ta však v případě platnosti aditivního modelu vede ke vzniku nekonstantního rozptylu Např. pro běžně doporučovanou logaritmickou transformaci h(x)=ln(x) vyjde To znamená, že místo konstantní absolutní chyby je v této transformaci konstantní relativní chyba (variační koeficient), což odporuje přijatému modelu měření.

67 Nesprávná transformace
Logaritmická transformace aditivního modelu S využitím Taylorova rozvoje lze psát Pro malé relativní chyby měření

68 Mocninná třída modelů I
Mocninná třída modelů měření je charakterizována tím, že transformací obou stran pomocí funkce h(.) vyjde aditivní model S výhodou se jako funkce h(.) požívá Box Coxova třída polynomických transformací ve tvaru kde je parametr transformace. Lze ukázat, že vhodným odhadem parametru je výběrový medián, který je invariantní vůči monotónní´transformaci

69 Mocninná třída modelů II
S využitím Taylorova rozvoje je Pro případ, že rozptyl je malý jde o aditivní model s nekonstantními chybami, pro který lze použít jako odhad vážený aritmetický průměr s vahami úměrnými  

70 Odhad lambda Maximalizace
Pro odhad parametru je možno použít metodu maximální věrohodnosti. Pokud je rozdělené v souladu s předpoklady aditivního modelu měření (normalita a nezávislost) má logaritmus věrohodnostní funkce tvar Pro pevné lze určit maximálně věrohodný odhad Maximalizace Minimalizace rozptylu v transformaci

71 Rozlišení mezi modely Asymptotický % ní interval spolehlivosti
Všechna splňující tuto nerovnost leží v intervalu spolehlivosti a jsou tedy přijatelná pokud obsahuje 95% ní interval spolehlivosti také jedničku, volí se aditivní model. pokud obsahuje 95% ní interval spolehlivosti nulu a nikoliv jedničku, volí se multiplikativní model. v ostatních případech je možné zvolit obecný model

72 CV Kombinovaný model I x Kombinovaný model měření zahrnuje oba předchozí typy kde se předpokládá, že obě chyby mají normální rozdělení Zjednodušující předpoklad Potvrzeno pro případ sledování úrovně pesticidů v rozmezí 1 ppb až 100 jednotek (Horowitzova trumpeta)

73 Kombinovaný model II Kombinovaný model v logaritmické transformaci a rozvoj do Taylorovy řady 1. pro hodně malé vyjde aditivní model v logaritmech s nekonstantním rozptylem 2. pro hodně malé resp. pro srovnatelné chyby a a velké vyjde aditivní model v logaritmech s konstantním rozptylem rovným Rozptyl měření

74 Měřicí přístroje 2 . . . rozptyl měřicího přístroje
 rozptyl měřeného materiálu Citlivost měřicích přístrojů

75 Kombinace prvků Sériová Paralelní Kompenzační vazba
Kompenzační vazba je případ vážení!

76 Moduly Přepočet délkových jednotek na fyzikální Obyčejně
Modul mx [J / d] násobení

77 Porovnání dvou měřicích přístrojů
Mějme dva měřicí přístroje a a b pro měření téže veličiny x. O měřené veličině předpokládáme, že má normální rozdělení N(, 2) Přístroj a měří se systematickou chybou (vychýlením ) Ba a chyby měření a mají normální rozdělení N(, a2) Přístroj b měří se systematickou chybou (vychýlením ) Bb a chyby měření b mají normální rozdělení N(, b2) Modely měření: Přístroj a Přístroj b

78 Nekorelované chyby měření
Pak platí Kovariance mezi výsledky dvou přístrojů je tedy rovna rozptylu měřené veličiny

79 Zpracování dat Měření na stejných vzorcích (yi ,zi ) i = 1..N. Standardním způsobem lze určit a kovarianci Odhad variability měřeného materiálu 2 je Rozdíl systematických odchylek Odhad chyby měření pro přístroj a Odhad chyby měření pro přístroj b Pro odhad střední hodnoty musíme znát alespoň jedno vychýlení nebo předpokládat, že jedno vychýlení je zanedbatelné. Např. Ba = 0.

80 Testy I Porovnání přesnosti přístrojů: tj. oba přístroje jsou stejně přesné Pomocné veličiny Snadno se určí, že Pro korelační koeficient platí, že

81 Testy II Test hypotézy je shodný s testem hypotézy Za předpokladu normality lze pak použít testovací statistiku Veličina T má za předpokladu platnosti hypotézy Ho Studentovo rozdělení s N - 2 stupni volnosti. Pomocí proměnné v lze testovat hypotézu , což odpovídá hypotéze o stejném vychýlení obou přístrojů S využitím standardního t testu lze dospět ke statistice Veličina Tv má za předpokladu platnosti hypotézy H0 Studentovo rozdělení s N - 1 stupni volnosti.

82 Testy III Test hypotézy, že je jeden z přístrojů přesný Pro případ hypotézy Pro případ hypotézy má testovací statistika tvar Veličina C0 má za předpokladu platnosti hypotézy H0 rozdělení 2 s jedním stupněm volnosti (platí, že )

83 Systém experiment I NE PE VE C PV D doplňková měření nebo nový návrh.
C splňuje experiment zadané cíle? D doplňková měření nebo nový návrh.

84 Systém experiment II NE (návrh experimentu)
·      specifikace účelu experimentu ·      určení měřených veličin ·      strategie výběru vzorků ( rozmístění experimentálních bodů) PE ( provedení experimentů) metrologie ·      výběr metody ·      výběr měřícího zařízení a jeho kalibrace ·      organizace měření a sběru dat ·      zajištění reprezentativních výsledků

85 Systém experiment III VE ( vyhodnocení experimentů)
·      základní zpracování dat ·      modelování ·      optimalizace PV ( prezentace výsledků) ·      přesnost výsledků ·      porovnání se známými fakty ·      interpretace a zobecnění.

86 Aditivita rozptylu Nezávislé zdroje Závislé zdroje
Lineárně závislé zdroje Dva zdroje od do Chyby přístroje

87 Budování statistických modelů
Výsledek y, rozptyl celkový σ2C Ovlivňující faktory A, B,C.. Model f(A,B,C..) Model měření y = f(A,B,C) + e E chybový člen s rozptylem σ2e Rozptyl objasněný modelem σ2m = σ2C - σ2e Pokud je σ2e dostatečně malé ve srovnání s σ2C je model významný ANOVA – významnost faktorů A, B, C a kombinací Regrese – významnost modelové funkce f(.)

88 Volba umístění dat y y Co největší rozmezí vysvětlujících proměnných
Malá variabilita je častou příčinou malé významnosti Pokud možno rovnoměrné rozdělení dat (proti DOE) x x y y x x

89 Historie I 1920-1930 Fisher „Rothampsted
Experimental Station. Sledování výnosů polí (plot), různě ošetřených (treatment). ANOVA – sledování parametrů a jejich kombinací na výsledek. Box - Wilson plánování experimentů při sledování mechanismů jevů. Response surface design: Snadnost určení (ortogonální plány) Minimální počet experimentů Lineární regresní modely (lineární plány). Pro složitější modely již nevyhovují

90 Historie II 1958 Kiefer matematická teorie plánování experimentů. Efektivnost odhadů regresních parametrů. Teorie lineární regrese. D- optimální plány minimalizace konfidenčního elipsoidu spolehlivosti regresních parametrů 1975 Taguchi optimalizace jakosti b2 b1 Výhody: - efektivní metody návrhu experimentů (využití měření) - jednoduché statistické zpracování (výpočet odhadů)

91 Využití DOE Hledání optimálních podmínek (analýzy, reakcí, okolí). RMS (response surface methodology) – říditelné faktory Taguchi – optimalizace jakosti – říditelné a poruchové faktory Zlepšování statistických vlastností (ne)lineárních modelů (řekněte mi hodnoty parametrů a já navrhnu optimální plán pro jejich odhad). Zpřesňování odhadů Diskriminace mezi modely Tvorba empirických modelů Regrese

92 DOE pro a proti Výhody Nevýhody Klasické plány-jen omezené využití
Optimální plány – obecné regresní modely DOE pro a proti Výhody - minimální náklady na experiment - snadné výpočty (ručně) - automatizovaný výběr modelů Nevýhody - Pro každý model je jiný optimální plán - Datově závislé modely Není zajištěna robustnost ani predikční vlastnosti

93 Rozdíly I x x x x x x x x x ANOVA Regrese

94 4 2 Rozdíly II 1 3 Viskozita = funkce (teplota, doba skladování). V=f(T,S). Dvě úrovně (-,+) Regrese ANOVA kód S T ST -- - + -+ +- ++ T- T+ S- V-- V-+ S+ V+- V++

95 Rozdíly III kód S T ST -- - + -+ +- ++ T- T+ S- V-- V-+ S+ V+- V++
T- T+ S- V-- V-+ S+ V+- V++ Hlavní efekt faktoru S: MS=(HS-DS) Dolní průměr DS=(V-- + V-+)/2 Horní průměr HS=(V+- + V++)/2 Hlavní efekt faktoru T: MT=(HT-DT) Dolní průměr DS=(V-- + V+-)/2 Horní průměr HS=(V-+ + V++)/2 Interakce MI=(V-- + V++)/2 - (V-+ + V+-)/2

96 Analýza reálných dat Chyby z různých zdrojů a experimentální šumy,
Parazitní proměnné Falešné korelace Komplexita efektů Neaditivita Interakce efektů Nelinearita

97 Příklad Ia Výhody plánování pro zlepšení přesnosti odhadů.
Úkol: zvážit dva předměty na dvou miskových vahách. Skutečné hmotnosti jsou V1a V2. Vážení probíhá s konstantním rozptylem σ2 Model měření Indikátory přítomnosti na miskách F1 a F2 Klasický postup: postupné vážení na jedné misce -1 1

98 Příklad Ib Řešení Rozptyly odhadů
Tyto rozptyly jsou rovny rozptylu měření. Je možné snížit rozptyl odhadů pod tuto mez ?

99 Příklad Ic optimální vážení
Zvážení obou předmětů najednou (1), na každou misku jeden předmět a dovážení do rovnováhy (2) Rozptyly odhadů Tyto rozptyly jsou rovny polovině rozptylu měření Přesnost odhadu hmotností se tedy zdvojnásobila

100 Vlastnosti materiálů „Vnitřní“ vlastnosti (V)
Snadno objektivně určitelné - měřením Týkají se substance (existují objektivní standardy). Zpracovatelské vlastnosti (Z) Souvisí s konkrétním zařízením, výrobou Vlastnosti produktů (P) Složité hodnocení - subjektivní Týkají se také tvaru a velikosti (orientace…) U textilních výrobků je vysoká citlivost na způsob zpracování Vlákna: pro stejné chemické složení lze variací podmínek zpracování (zvláknění) změnit vlastnosti (to souvisí se změnami fyzikální struktury - orientace, krystalinity, ..) Změny vlastností v čase: * degradace* relaxační procesy* opotřebení

101 Vlastnosti textilií Geometrické (tvar, objem, porózita, povrchový reliéf ) Fyzikální (měrná hmotnost, jemnost) Chemické (povrchové napětí, rozpustnost, bobtnání) Mechanické (statické, dynamické, jednoosé, víceosé) Tepelné (teploty přechodů, tepelná kapacita, tepelná vodivost) Transportní (transport vlhkosti, tepla, vzduchu) Elektrické (elektrický odpor, dielektrická konstanta) Povrchové (adheze, smáčivost, absorpce) Jde většinou o kombinaci fyzikálně chemických faktorů. Z hlediska fyziky jde o speciální typ měkkých materiálů

102 Fyzikální charakteristiky
Řada vlastností se vyjadřuje pomocí fyzikálních charakteristik (veličin) fyzikální veličina = numerická hodnota * jednotka Jednotka: referenční veličina pomocí níž se vyjadřují další veličiny Dynamický (absolutní) systém jednotek délka [cm], hmotnost [g], čas [s] odvozené jednotky: síla [dyn = g.cm.s-2] energie [erg = dyn.cm = g.cm2.s-2] teplota [K] Koherentní systém - nejsou třeba násobné konstanty pro přepočet: (1969  SI, 1973  standard ISO 1000).

103 Systéme international d‘unités SI
7 základních jednotek Systéme international d‘unités SI délka metr [m] hmotnost kilogram [kg] Čas sekunda [s] elektrický proud ampér [A] teplota kelvin [K] látka mol [mol] svítivost kandela [cd] síla [N = kg.m.s-2] napětí [Pa = N.m-2 = kg.m-1.s-2] energie [J = N.m] dle typu jevu [N.m = J = V.A.s = W.s  107erg] Odvozené jednotky Doplňkové: (úhly)

104 Kategorie fyzikálních veličin I
Extenzivní Úměrné velikosti sledovaného systému (hmota m, objem V, entalpie H, entropie S) S2 = S1 + S0  m2 = m1 + m0  V2 = V1 + V0 Hodnoty extenzivních vlastností dílčích systémů se sčítají. Intenzivní Nezávisí na velikosti sledovaného systému, ale určují jeho „kvalitu“ = intenzitu (teplota t, tlak p, hustota , napětí ). Hodnoty intenzivních vlastností dílčích systémů se „průměrují“ s ohledem na složení m2 = m1 + m0  1V1 + 0V0 = 2V2  2 = (1V1 + 0V0) / V2 Intenzivní veličiny jsou téměř vždy podílem extenzivních

105 Kategorie fyzikálních veličin II
Specifické Jedná se o veličiny extenzivní vztažené na jednotku hmoty (měrný objem, měrné teplo) Hodnoty specifických vlastností dílčích systémů se opět „průměrují“. Molární Jedná se o veličiny extenzivní vztažené na jednotku množství látky [mol] Jsou důležité pro predikci vlastností ze sloožení polymerních řetězců V řadě případů: Energie = extenzivní x intenzivní mechanická = protažení . tahová síla = objem . tlak = plocha . povrchové napětí tepelná = entropie . teplota elektrická = náboj . potenciál

106 Systémy jednotek

107 Násobky a podíly Násobky sekund (pouze) nejsou desítkové.
10 18 exa E deci d 10 15 peta P centi c 10 12 tera T mili m 10 9 giga G mikro u mega M nano n 10 3 kilo k piko p 10 2 hekto h femto f 10 1 deka da atto a Násobky sekund (pouze) nejsou desítkové.

108 Základní odvozené jednotky
1. Frekvence hertz Hz s -1 T-1  2. Objemová hmotnost kg m-3 [M L-3] hustota  3. Síla newton N kg m s-2 [M L T-2]  Jednotka kg f je síla vyvolaná hmotností 1kg v gravitačním poli Země (g = 9.81 m s-2)  4. Tlak pascal Pa N m-2 [M L-1 T-2] napětí  (bar Pa)  5. Práce joule J N m [M L2 T-2] energie  6. Výkon watt W J s-1 [M L2 T-3]

109 Speciální textilní jednotky I
A. Jemnost (lineární hmotnost, číslo) Kruhový průřez: Při stejné jemnosti mají vlákna s větším menší poloměr!! přímé systémy „ J “ - čím vyšší J, tím hrubší nepřímé systémy „ J* “ - čím vyšší J*, tím jemnější Čm, Ča Metrické číslo Anglické číslo

110 Jemnost vláken jemná = 1 dtex extrajemná = 0,5 dtex
Superjemná = 0,1 dtex Chemická vlákna jemnost kolem 1–5 dtex Jemnost vláken vlákno tloušťka d [µm] typická T [dtex] bavlna (S.I.) 10 1 bavlna (Indie) 18 3 vlna (merino 22 5 vlna (Asie) 43 19 přírodní hedvábí 12 1,6 len (fine) len (coarse) 27 7 Měrná hmotnost většiny vláken je od 900 do 1600 kg/m3. Keramická vlákna až 4000 kg/m3 , kovová vlákna od 2000 do kg/m3 a uhlíková vlákna od1600 do 2100 kg/m3. Jemnější vlákna: ohebnější, nižší tuhost, větší povrchová plocha (soudržnost), stejnoměrnější příze

111 Speciální textilní jednotky II
B. Měrná síla Další jednotky C. Napětí Čím větší , tím menší FS při stejném . D. Tržná délka l B délka kdy, se vlákno samo přetrhne

112 Speciální textilní jednotky III

113 Základní pojmy pravděpodobnost I
Jev A, byl sledován v m pokusech. Nastal celkem ma krát. Relativní četnost výskytu je Klasická definice pravděpodobnosti: „pro m je fA = P(A) pravděpodobnost výskytu jevu A“.Platí pro statisticky stabilní jevy, kdy pro m konverguje fA ke konstantě P(A).

114 Základní pojmy pravděpodobnost II
Diskrétní náhodná proměnná: nabývá pouze jistých hodnot xi = 0, 1, 2, ... K. Pravděpodobnostní funkce P( X = i ) udává pravděpodobnost s jakou X nabývá hodnoty právě xi. Nechť ni je počet realizací při hodnotě "xi" a N je celkový počet realizací. Pak Platí, že P(X=i)= 1

115 Základní pojmy pravděpodobnost III
Spojitá náhodná proměnná: nabývá libovolné hodnoty x z definičního intervalu. P(x  X  x + dx)  f(x) dx Tedy pro spojité náhodné veličiny P(X=x) = 0 Hustota pravděpodobnosti f(x) není pravděpodobnost, ale platí pro ní Normalizační podmínka  f(x) dx = 1

116 Základní pojmy pravděpodobnost IV
Hustota pravděpodobnosti f(x) (probability density function) Vlastnosti f(x): 1.    kladná f(x) 0 2.     normalizovaná  f(x) dx = 1  Distribuční funkce F(x) (cumulative density function). Vlastnosti F(x): 1.    Ohraničená zdola F(-) = 0, a shora F( ) = 1 2.    Neklesající F(xdx)  F(x) 3.    P(X  x) = F(x) Platí, že P(x1 X < x2) = F(x2) - F(x1)

117 Základní pojmy pravděpodobnost V
 Kvantilová funkce Q(u) pro 0u1. Q() = označení -kvantil . Platí, že P(X  ) =  Kvantilová funkce je inverzní k distribuční = Q(u) = F-1(x).

118 Základní pojmy pravděpodobnost VI
Speciální momenty: Střední hodnota (matematické očekávání) M1 = E(X) =  První centrální moment C1 = 0 Rozptyl C2 = D(X) = 2 Vlastnosti střední hodnoty: E(X)  M1() Konstanty A, B E(AX ± B) = A.E(X) ± B Vlastnosti rozptylu: D(X) = C2 = 2 D(X) = E((X - E(X))2 = E(X2 - 2  X  E(X) + E(X)2) = E(X2) - E(X)2 Konstanty A, B D(AX ± B) = A 2 D(X)

119 Binomické rozdělení Binomické rozdělení B(N,p))
Binomické rozdělení má náhodná veličina X vyjadřující počet výskytu jevu A (příznivý výsledek) v N nezávislých pokusech. Pravděpodobnost výskytu jevu A (příznivý výsledek) v jednom pokusu je p a jevu (nepříznivý výsledek) je q = 1 - p. Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce xp je počet příznivých jevů v nezávislých pokusech Střední hodnota: E(X) = N p Rozptyl: D(X) = Np(1 - p)

120 Poissonovo rozdělení Poissonovo rozdělení Po() má náhodná veličina X, která je rovna počtu jevů v daném časovém nebo prostorovém intervalu Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce Střední hodnota E(X) = Rozptyl D(X) = kde je aritmetický průměr počtu jevů v daném časovém nebo prostorovém intervalu

121 Normální rozdělení Normální rozdělení N((, 2):
Normované normální rozdělení UN(0,1) P(  U  1.65 ) = 0.90 f(2) = 0.05 P(  U  1.98 ) = 0.95 f(3) = 0.04 P( -3  U  3 ) = f(4) = Normální rozdělení Normální rozdělení N((, 2): Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce Střední hodnota: E(X) = Rozptyl: D(X) = 2 Šikmost: Špičatost: = xi N

122 Matematická statistika
Populace X vzorkování Výběr {xi} i=1,...N f(x, , 2, g1, g2) Symbol "" označuje odhady parametrů nebo hustoty pravděpodobnosti z dat. Bodové odhady Parametr a, odhad je náhodná proměnná. Vychýlení odhadu Pokud je b = 0 jde o nevychýlený odhad. Rozptyl odhadu je charakterizací "přesnosti odhadu"

123 Normální rozdělení Parametr odhad rozptyl Parametr odhad rozptyl

124 Intervalové odhady "IS": interval obsahující se zadanou pravděpodobností (1-) parametr a. (1 - ) koeficient konfidence, statistická jistota (0.99, 0.95)  hladina významnosti ( = 0.01, 0.05) větší N  užší IS větší 2  širší IS větší   užší IS

125 Konstrukce IS data xi ... N(, 2)
Platí pouze pro normální rozdělení ! Konstrukce IS data xi ... N(, 2) Studentovo rozdělení, d.f. = N - 1 Chí-kvadrát rozdělení, d.f. = N - 1 f(t) v=5 t v=100 v=2

126 Interpretace IS 95% interval spolehlivosti.
správná interpretace “95% confidence” se týká četnosti jevu A Jev A: P(A) = 0.95  95% všech intervalů spolehlivosti obsahuje µ.

127 Testování hypotéz I Hypotéza: předpoklad o rozdělení a jeho parametrech (H) Testování: rozhodnutí o H na základě informací z výběru  H0: základní (bázová) hypotéza HA: alternativní (přijatá, když nelze přijmout H0)  Testovací statistika: T(x1,...xn)  f(T)

128 Testování hypotéz II Chyba prvního druhu []: H0 platí, ale nebyla testem přijata Chyba druhého druhu []: H0 neplatí, ale byla testem přijata A R T 1- F 1-

129 Rozdíly mezi CI a testy hypotéz
Při testech hypotéz je rozdělení centrováno na hodnotě testovaného parametru (Ho) Testovaný parametr Střední hodnota Rozdělení pro testy hypotéz Výběrové rozdělené měření

130 Ke konfliktnímu závěru dochází, když je např
Ke konfliktnímu závěru dochází, když je např. výběrové rozdělení měření nesymetrické Konfliktní závěry Střední hodnota měření 90 ti procentní interval spolehlivosti zde vede k opačnému závěru než výsledek testu hypotézy o střední hodnotě Dolní mez 90 CI Výběrové rozdělení Nulová hypotéza Rozdělení pro testy pravděpodobnost méně než 5 %

131 Škály měření: A. Nominální ( jmenná) B. Ordinální ( pořadová)
C. Kardinální ( číselná) Uspořádání dle množství informací o měřených znacích. Škála vyššího typu zahrnuje škály předcházející.

132 Nominální škála a1 ..... a2 . . . a k počty prvků
K kategorie n n n k absolutní četnosti Nominální škála Nejslabší typ Operace: určení různosti resp. rovnosti ( ) a1 = a2 a1  a2 Relativní četnosti Rozložení souboru na disjunktní části, mezi kterými nejsou žádné relace. Třídy (části) mohou být libovolně pojmenovány. (Čísla = jména). Vhodné pouze pro klasifikaci objektů. Požadavky:·     jednoznačnost zařazení, existence, rozlišitelnost        Relativní četnost f - odhad pravděpodobnosti p Interval spolehlivosti

133 Zpracování dat 66 výrobků: pravděpodobnost nevyhovujícího 0.15
Testy pravděpodobnosti (podílů) Nulová hypotéza: Testová statistika : Alternativní Hypotézy Oblast nepřijetí Jde o binomické rozdělení a musí platit 95% of výběrových podílů leží v tomto intervalu.

134 Zpracování dat Relativní četnost f - odhad pravděpodobnosti p
Testy pravděpodobnosti (podílů) Nulová hypotéza: Testová statistika : Alternativní Hypotézy Oblast nepřijetí Jde o binomické rozdělení a musí platit

135 Ordinální škála a1 ..... a2 . . . a k počty prvků
k kategorie n n n k absolutní četnosti Ordinální škála a) Určení různosti a nerovnosti  = b) Určení vztahu větší/menší   kumulativní četnosti Dohoda: od nejslabšího Příklad: stupnice jakosti k nejlepšímu. Obecně bodování nebo známkování   Stálosti ( ) Světlo ( ) Vzhled ( ) Nevyhovující A Podprůměrná 1 B Průměrná 2 C Dobrá 3 D Vynikající 4 E

136 Charakterizace rozdělení
Poloha: 1. Mediánová kategorie ( kategorie, kde je 50 % dat) ME FME - 1  0.5  FME  0.5 2. Medián ordinálního znaku Kde c je část dat mediánové kategorie zařazených k horní polovině

137 Vlastnosti ordinálního mediánu
Hodnota ukazuje posun 50 %-ního dělícího bodu, čím je vyšší, tím se data koncentrují ve vyšších kategoriích.

138 Charakterizace rozdělení
Variabilita: Diskrétní ordinální variace dorvar Vlastnosti pro případ, že pro případ, že Čím více jsou rozptýlená data, tím je dorvar větší

139 Interval spolehlivosti pro populační medián Med
Kumulativní četnosti Pro Určení kategorie D, kde leží Určení kategorie H, kde leží Výpočet korekcí Interval spolehlivosti

140 Příklad Subjektivní hodnocení omaku textilie (100 dívek) třída ni fi
třída ni fi Fi Nevyhovující 1 2 0.02 Podprůměrný 5 0.05 0.07 Průměrný 3 25 0.25 0.32 Dobrý 4 48 0.48 0.80 Vynikající 20 0.2 Medián:

141 Znaménková a preferenční data
Zhoršení Neutrální Zlepšení - + n-, f- n0, f0 n+, f+ Tři stavy Asymetrie přirozená Asymetrie vzhledem ke krajům A* = 1 případ f + = 1 A = 1 případ f - = 0 A* = -1 případ f - = 1 A = -1 případ f + = 0 A = 0 případ f - = f + A* = 0 případ f + = f - A  0 převaha + A*  0 převaha + A  0 převaha - A*  0 převaha -

142 Interval spolehlivosti pro A
( N  30 n -, n +  5) Interval spolehlivosti pro A Neparametrický postup

143 Příklad Vliv změny střihu na pocity při nošení u 48 respondentů. + - n
+ - n 17 21 10 f 0,354 0,438 0,208 Nedošlo k výraznému zlepšení!

144 Většina užitných vlastností je v kardinálních škálách.
Kardinální škála Nejsilnější typ (číselná proměnná) - metrika. Jsou přípustné aritmetrické operace. Intervalová škála Určená s přesností do lineární transformace Y=c.x+b. Příklad: měření teploty. Poměrová škála má přirozený pořádek (b = 0) a je určena s přesností do proporcionální transformace Y = a.x Příklad: fyzikální měření (délka, hmotnost, pevnost,...) Většina užitných vlastností je v kardinálních škálách.

145 Problémy reálných dat (Ne - ) normální rozdělení,
(Ne - ) homogenita –vybočující hodnoty, (Ne - ) konstantní rozptyl, (Ne - ) aditivní model měření, (Ne - ) nulová autokorelace, (Ne - ) dostatečný rozsah, (Ne - ) určitost modelu, (Ne - ) formálnost parametrů, (Ne - ) aditivita, linearita

146 Zpracování dat Nekategorizovaná data {xi} i = 1, N je náhodný výběr     složený z nezávislých prvků     homogenní normálně rozdělený Ověření těchto předpokladů (viz ZED) Normalita: Q - Q grafy, vynáší se x(i) proti uPi, Pi = i/(N+1) Vybočující hodnoty: metoda barier (viz ZED)

147 1 normální 2 zešikmení vlevo 3 zešikmení vpravo 4 dlouhé konce 5 krátké konce Rankitové grafy Rankitové grafy QTS(Pi) = uPi kvantily normovaného normálního rozdělení. Aproximace  x(1) < x(2) < ... < x(N)

148 Odhady parametrů Poloha: Rozptýlení: průměr rozptyl s2
medián směrodatná odchylka s Variační koeficient Pro případ normálního rozdělení dat populační medián

149 Vybočující hodnoty Momentová metoda: pro vybočující hodnoty xj platí
, s* ..…odhady vypočtené z „čistých“ dat. g2*...… …… odhad šikmosti z „čistých“ dat Normalní rozdělení g2 = Kc = 1.89 Rovnoměrné rozdělení g2 = Kc = 1.77 Laplaceovo rozdělení g2 = Kc = 2.09

150 Klasická analýza s2 a 100 (1 - ) % má interval spolehlivosti střední hodnoty Variační koeficient v [%] a interval spolehlivosti pro  asymptoticky Účelem je odhad střední hodnoty měřeného parametru a jeho nepřesnost

151 Robustní analýza Medián , robustní odhad rozptylu sR2 a interval spolehlivosti pro populační medián Med Obyčejně se volí  = (u1 - /2 = 1.96). Pro interval spolehlivosti je

152 Extrémně malé výběry (N  20) Vždy vysoká nejistota  velký vliv vybočujících měření. N = Určí se z {x1, x2} %-ní IS Obecně se místo koeficientu 12.7 dává koeficient závislý na typu rozdělení N = Určí se odhad (průměr ze dvou nejbližších hodnot) 2. 95 %-ní IS pro  je

153 Extrémně malé výběry (N >4) Hornův postup: (pro malé výběry )
{xi}i-1,2,...N Pořádkové statistiky {x(i)} {1, 3, 2, 6, 1.5} {1, 1.5, 2, 3, 6} Hloubka pivotů: Dolní pivot: x D = x (H) Horní pivot: x U = x ( N + 1 -H ) Kvantily K0.975(N) pro různá N N K0.975(N) 4 0.738 5 2.094 10 0.668 15 0.466 Poloha Rozptýlení 95%-ní IS střední hodnoty

154 Příklad Měření pevnosti ba vláken.
xi  i = 1, 0.531, 0.677, 0.171, 0.065, 0.848 x(i)  0.065, 0.171, 0.531, 0.677, 0.848  

155 Kategorizovaná data Vznikají tříděním číselných údajů do intervalů, které jsou třídami nového znaku. Jednotlivým třídám přiřazujeme číselné hodnoty x j (střed intervalu,....). Diskrétní, kardinální, četností kategorizace, pseudo kategorizace. Třída xj nj fj Fj 22 50 0.2 24 80 0.32 0.52 26 72 0.288 0.808 28 48 0.192 1 Délka vláken N = 250

156 Třídy · přirozené číselné vyjádření (počet vad) · sloučení údajů
xi* třídní hodnota třídní interval délka třídy

157 Volba kategorizace Parametry: Nekonstantní délka tříd
Ekvi pravděpodobnostní princip. Universálně

158 Charakteristiky polohy
Geometrický průměr: (kladná data  velký rozsah) Charakteristiky polohy Me mediánová kategorie a) Konstantní x Medián b) obecně: Aritmetický průměr: pro

159 Charakteristiky rozptýlení
Směrodatná odchylka Charakteristiky rozptýlení Dorvar Rozptyl Vlastnosti: 1. s2 = všechna data v jedné třídě f i = 1 2.   Maximálně smax2 = ( xK* - x1*) / 4  f1 = fK = 0.5 3.   Čím větší s2 tím více se data vzdalují od

160 Charakteristiky asymetrie
Špičatost As = 0 symetrie As  0 zešikmené vpravo As  0 zešikmené vlevo

161 Nepřímá měření Měření xi i = 1, . . . N, sx2 Výsledek y = f (x)
„f ( . ) “ne-lineární známá funkce průměr-plocha Odhad , sy Taylorův rozvoj : v okolí

162 Příklad Měříme poloměr ri (i = 1, ..., N) a máme určit plochu příčného řezu ze znalosti , sr Obecně variační koeficient přesné měření nepřesné měření

163 Případ více proměnných
Měření známe Vektor průměrů běžně se zanedbává

164 Příklad Měření hmotností gi a délek Li vláken. Účelem je výpočet jemnosti při znalosti: Měření jsou nekorelovaná cov (g, L) = 0 Střední hodnota jemnosti souvisí pouze s přesností měření délky

165 Transformace dat Rozptyl měření Transformace y = g(x) Potřeba:
Stabilizace rozptylu Symetrie rozdělení Přiblížení k normalitě Předpoklad: ne-konstantní rozptyl, zešikmené rozdělení a ne normalita jsou důsledkem nelineární transformace x = F(y) původně normálních dat. Nelineární transformace vede vždy ke změnám rozptylu

166 Stabilizace rozptylu Výsledky měření mají rozptyl
Hledá se transformace y = g(x) pro kterou je rozptyl Taylorův rozvoj Optimální g(x) je řešení diferenciální rovnice Příklad: konst. relativní chyba měření Optimální je logaritmická transformace.

167 Normalizační transformace
Box - Coxova rodina transformací (kladná data) Předpoklad , že pro jistou mocninu lambda je y normálně rozdělené N(y, y2). Věrohodnostní funkce sy2 je výběrový rozptyl v transformaci. Optimální mocnina odpovídá maximu věrohodnostní funkce. Tato funkce se vynáší proti lambda ve vhodném rozmezí (standard -3 až 3).

168 Zpětná transformace Pro obě transformace je odhadem re-transformované střední hodnoty zobecněný průměr Při znalosti parametru transformace lze vyčíslit střední hodnotu E(x) původních dat jako nelineární funkci střední hodnoty T a rozptylu T2 v transformaci. fn(.) normální rozdělení Pro

169 Mocninná transformace
Pokud x mělo symetrické rozdělení s konstantním rozptylem x2,je rozdělení nesymetrické s nekonstantním rozptylem. Použití symetrizační transformace: P = aritmetický průměr P = harmonický průměr P = kvadratický průměr

170 Výpočty související s jemností I
N-tice úseků příze délky L o hmotnostech gi . Úsek N L má hmotnost g =  gi Běžný (nesprávný postup)

171 Výpočty související s jemností II
Symetrizační transformace

172 Výpočty související s jemností III
Přepočet jemností: P = 1 Opět je P = -1 Není vhodný aritmetický průměr aritmetický průměr

173 Příklad Tkalcovská příručka Příze tex, úkolem je odhadnout Čm
nesprávně vysoké rozdíl Taylor

174 KALIBRACE Typický problém při nemožnosti přímého měření
y nesnadno měřitelná (hledaná) veličina (T - target) Koncentrace, teplota, omak, vlhkost.  x snadno měřitelný signál (M - measurement ) Elektrické napětí, proud, vzdálenost,

175 Postup při kalibraci a) Sestavení kalibračního modelu
Kalibrační vzorky Nesnadná měření y1 y yn x = f(y) Snadná měření x1 x xn  b) Použití kalibračního modelu (výpočet predikce ) neznámý vzorek známé měření x y = f-1 (x)

176 Typy kalibrace C - kalibrace ( y . . . deterministické )
(nutná inverze při predikci ) I- kalibrace (x deterministické) (přímá predikce ) 0 - kalibrace ( obě proměnné jsou náhodné) (je třeba znát poměr rozptylů P) P = minimalizace kolmých vzdáleností

177 Modely působení poruch
aditivní multiplikativní obecné (mocninné)

178 Kalibrační přímka I Výchozí data ( yi, xi ) i = 1, ..., n
Standardní výpočty parametrů C - kalibrace MNČ odhad Predikce

179 Kalibrační přímka II I - kalibrace O - kalibrace
MNČ odhad (přímo predikce ) O - kalibrace Pro známé

180 Porovnání C a I kalibrace
Platí, že a) je blíže k centru než , b) pro je a , c) I - kalibrace lépe vystihuje chování dat v oblasti centra a C - kalibrace na krajích , d) pro je I - kalibrace lepší v oblasti

181 Příklad číslo měření výsledek y měření x 1 2 5 4 6,5 3 4,5 6,25 8 6 7
9 7,75 10,5 10 11 12,5 12 9,5 13 C - kalibrace I - kalibrace

182 Kalibrační přímky Ym=6.4808 Xm=8.6346 S2y=5.8590 S2x=6.0272
C(x,y)=5.5236

183 Výběr typu kalibrace Proměnná x (M) :
·      obyčejně dosti přesně stanovená (elektrická veličina), ·     x zahrnuje především neuvažované proměnné (teplota, . . .) x může být nekonstantní  Proměnná y (T): ·      určená z externích informací (jiné přístroje, etalony, ), ·      y zahrnuje chyby měření, ·      y je obyčejně rostoucí funkcí y. Poměr rozptylů P = y2 / x2 se může měnit v mezích (0, ). I- nebo C- na základě rozptylů nebo použití kalibrace.


Stáhnout ppt "MHJ 1- Textilní metrologie"

Podobné prezentace


Reklamy Google