Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 15. PŘEDNÁŠKA.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 15. PŘEDNÁŠKA."— Transkript prezentace:

1 CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 15. PŘEDNÁŠKA Březen 2014 Lineární progr. - 5

2 Březen 2012 Další ….. METODY ŘEŠENÍ patřící do oblasti lineárního programování – 5, … ☺ POKRAČOVÁNÍ

3 systém s pouze dvěma proměnnými – tzv. dvourozměrné systémy. Řešení grafickou metodou geometrického vyjádření (znázornění) řešeného problému a postupu jeho řešení – včetně grafiky vyjá- dření omezujících podmínek. Metoda je vhodná pro systém s pouze dvěma proměnnými – tzv. dvourozměrné systémy. Březen 2011 Lineární programování – grafický způsob

4 dvourozměrných systémů jsou zobrazeny a řešeny pouze velmi jednoduché (a povětšinou neekonomické) případy. Nicméně dávají správný vhled do problema- tiky a tudíž usnadňují pochopení – i odvození – pro složitější (vícerozměrné) úlohy. Pomocí dvourozměrných systémů jsou zobrazeny a řešeny pouze velmi jednoduché (a povětšinou neekonomické) případy. Nicméně dávají správný vhled do problema- tiky a tudíž usnadňují pochopení – i odvození – pro složitější (vícerozměrné) úlohy. Březen 2011 Lineární programování – grafický způsob

5 Tedy i řešení dvourozměrných úloh je jednoduché a snadněji pochopitelné. Pro zobrazení takové úlohy postačuje klasic- ký kartézský souřadnicový systém s osami x a y zobrazujícími každá jednu z proměnných úlohy. Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob

6 K doplnění poslouží tento příklad: - jedna výrobna vyrábí sportovní potřeby - je vybrán jeden výrobek, který je balen a prodáván ve dvou různých baleních označe- ných písmeny A a B - na každé balení se spotřebuje různé množ- ství téhož balicího prostředku - ……. Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob

7 - zabalení každého z obou provedení trvá různý čas - z prodeje výrobku v těchto dvou různých baleních pak plyne různý zisk - každého z obou balení je k dispozici různý disponibilní počet kusů. Údaje a hodnoty jsou v tabulce: Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob

8 Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob spotřeba balicího papíru [m 2 ] spotřeba času [hod] zisk [Kč] výrobek č. 120,4500 výrobek č. 240,380 disponibilní množství

9 Matematický model: + maximalizuje se vztah z = 500 * x * x 2 + podmínky 2 * x * x 2 ≤ 900 0,4 * x 1 + 0,3 * x 2 ≤ 120 x 1 ≥ 0 a x 2 ≥ 0 + CO je řešením ??? Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob

10 PŘÍPUSTNÝM ŘEŠENÍM VŠEM podmín- kám PŘÍPUSTNÝM ŘEŠENÍM (pro n-rozměrnou úlohu LP) je každá n-tice [ x 1, x 2, x 3,... x n ] reálných čísel, která vyhovuje VŠEM podmín- kám zadané soustavy. Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob

11 NEPŘÍPUSTNÝM ŘEŠENÍM NEvyhovuje alespoň jedné podmínce NEPŘÍPUSTNÝM ŘEŠENÍM (pro n-rozměr- nou úlohu LP) je každá n-tice [ x 1, x 2, x 3,... x n ] reálných čísel, která NEvyhovuje alespoň jedné podmínce ze soustavy zada- ných podmínek. Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob

12 OPTIMÁLNÍM ŘEŠENÍM hodnota účelové funkce OPTIMÁLNÍM ŘEŠENÍM (pro n-rozměrnou úlohu LP) je takové přípustné řešení, při kterém nabývá hodnota účelové funkce z požadovaného extrému (tj. maximální nebo minimální hodnotu). Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob

13 V příkladu bude platit: * přípustné řešení - ŘEŠENÍ x 1 = 0, x 2 = 0 – tj. dvojice [ 0, 0 ], která po dosazení do obou podmínek jejich nerovnostem vyhovuje - nebo ŘEŠENÍ [ 10, 20 ], [ 300, 0 ] - ATD. Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob

14 * nepřípustné řešení - ŘEŠENÍ [ -5, 0 ]... nevyhovuje podmínce „kladných čísel“ - ŘEŠENÍ [ 200, 150 ]...nevyhovuje OBĚMA nerovnostem v zadání * optimální řešení - ŘEŠENÍ [ 210, 120 ]... je ale nutné jej nějakou metodou nalézt..... Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob

15 GRAFICKÁ REPREZENTACE Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Podmínka ve tvaru rovnosti Podmínka ve tvaru rovnosti - obsahuje dvě proměnné = je to přímka Podmínka ve tvaru nerovnosti Podmínka ve tvaru nerovnosti - obsahuje dvě proměnné = je to polorovina s hraniční přímkou

16 Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Rovnost 2 * x * x 2 = 6 x1x1 x2x2 [ 0, 2 ] [ 4, 0 ]

17 Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Nerovnost 2 * x * x 2 ≤ 6 x1x1 x2x2 [ 0, 2 ] [ 4, 0 ]

18 Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Nerovnost 2 * x * x 2 ≤ 900 x1x1 x2x2 [ 0, 225 ] [ 450, 0 ]

19 Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Nerovnost 0,4 * x 1 + 0,3 * x 2 ≤ 120 x1x1 x2x2 [ 0, 400 ] [ 300, 0 ]

20 Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Nerovnost x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0 x1x1 x2x2 1. kvadrant – obě poloroviny tvoří průnik, protože platí současně

21 Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Množina Přípustných Řešení = MPŘ x1x1 [ 0, 225 ] [ 450, 0 ] x2x2 [ 0, 400 ] [ 300, 0 ] MPŘ

22 GRAFICKÁ REPREZENTACE ÚČELOVÉ FUNKCE Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob z(x 1, x 2 ) = c 1 * x 1 + c 2 * x 2 Pro dvourozměrnou funkci má účelová funkce úlohy LP vždy tento tvar (kde z = hodnota účelové funkce) z(x 1, x 2 ) = c 1 * x 1 + c 2 * x 2 Jedná se o třírozměrnou funkci (x 1, x 2, z), která představuje rovinu ve třírozměrném prostoru.

23 Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob z = 500 * x * x 2 izoprofitovou přímkou. V praxi se bere pro konkrétní hodnoty dané úlohy v podobě rovnice zadané maximalizač- ní (případně minimalizační) rovnice – zde bude z = 500 * x * x 2 Hodnota účelové funkce pak bude (pro kon- krétní hodnoty) znázorněna izoprofitovou přímkou.

24 Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Izoprofitová přímka Izoprofitová přímka v podstatě pravo- úhlým průmětem průsečnice dvou rovin z(x 1, x 2 ) = c 1 * x 1 + c 2 * x 2 a roviny z(x 1, x 2 ) = konst. … zvolená hodnota předsta- vující konkrétní hodnotu účelové funkce do roviny (x 1, x 2 ) = konst. … tj. dvourozměrné. Izoprofitové přímky jsou rovnoběžné.

25 Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Množina Přípustných Řešení = MPŘ x1x1 z = 500 * x * x 2 [ z = 500 * x * x 2 ] x2x2 [ z = ] [ z = 0 ] [ z = ]

26 Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Množina Přípustných Řešení = MPŘ x1x1 x2x2 z průnik rovin

27 Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Při optimalizaci se izoprofitové přímky posouvají: pro maximalizaci … z(x) bylo co největší pro minimalizaci … z(x) bylo co nejmenší,

28 Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Optimální řešení bodem nelze Optimální řešení dvourozměrné úlohy LP je dáno bodem na izoprofitové přímce účelové funkce, který leží v MPŘ (je součástí množi- ny přípustných řešení) pokud již nelze izo- profitovou přímku účelové funkce posunout potřebným (požadovaným) směrem.

29 Březen 2011 Lineární programování – grafický způsob Optimální řešení ( x 1 *, x 2 * ) x2x2 x1x1 x2x2 Izoprofitová přímka účelové funkce při maximálním profitu x2*x2* x1*x1*

30 Lineární programování – grafický způsob Vyčíslení hodnot daného příkladu je dáno vyřešením soustavy rovnic: 2 * x 1 * + 4 * x 2 * = 900 0,4 * x 1 * + 0,3 * x 2 * = 120 a tedy x 1 * = 210 …… x 2 * = 120 Březen 2011

31 Lineární programování – grafický způsob Závěr: Optimální výroba daného předmětu prodáva- ného ve formě balení A a B nastane, pokud bude platit: balení A bude 210 kusů balení B bude 120 kusů. Celkový zisk pak bude: (500 * * 120) = Kč, což je ta izoprofitová přímka účelové funkce. Březen 2011

32 Nelineární programování - stručně Na doplnění, ještě pár slov k nelineárnímu programování… Březen 2013

33 Nelineární programování - stručně Nelineární programování je nadstavbou LP, která je nezbytná pro řešení řady prak- tických úloh. V reálu (což je přirozené a pochopitelné) není vše „lineární“ – a reálné systémy ne- mají tendenci zachovávat jednoduché lineární závislosti. Březen 2013

34 Nelineární programování - stručně Nelineární programování se zabývá řeše- ním třídy úloh operačního výzkumu v nichž omezující podmínky a účelová funkce jsou obecně nelineární. Březen 2013

35 Nelineární programování - stručně Lineární model (reality) je vlastně kompromi- sem mezi (do značné míry) omezenými vý- početními možnostmi, nespolehlivými pod- klady (výchozími znalostmi a informacemi) a požadavkem na přesné vystižení reality zkonstruovaným modelem. Takže lineární model je pouhou více či mé- ně přesnou a přijatelnou aproximací (obra- zem) skutečnosti. Březen 2013

36 Nelineární programování - stručně Lineární model v této formě aproximované reality může ztratit (a dosti často také ztrácí) některé rysy charakterizující či omezující či „určující“ vlastnosti nebo chování reality (modelované skutečnosti). Teorie a používané matematické přístupy a metody jsou pochopitelně složitější a kom- plikovanější. Březen 2013

37 Na doplnění, ještě pár příkladů k lineárnímu programování… Březen 2013 Lineární programování - příklady

38 Lineární programování, přes to co bylo v ně- kolika slidech poznamenáno, se v praxi velmi často používá při řešení široké oblasti dopravních a zásobovacích problémů, v ob- lasti dělení materiálů, v oblasti řešení obsa- zení skladových prostor, v oblasti dělení zá- sob, v oblasti řešení dodávek při nerovno- měrné spotřebě, v oblasti pokrytí daných činností omezeným počtem pracovníků,.……. Březen 2013

39 Lineární programování - příklady Na doplnění toho, co bylo k LP řečeno, tak ještě pár (více méně klasických) příkladů k praktickému použití metod lineárního pro- gramování ….. Březen 2013

40 Lineární programování - příklady Továrna vyrábí pánskou, dámskou a dětskou obuv a na jejich výrobu potřebuje tyto materi- ály a suroviny: Lepidlo [g] Kůže [dm 2 ]421 Cena za pár [Kč] Zásoba lepidla je celkem kg. Zásoba kůže je m 2. Březen

41 Lineární programování - příklady Továrna vyrábí boty a) využijte všechny zásoby – aby zbylo dále jen nepoužitelné množství b) získejte co největší příjem z prodané obuvi. Březen 2013

42 Lineární programování - příklady Řešení pro x 1, x 2 a x 3 vyrobených párů obuvi rovnice a) X € M 1 0 =x: 2x 1 +2x 2 +x 3 = x 1 +2x 2 +x 3 = b) X € M 2 0 =x: 2x 1 +2x 2 +x 3 = x 1 +2x 2 +x 3 = W(x) = 200*x *x *x 3 Březen 2013

43 Lineární programování - příklady Řešení pro množiny M je v rozmezí: M 1 (50000,100000, 0 ) M 2 (0, , 0 ) ………………….. Březen 2013

44 Lineární programování - příklady Jiný příklad – hledání optima pro úlohu představovanou vztahy: 4*x 1 + x 2 + 2*x 3 =< 10 x 2 + 2*x 3 =< 5 -2*x 1 - x 2 => -15 F = 5*x 1 + 3*x 2 + 2*x 3 = max Březen

45 Lineární programování - příklady Postup řešení: 1. Třetí vztah se násobí -1: -2*x 1 - x 2 = -15 /*-1 +2*x 1 + x 2 =< +15 Březen 2013

46 Lineární programování - příklady Postup řešení: 2. Přidají se další – přídatné proměnné: 4*x 1 + x 2 + 2*x 3 + x 4 = 10 x 2 + 2*x 3 + x 5 = 5 2*x 1 + x 2 +x 6 = 15 Což je normální tvar omezujících podmínek. Březen 2013

47 Lineární programování - příklady Postup řešení: 3. Protože je soustava v kanonickém tvaru, zvolí se za bázové proměnné právě ty přídatné proměnné x 4, x 5, x 6. A nebázové proměnné – zde všechny skutečné proměnné – se položí rovny 0. Řešením je vektor – řešení je přípustné x T = ( 0, 0, 0, 10, 5, 10 ). Březen 2013

48 Lineární programování - příklady Postup řešení: 4a. V tomto případě je bázovým vyjádřením omezujících podmínek přímo normalizovaný tvar omezujících podmínek Rovněž Účelová Funkce je přímo v bázovém vyjádření. Březen 2013

49 Lineární programování - příklady Postup řešení: 4b. Za tohoto stavu lze zapsat Simplexové tabulky takto: 4* + + 2*,, Březen 2013 AČx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 F x4x ,5 x5x x6x ,5

50 Lineární programování - příklady Postup řešení: 5. Klíčovým sloupce je sloupec první x 1 – nese označení šipkou. Březen 2013

51 Lineární programování - příklady Postup řešení: 6. Za klíčový řádek bude určen podle mini- mální hodnoty podílu, že se prvku a sloupce AČ a klíčového sloupce x 1 - samozřejmě neprovádí se pro řádek Účelové Funkce. Rozdíly jsou uvedeny ve sloupci za tabulkou. Protože podíl v řádku s bázovou proměnnou x 4 je nejmenší – jde o řádek klíčový a je označen šipkou. Březen 2013

52 Lineární programování - příklady Postup řešení: 7. Pro vyznačení se klíčový prvek orámuje – zvýrazní. Březen 2013

53 Lineární programování - příklady Postup řešení: 8a. V klíčovém řádku se nahradí bázová proměnná x 4 proměnnou x 1 z klíčového sloupce. Celý řádek je vydělen hodnotou 4, aby klí- čový prvek byl roven 1. Viz další tabulka….. Březen 2013

54 Lineární programování - příklady Postup řešení: 8b. Výsledná tabulka bude mít tento tvar: Březen 2013 AČx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 F -12,501,75-0,5-1, x4x4 2,510,250,50, x5x x6x6 00,5-0,50120

55 Lineární programování - příklady Postup řešení: 9a. Pomocí klíčového řádku bázové proměn- né x 5 se upraví ostatní řádky tak, aby ve sloupci x 1 byly samé nuly 0. Od řádku F se odečte 5-ti násobek řádku x 1. Řádek x 5 lze přímo opsat a od řádku x 6 se odečte dvojnásobek řádku x 1. Jsou to úpravy povolené v matici. Viz další tabulka….. Březen 2013

56 Lineární programování - příklady Postup řešení: 9b. Výsledná tabulka bude mít tento tvar: Březen 2013 AČx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 F -12,501,75-0,5-1, x4x4 2,510,250,50, x5x x6x6 00,5-0,50120

57 Lineární programování - příklady Postup řešení: 10a. Protože je v řádku Účelové Funkce ještě jeden kladný koeficient – sloupec x2 – opakuje se výpočet znovu až od bodu 5. Určí se tedy další klíčový sloupec, řádek a prvek a provedou se nové výpočty Viz další tabulka….. Březen 2013

58 Lineární programování - příklady Postup řešení: 10b. Výsledná tabulka bude mít tento tvar: Březen 2013 AČx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 F -21, , x4x4 1,251000,25-0, x5x x6x6 7, ,501---

59 Lineární programování - příklady Postup řešení: 10c. Podle řádku Účelové Funkce F jde již o konečné řešení. Vektor x T = ( 1,25, 5, 0, 0, 0, 7,5 ) F = 21,5 A dále…. Březen 2013

60 Lineární programování - příklady Postup řešení: 10d. Skutečným výsledkem jsou pouze reál- né proměnné – takže: x 1 = 1,25x 2 = 5x 3 = 0 F = 5 * x * x * x 3 F = 5 * 1, * * 0 F = 21,5 Březen 2013

61 Lineární programování - příklady Další příklad – grafický způsob hledání optima pro úlohu představovanou vztahy: g1 8*x 1 + 6*x 2 => 50 g2 6*x 1 - 3*x 2 => -18 g3 5*x *x 2 =< 0 g4 x 2 = < 14 g5 25*x *x 2 =< 375 F = 5*x 1 + 4*x 2 = max Březen

62 Lineární programování - příklady Březen 2013 Znázornění ve dvourozměrném prostoru… g4 g3 g1 F 14 g3 x1x1 F = 97,5 g5 x2x2 P ( 8,3 ; 14 ) 8,3 10

63 Lineární programování - příklady Úloha má jediné řešení…. ….. bod P ( 8,3 ; 14 ) x 1 = 8,3 x 2 = 14 z = 97,5 Březen 2013

64 Lineární programování - příklady Další příklad – numerický způsob hledání optima pro úlohu představovanou vztahy: 8*x 1 + 6*x 2 => 50 6*x 1 - 3*x 2 => -18 5*x *x 2 =< 0 x 2 = < 14 25*x *x 2 =< 375 F = 5*x 1 + 4*x 2 = max Březen

65 Lineární programování - příklady Další příklad – numerický způsob hledání optima pro úlohu představovanou vztahy: -8*x 1 - 6*x 2 +x 3 =< *x 1 + 3*x 2 + x 4 =< +18 5*x *x 2 + x 5 =< 0 x 2 + x 6 =< 14 25*x *x 2 + x 7 =< 375 Březen 2013

66 Lineární programování - příklady Další příklad ….. Pro zavedené a zvolené bázové proměnné x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 bude řešením vektor x T = (6,25, 0, 0, 55,5, -31,25, 14, 218,75) Březen 2013

67 Lineární programování - příklady Další příklad ….. Protože obsahuje záporné číslo, což je nepří- pustné – musí se volit nové bázové proměn- né, kterými budou x 1, x 2, x 5, x 6, x 7 Řešením je vektor x T = (0,7, 7,4, 0, 0, 107,5, 6,6, 268,7) Březen 2013

68 Lineární programování - příklady Další příklad ….. Úpravy: - z omezující podmínky g1 se vyjádří x 1 - a dosadí se do podmínky g2 - x 2 bude vyjádřeno pouze pomocí x 3 a x 4 - zpětným dosazením x 2 do prvé podmínky se obdrží bázové vyjádření podmínky g1 pro x 1 - pak se vyjádří x 5, x 6 a x 7 jako fce nebázo- vých proměnných x 3 a x 4. Březen 2013

69 Lineární programování - příklady Další příklad ….. Je potřeba vypsat všechny rovnice po prove- dení uvedených úprav…. Březen 2013

70 Lineární programování - příklady Další příklad ….. Po úpravách bude Účelová Funkce F = 0,65 * x 1 – 0,032 * x 4 = -33,1 Sestaví se Simplexová tabulka a provedou se ekvivalentní úpravy…. Březen 2013

71 Lineární programování - příklady Další příklad ….. Výsledným řešením je vektor x T = (8,3, 14, 100,22, 25,73, 168,44, 0, 0) F = ABS (-97,43) = 97,43 A skutečné proměnné: x 1 = 8,3x 2 = 14 F = 5 * x * x 2 F = 5 * 8,3 + 4 * 14 F = 97,5 Březen 2013

72 Lineární programování - příklady Březen 2014 Další příklad ….. Podnik řeže ze základních tyčí délky 80 cm tyče délek 50 cm, 40 cm a 25 cm. Jejich minimální požadovaná množství jsou 50 ks, 80 ks a 95 ks. Úkolem je stanovit optimální skladbu řezných plánů z hlediska minimalizace odpadu. 5

73 Lineární programování - příklady Březen 2014 Další příklad ….. z = 5*x *x 3 + 5*x 4 --> min x 1 => 50 2*x 2 + x 3 => 80 x 1 + x 3 + 3*x 4 => 95 x 1 => 0, x 2 => 0, x 3 => 0, x 4 => 0.

74 březen 2014 …..… cw05 – p.15. POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace pokračují …..5…


Stáhnout ppt "CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 15. PŘEDNÁŠKA."

Podobné prezentace


Reklamy Google