Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Mersennovo prvočíslo Jiří Kuczaj V.A 1. Mersennovo prvočíslo je takové prvočíslo, které je o jedna menší než celočíselná mocnina dvojky, tzn. je tvaru.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Mersennovo prvočíslo Jiří Kuczaj V.A 1. Mersennovo prvočíslo je takové prvočíslo, které je o jedna menší než celočíselná mocnina dvojky, tzn. je tvaru."— Transkript prezentace:

1 Mersennovo prvočíslo Jiří Kuczaj V.A 1

2 Mersennovo prvočíslo je takové prvočíslo, které je o jedna menší než celočíselná mocnina dvojky, tzn. je tvaru M p = 2 p − 1 Příkladem Mersennova prvočísla je 7 = 2³ − 1. Naproti tomu například Mersennovo číslo 2 4 − 1 = 15 není prvočíslem (je to složené číslo, 15 = 3 · 5). 2

3 Mersennovo prvočíslo Lze snadno ukázat, že pokud má být číslo 2 n − 1 prvočíslem, musí být prvočíslem i exponent n: Mersennova prvočísla mají těsný vztah s dokonalými čísly (čísla, která jsou rovná součtu svých vlastních dělitelů), tento fakt byl také prvotním důvodem pro studium tohoto druhu prvočísel. Už ve 4. století př. n. l. Eukleidés dokázal, že pokud M je Mersennovo prvočíslo, pak M(M+1)/2 je dokonalé číslo. V 18. století pak dokázal Euler, že takovou formu mají všechna sudá dokonalá čísla. (Nejsou známa žádná lichá dokonalá čísla a předpokládá se, že žádná neexistují.) V současné době není známo, zda je Mersennových prvočísel nekonečně mnoho. 3

4 Historie Tato čísla jsou pojmenována po francouzském matematikovi Marinu Mersennovi (1588– 1648), který sestavil seznam takových prvočísel s exponenty do 257; jeho seznam však obsahoval chyby: nesprávně zahrnoval M 67 a M 257 a naopak v něm chyběly M 61, M 89, M 107. Mnoho prvočísel v tomto tvaru je však známo už výrazně déle. 4

5 Hledání čísel Pro hledání Mersennových prvočísel existují specializované velice rychlé metody (oproti obecným metodám pro hledání či testování libovolných prvočísel), což je důvod, proč největší známá prvočísla jsou právě Mersennovými prvočísly. V současné době nejrychlejší metoda testování prvočíselnosti Mersennových čísel spočívá ve výpočtu rekurentní posloupnosti, vyvinutá v roce 1878 Edouardem Lucasem a vylepšená Lehmerem ve 30. letech 20. století, známá jako Lucasův-Lehmerův test. Tento test je založen na faktu, že Mersennovo číslo je prvočíslem tehdy a jen tehdy, pokud dělí číslo, kde (a ). 5

6 Hledání čísel Převratem ve vyhledávání Mersennových prvočísel byl příchod počítačů. První počítačem nalezené Mersennovo prvočíslo, M 521, bylo nalezeno v 22: ledna 1952 na počítači na UCLA, pod Lehmerovým vedením, pomocí programu sestaveného profesorem Robinsonem. Od nalezení předchozího Mersennova prvočísla tehdy uběhlo už 38 let, následující prvočíslo (M 607 ) pak bylo nalezeno za necelé dvě hodiny, v dalších měsících pak stejný program nalezl tři další. V roce 1996 vznikl na Internetu projekt GIMPS pro distribuované vyhledávání Mersennových prvočísel. Tento projekt dosud objevil třináct největších známých Mersennových prvočísel (tzn. i největší dnes známé prvočíslo). 6

7 7 #nMnMn Cifer v M n Datum objevuObjevitel 1.231dávnoneznámý 2.371dávnoneznámý dávnoneznámý dávnoneznámý neznámý Cataldi Cataldi Euler Pervušin … května15. května GIMPSGIMPS / Josh Findley 42. * … února18. února GIMPSGIMPS / Martin Nowak 43. * … prosince16. prosince GIMPSGIMPS / Curtis Cooper a Steven Boone 44. * … září4. září GIMPSGIMPS / Curtis Cooper a Steven Boone 45. * … září6. září GIMPSGIMPS / Hans-Michael Elvenich 46. * … duben12. duben GIMPSGIMPS / Odd M. Strindmo 47. * … srpna23. srpna GIMPSGIMPS / Edson Smith Dosud není známo, zda mezi 41. a 47. existují některá dosud neobjevená Mersennova prvočísla, číslování je zde proto pouze dočasné. V současnosti je známo 47 Mersennových čísel

8 8 Konec


Stáhnout ppt "Mersennovo prvočíslo Jiří Kuczaj V.A 1. Mersennovo prvočíslo je takové prvočíslo, které je o jedna menší než celočíselná mocnina dvojky, tzn. je tvaru."

Podobné prezentace


Reklamy Google