Fraktance RC model prvku s konstantní fází Juraj Valsa, říjen 2009.

Prezentace na téma: "Fraktance RC model prvku s konstantní fází Juraj Valsa, říjen 2009."— Transkript prezentace:

1 Fraktance RC model prvku s konstantní fází Juraj Valsa, říjen 2009

2 použití -simulace pochodů v elektrochemických systémech, včetně superkapacitorů -regulační obvody v soustavách zlomkového řádu -simulace pochodů ve vírových kotvách asynchronních motorů

3 Ideální prvek s konstantní fází (CPE)

4

5 náhrada činitele s β diskrétním obvodem -obvykle se používá rozvoj exponenciální funkce v řadu, vedoucí na řetězový zlomek

6 příklad rozvoje rozvoj vede na příčkový článek

7 příčkový článek RC

8 příklad charakteristik RC obvodu navrženého podle rozvoje v řetězový zlomek

9 „dominový řetězový obvod“ celkem 14 rezistorů a 14 kondenzátorů

10 argumentová (fázová) charakteristika

11 výsledek je pro většinu aplikací nevyhovující - vychází příliš veliký počet elementů obvodu - prakticky lze dosáhnout pouze argumentu φ=-45° ve značně omezeném pásmu kmitočtů

12 základní schéma navrženého RC modelu

13 hodnoty prvků progresivně klesají geometrickou posloupností 0<=a<=1, 0<=b<=1

14 např. pro a=0.6, b=0.4

15 vstupní admitance modelu součet admitancí jednotlivých větví

16 v normovaném měřítku Pro zjednodušení zápisu je výhodné zavést normovaný kmitočet x=ω R1 C1 Potom admitance vstupní impedance Z(x)=1/Y(x).

17 argument (fáze) impedance v úhlových stupních

18 Příklad argumentové (fázové) charakteristiky RC modelu pro a=0.6, b=0.4, m=40

19 modulová charakteristika sklon =-7,2 dB/dek

20 šířka pásma s konstantní fází a konstantním sklonem přibližně je dána kmitočtem f max

21 detail fázové charakteristiky

22 zvlnění 1/per je počet dekád kmitočtu na jednu periodu zvlnění per je pak počet period v jedné dekádě

23 velikost (amplituda) zvlnění roste s délkou periody proto malým hodnotám součinu a*b odpovídají větší amplitudy ∆φ a naopak je-li součin a*b>0.3, je zvlnění zanedbatelné, ale šířka pásma je velmi malá

24 charakteristické hodnoty RC modelu m>>1, b=1-a a0.10.20.30.40.50.60.70.80.9 a*b0.090.160.210.240.250.240.210.160.09 per0.9561,2561,4751,6131,6611,6131,4751,2560,956 1/per1,0460,7960,6780,6200,6020,6200,6780,7961,046 φ86,0679,0469,4357,7945,0032,2220,5710,963,944 ∆φ∆φ0,2600,1950,1350,1050,0900,1050,1350,1950,260

25 závislost argumentu na parametru a pro b=1-a

26 aproximace polynomem 3. stupně pro a+b=1

27 fáze φ v závislosti na parametrech a, b

28 argumentové charakteristiky modelu pro a=b=0,5, m=5, 10, 20, 40

29 princip funkce navrženého modelu s rostoucím kmitočtem se po sekcích modelu šíří „vlna“

30 princip korekce modelu s malým počtem sekcí

31 náhrada „levé“ a „pravé“ části modelu nekonečné délky vodivostí Gp a kondenzátorem Cp

32 RC model s korekčními členy Gp, Cp

33 účinek korekčních členů při m=5

34 účinek korekčních členů při m=10

35 účinek korekčních členů při m=20

36 charakteristiky korigovaného modelu m=10, a=0.1 až 0.9, b=1-a

37 prakticky použitelný model φ=-32,2°, v pásmu 100Hz až 30kHz

38 výběr kondenzátorů z řady E6 a rezistorů z řady E12 nebo E24 řada E6 10 15 22 33 47 68 100 řada E12 10 12 1518 2227 3339 47 56 68 82 100 řada E24 10 11 12 13 15 26 18 20 22 24 27 30 33 36 39 43 47 51 56 62 68 75 82 91 100

39 některé kombinace pro RC modely s kondenzátory E6 a rezistory E24, m=5

40 vzorky modelů pro φ=-45° a φ=-60° v pásmu od 100Hz do 30kHz

41 schéma vzorku m=4, φ=45°

42 charakteristika vzorku m=4, R 1 =10kΩ, C 1 =1µF

43 příklad řešení obvodu v harmonickém ustáleném stavu základní schéma Wienova oscilátoru

44 klasický Wienův oscilátor se dvěma stejnými kondenzátory kmitočet oscilací a potřebné zesílení

45 Wienův oscilátor se dvěma stejnými CPEs

46 určení velikosti modulu D 1

47 výpočet kmitočtu oscilací a potřebného zesílení v ustáleném stavu kmitočet oscilací

48 Wienův oscilátor se dvěma stejnými CPEs, R=100Ω

49 Wienův oscilátor se dvěma rozdílnými CPEs

50 podmínky oscilací pro případ dvou různých CPEs činitel přenosu

51 z imaginární části přenosu vypočítáme kmitočet oscilací nelineární rovnici řešíme numericky

52 porovnání výsledků simulace R=75Ω

53 řešení náhradních obvodů v přechodném stavu s ideálními CPEs resp. s jejich modely klasické řešení diferenciálních rovnic je obtížné, protože dosud neexistují rutinní postupy podobné metodám Runge-Kutta pokud je však soustava lineární, použijeme s výhodou Laplaceovu transformaci

54 numerická inverze Lapl. obrazů

55 výhody -není nutno počítat póly obrazu a provádět rozklad na parciální zlomky -lze invertovat iracionální a transcendentní funkce proměnné s včetně funkcí, vedoucích na zpožděné nebo periodické originály -lze invertovat funkce s exponenty danými necelými čísly -za proměnnou s ve výrazu pro obraz F(s) se dosazují příslušné komplexní hodnoty zcela stejně jako imaginární jω při výpočtu kmitočtových charakteristik v ustáleném harmonickém stavu

56 ilustrativní příklad (odezva fraktálního systému na jednotkový skok)

57 výsledný originál f(t) CPU time=0,218 s

58 příklad fraktálních derivací, obvod m=5, s korekcí tečkovaně odezva ideálního CPE