FI-09 Mechanika tekutin II.

Prezentace na téma: "FI-09 Mechanika tekutin II."— Transkript prezentace:

1 FI-09 Mechanika tekutin II.

2 Hlavní body Úvod do mechaniky kapalin a plynů
Hydrodynamika ideálních kapalin Bernoulliho rovnice a její použití Hydrodynamika viskózních kapalin Vlastnosti Newtonovských kapalin Zákony: Newtonův, Poiseuillův a Stokesův Hydrodynamika krevního oběhu

3 Zachování energie I Bernoulliho rovnice vyjadřuje zákon zachování (hustoty) energie : V praxi se vyjadřuje několika způsoby, například v rozměrech délkových :

4 Odvození Bernoulliho rovnice I
Uvažujme dvě různá místa, ohraničující určitý úsek jednéné proudové trubice, která jsou popsána rychlostí vi, tlakem pi a výškou hi. Působením tlakových sil se určitý objem V se přemístí za čas t z prvního místa do druhého. Na oba objemy působí z vnějšku úseku tlakové síly opačné orientace Fi = Si pi. Práce, kterou vykonají tyto síly za t se musí rovnat přírůstku celkové energie daného objemu.

5 Odvození Bernoulliho rovnice II
Tedy : Po dosazení : Aplikujme rovnici kontinuity :

6 Odvození Bernoulliho rovnice III
Tento vztah, vyjadřující zachování energie, bývá zvykem vydělit V a přeskupit podle uvažovaných míst : Daniel Bernoulli , Švýcar Celková energie proudící kapaliny má tedy tři složky : tlakovou, kinetickou a potenciální.

7 Použití Bernoulliho rovnice I
Bernoulliho rovnice lze použít jako prvního přiblížení při řešení řady praktických problémů. Uvažujme například výtok kapaliny ze široké (nebo doplňované) nádoby malým otvorem umístěným v hloubce h pod hladinou. V Bernoulliho rovnici můžeme udělat několik úprav a zanedbání :

8 Použití Bernoulliho rovnice II
Oba tlaky jsou atmosférické : p1= p2. Vyjádříme hloubku: h = z1 – z2 Rychlost v1 můžeme zanedbat. Po zkrácení  a úpravě : Tento tzv. Torrichellio vzorec byl znám sto let před Bernoullim.

9 Použití Bernoulliho rovnice III
Není-li možné rychlost v1 zanedbat, použijeme rovnici kontinuity v1 = v2S2/S1 : Po zkrácení , zavedení hloubky a úpravě : (výraz má zjevně smysl jen pro S1 > S2)

10 Použití Bernoulliho rovnice IV
Uvažujeme-li místa o stejné výšce je z Bernoulliho rovnice patrná zajímavá vlastnost proudících tekutin a to, že v místech s větší rychlostí je nižší tlak. Na tomto principu je založena řada jevů od bouchání dveří v průvanu, přes střílení rohového kopu ve fotbale, po létání letadel. Protože jsou důsledky na první pohled překvapivé, je tento jev znám jako hydrodynamický paradoxon. Významné je jeho využití při měření rychlosti.

11 Použití Bernoulliho rovnice V
Pitotova trubice (potřebuje fajfku) : do měřené kapaliny jsou vnořeny dvě trubice, ústí jedné je kolmo, ústí druhé rovnoběžně s jejím proudem (fajfka) v2 = 0. v každé trubici vystoupí kapalina do výšky zi podle odpovídající tlaku pi = gzi při jejím ústí

12 Použití Bernoulliho rovnice VI
Venturiho trubice (potřebuje zúžení) : do měřené kapaliny jsou kolmo vnořeny dvě trubice, jedna v místě s průřezem S1, druhá S2. v každé trubici vystoupí kapalina do výšky zi podle odpovídající tlaku pi = gzi při jejím ústí

13 Použití Bernoulliho rovnice VII
Z obou rovnic : Pro rychlost v1 a průtok Q platí po úpravě :

14 Viskózní kapaliny I Při proudění reálných tekutin se sousední vrstvy ovlivňují tečným napětím, které závisí na vzájemné rychlosti vrstev a viskozitě tekutiny. Mějme tekutinu proudící ve směru osy x. Potom pro tečné napětí, čili napětí působící ve směru proudění, platí Newtonův zákon:

15 Viskózní kapaliny II  (éta) je tzv. dynamická viskozita
[] = kg m-1s-1 = Nm-2s = Pa s Starší jednotka Poise [P]=gcm-1s-1=0.1 Pas Převrácená hodnota se nazývá tekutost:  = 1/ Často se používá viskozita vztažená na hustotu, tzv. kinematická viskozita  = /

16 Viskózní kapaliny III Dynamická a kinematická viskozita některých kapalin:  [Pa s]  [m2/s] ETOH benzín rtuť olej voda

17 Viskózní kapaliny IV Viskozita :
snižuje průtok kapaliny (za daných podmínek) způsobuje, že rychlost v protékaném průřezu není konstantní, ale má určité rozložení, u krajů je minimální (nulová) a uprostřed maximální. Zkusíme ukázat, že v proudovém vlákně kruhového průžezu je rozložení rychlosti na vzdálenosti od osy parabolické.

18 Viskózní kapaliny V Mysleme si v laminárně a rovnoměrně proudící kapalině váleček o poloměru y. Na podstavy působí tlakové síly (p1 > 0, p2 < 0) plášť síla způsobená třením okolních vrstev. Pohybuje-li se válec rovnoměrně, musí být všechny síly na něj působící v rovnováze :

19 Viskózní kapaliny VI Předpokládejme, že p1 > p2 a kapalina se pohybuje ve směru růstu souřadnice x. Znaménko + znamená, že třecí sílu bychom považovali (jako obvykle) za kladnou, kdyby měla směr rychlosti. Protože první člen je kladný, musí být třecí síla záporná, čili brzdící a rychlost klesá směrem od osy.

20 Viskózní kapaliny VII Po zavedení p = p1 – p2 a úpravě :
Po integraci :

21 Viskózní kapaliny VIII
Uvažujeme-li trubici o poloměru r. Obdržíme hodnotu integrační konstanty k z okrajové podmínky v(r) = 0 : a celkově dostáváme parabolickou závislost :

22 Viskózní kapaliny IX Důležitou a snadněji měřitelnou veličinou je průtok. Celkový průřez musíme rozdělit na mezikruží o poloměru y, v nichž je vždy rychlost konstantní: Celkový průtok obdržíme integrací : To je známá Hagen-Poiseuillova rovnice.

23 Viskózní kapaliny X Stokesův zákon:
Na kuličku o poloměru r, která se pohybuje malou rychlostí v v kapalině působí brzdící síla F = 6rv Kulička o hustotě  bude po ustálení rovnováhy padat v kapalině 0 konstantní rychlostí vt :

24 Viskózní kapaliny XI Laminární proudění Za mezí Stokesova zákona :
brzdící síla je úměrná rychlosti rychlost je úměrná r2 střední rychlost vyplývající z H-P rovnice <v>=Qv/S je také úměrná r2 a tlakovému spádu Za mezí Stokesova zákona : Často je brzdící síla úměrná v2 : Fd = CdSv2 Cd je parametr, který závisí na tvaru

25 Viskózní kapaliny XII Pro posouzení, zda je proudění ještě laminární se používá tzv. Reynoldsovo číslo. pro kuličku o poloměru r, pohybující se rychlostí v pro kapalinu pohybující se střední rychlostí <v> v trubici o poloměru r platí : Pro R >1000 se považuje proudění za turbulentní (ve jmenovateli posledního výrazu je řecké  (ný), tedy kinematická viskozita!)

26 Dynamika krevního oběhu I
Krevní oběh je udržován srdcem. Levá část síň -> komora pumpuje krev do velkého (tělního) oběhu a pravá část do malého oběhu (plic). Krev v aortě : <v> = 0.3 ms-1 r = 0.01 m  = 1060 kg m-3  = Pa s R  970 proudění je těsně ještě laminární.

27 Dynamika krevního oběhu II
Ve velkých žilách proudí krev pomaleji, jen rychlostí <v> = 0.1 ms-1 a ve vlásečnicích dokonce jen rychlostí <v> = ms-1. Pomocí rovnice kontinuity můžeme odhadnout, že celkový průřez vlásečnic je 300 krát větší než průřez aorty velkých žil je 3 krát větší než průřez aorty

28 Dynamika krevního oběhu III
Podle H-P zákona je tlakový spád nepřímo úměrný čtvrté mocnině poloměru trubice. K největšímu spádu tedy musí docházet v arteriální sekci : aorta plicnice systola 16 kPa (120 torr) 3.3 kPa diastola 10.5 kPa (80 torr) 1.3 kPa

29 Dynamika krevního oběhu IV
Práce srdce bývá vyjadřována jako součet statické – objemové dodávající tlakovou energii kinetické – dodávající kinetickou energii odpovídající příslušné střední rychlosti : Pro střední hodnoty V = 70 ml a p = 13.3 kPa je Wo= 0.93 J a Wk= J, tedy W = 0.94 J

30 Dynamika krevního oběhu V
Práce pravé komory je asi jedna pětina práce komory levé. Celková mechanická práce srdce při jedné systole je tedy asi 1.13 J. Při tepové frekvenci 70 min-1 je výkon srdce přibližně 1.3 W. Tato hodnota představuje jen asi jednu desetinu celkového mechanického výkonu srdce. Převažující část se spotřebuje na udržování stálého napětí (tonusu) srdeční svaloviny.

31 Dynamika krevního oběhu VI
Celkový srdeční výkon je tedy 13 W, což představuje přibližně 13% celkového klidového výkonu organismu. Srdce ale funguje nepřetržitě řadu let. Za 60 let života vykoná práci 2.5 GJ, což je : 3 s výkonu Chvaletické elektrárny Vyzdvižení 30 t břemene na Mt. Everest