Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

MODELOVÁNÍ A SIMULACE Modelovací techniky v biologii Modely v praxi.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "MODELOVÁNÍ A SIMULACE Modelovací techniky v biologii Modely v praxi."— Transkript prezentace:

1 MODELOVÁNÍ A SIMULACE Modelovací techniky v biologii Modely v praxi

2 Modelovací techniky  Kompartmentové modelování medicínské modely - např. regulace glykémie (množství glukózy v krvi)  Celulární a jiné konečné automaty umělé systémy inspirované živými organismy – metabolismus, reprodukce, evoluce = evoluční systémy, multicelulární systémy, učící se systémy  Petriho sítě Grafický a matematický nástroj Vhodné pro modelování a analýzu systémů diskrétních událostí Distribuovaný systém reprezentován orientovaným bipartitním grafem s ohodnocením  Modely systémů hromadné obsluhy  …

3 Petriho sítě  Petriho sítě obsahují: místa (places)  obsahují stavovou informaci ve formě značek (tokenů)  v grafech jsou reprezentována jako kolečka přechody (transitions)  vyjadřují možné změny stavu  jejich aktivováním dochází k přesunu tokenů mezi místy, jež daný přechod spojuje  v grafech reprezentovány jako obdélníky hrany (arcs)  určují logické vazby  mohou být pouze mezi místem a přechodem značky – tokeny (tokens)  jejich počet vyjadřuje stavovou informaci systému  rozložení značek v daném časovém okamžiku se nazývá označkování

4 Petriho sítě  P…množina míst  T…množina přechodů  F…množina hran, platí:  W : F N+…váhová funkce, jež každé hraně přiřazuje číslo, které nám říká, kolik tokenů touto hranou projde  C : P N …vyjadřuje kapacitu jednotlivých míst  M0 : P N…počáteční označkování

5 Příklad PS – postavení domu  5 míst P1 = počet stěn P2 = počet oken P3 = počet dveří P4 = počet střech P5 = počet domů  1 přechod T který je uschopněn, obsahuje-li:  místo P1 alespoň 4 tokeny  místo P2 libovolný počet tokenů  místo P3 a místo P4 alespoň 1  aktivací přechodu se odeberou tokeny z P1-P4 postavení domu – v místě P5 přibude 1 token  Příklad: nedojde k aktivaci přechodu – nutná střecha

6 Systémy hromadné obsluhy  Systém, jež slouží k uspokojování požadavků, které do tohoto systému vstupují právě za účelem jejich uspokojení  Základními částmi SHO jsou: Vstupní linka - přichází jí do systému nové požadavky Obslužný kanál - jsou jím uspokojovány požadavky Fronta - obsahuje požadavky, které nemohou být uspokojeny okamžitě (např. z důvodu „obsazení“ obslužného kanálu jiným požadavkem)

7 Systémy hromadné obsluhy  Markovovy modely SHO V praxi bohatě zastoupeno Poissonovo exponenciální rozdělení vstupního toku a doby obsluhy Pravděpodobnost, s jakou najde nově příchozí požadavek systém ve stavu A je shodná s pravděpodobností, že systém se nachází ve stavu A Tj. Markovův model - jeho následující stav závisí pouze na stavu aktuálním Např. pro populační a epidemiologické modely

8 MODELY BIOLOGICKÝCH SYSTÉMU V PRAXI  Populační modely Jednodruhové populace Dvoudruhové populace  Epidemiologické modely  Modely venerických onemocnění  Biologické modely Modely celulární a tkáňové struktury Medicínské modely

9 Populační modely – jednodruhové populace  A. Spojité deterministické modely jednodr. populací Modelování založeno na deterministickém způsobu chování populace, stav populace je charakterizován její velikostí (např. hustota osídlení) Základní otázky  jak dlouho trvá, než dosáhne populace dané velikosti  jak velká bude populace po určitém čase (příp. po daném počtu generací)  jak dlouho může populace přežít v nevhodných podmínkách

10 Populační modely – jednodruhové populace  Základní vztah charakterizující dynamiku dané populace je možno napsat ve tvaru: Δxb … automní přírustek – narození jedinci Δxd … autonomní úbytek – zemřelí jedinci Δxm … počet jedinců, kteří do populace přišli (imigrovali) z jiného prostředí, příp. odešli (emigrovali)

11 Populační modely – jednodruhové populace  V limitním případě, kdy Δt → 0:  Deterministické vyjádření dynamiky stavu populace x(t) za předpokladu, že tento stav můžu popsat spojitou funkcí  Chování základního spojitého modelu jednodruhové populace definovaného tímto vztahem určuje tvar funkce γ(x,t)

12 Užívané spojité modely jednodruhových populací  Malthusův model Nejjednodušší varianta spojitého modelu Předp. neměnnost prostředí (stálý rozdíl úbytku a přírůstku v populaci) lineární diferenciální rovnice 1. řádu Nevýhoda - neomezený růst populace  Logistický model uplatňují se omezující faktory prostředí

13 Populační modely – jednodruhové populace  B. Diskrétní ekvivalenty spojitých modelů jednodruhových populací Generace se v populace nepřekrývají (jedinci z jedné generace)  C. Modely s věkovou strukturou Leslieho model  Věkově struktur. model s diskrétním časem  Popisuje dynamiku populace v definovaných věkových skupinách pomocí známých hodnot porodnosti a úmrtnosti v jednotlivých věkových kategoriích  Věková struktura dána vývojovými stádii jedinců v populaci nebo jinými konvencemi

14 Populační modely – dvoudruhové populace  Spolužitím zpravidla ovlivněna dynamika každé z vyskytující se populace – vzájemná interakce (kladný vliv – stimulační, záporný vliv – inhibiční, neutrální)  Interakce mezi druhy probíhají na úrovni jedinců, ale uvažujeme o nich na úrovni populace  Mezidruhové vztahy vytváří síť vazeb, které regulují přílišné kolísání početnosti populací a udržují rovnovážný stav ekosystému  Typy vzájemné interakce se rozdělují podle míry vzájemné prospěšnosti i těsnosti soužití z hlediska zúčastněných organismů

15 Užívané modely dvoudruhových populací (dravec – kořist)  Gaussův model x = x(t) … velikost populace kořisti y = y(t) … velikost populace predátora Funkce V … tzv. trofická funkce  Určuje množství kořisti, které dravec uloví za jednotku času v závislosti na stavu populace kořisti κ … znamená efektivitu, s jakou predátor přemění zlikvidovanou kořist na svoji biomasu f(x) … relativní rychlost rozmnožování populace kořisti g(y) … celkový přírůstek populace dravce

16 Užívané modely dvoudruhových populací (dravec – kořist)  Lotka-Volterrův model konkurence druhů k1 … koeficient přírůstku do populace kořisti k2 … pravděpodobnost, že setkání dravce s kořistí skončí smrtí kořisti k3 … vyjadřuje účinnost přeměny biomasy kořisti na biomasu dravce k4 … koeficient přírůstku do populace dravce  Předpoklad - každá populace roste logisticky  Zobecnění - Model společenstva více druhů

17 Lotka-Volterrův model k1 = 0,4, k2 = 0,017, k3 = 0,7 a k4 = 1,2 Stavové trajektorie modelu pro různé hodnoty k1

18 Diskrétní model dravec - kořist

19 Užívané modely dvoudruhových populací (dravec – kořist)  Spojitý model Jednoduchá implementace – modelování diferenciálních rovnic v Simulinku Přesnější numerická metoda – chyby Deterministické chování – pro určité parametry existuje pouze jediné řešení, není zahrnuta náhoda  Diskrétní model (v úrovni) Markovovy modely – exponenciální rozdělení vzniku jednotlivých událostí Respektování počtu jedinců Stochastické chování

20 Užívané modely dvoudruhových populací (dravec – kořist)  Základní matematický model Lotky- Volterry: předpokládal neomezený, exponenciální růst populace kořisti za nepřítomnosti dravce Může být splněno jen tehdy, když je zahubení dravcem výrazně hlavní příčinou smrti kořisti  Není-li tato podmínka splněna, pak je nutné připustit pro kořist další omezující faktory růstu - Kolmogorovův model

21 Epidemiologické modely  Modely časoprostorového šíření infekčních chorob  I pro modelování principiálně blízkých procesů (např. šíření ohně, invaze rostlin do neobsazeného prostoru, dynamika potravinového řetězce)  Základní předpoklady: jde o uzavřenou, autonomní, populaci – celkový počet jedinců se nemění v čase, tj. nepředpokládáme narození nových jedinců ani migraci a všichni zemřelí jsou zahrnuti ve skupině R(t) nemoc se šíří kontaktem mezi infikovanými a zdravými jedinci choroba nemá latentní období populace je homogenní, tj. všichni ohrožení jedinci jsou ohrožení stejně, všichni infikovaní jedinci jsou stejně infekční atd.

22 Epidemiologické modely  Za uvedených předpokladů je možno populaci rozdělit do tří skupin: skupina S (susceptible)  obsahuje tu část populace, která je náchylná k onemocnění  tito jedinci netrpí chorobou, mohou však být infikováni při styku s nemocnými skupina I (infected)  obsahuje část populace tvořenou infikovanými jedinci  tito jedinci vykazují známky onemocnění a rozšiřují nemoc mezi členy skupiny S skupina R (removed)  obsahuje tu část populace, která je tvořena jedinci, kteří byli dříve infikováni, ale nyní již nemohou šířit chorobu  jsou zde obsaženi jedinci, kteří se uzdravili a zůstali trvale imunní, jedinci, kteří byli trvale izolováni, a v případě smrtelné nemoci jedinci, kteří uhynuli  Veličiny S, I, R jsou obecně funkcemi času  V libovolném časovém okamžiku t platí (tzv. podmínka autonomity systému):

23 Epidemiologické modely  Předpoklady pro vývoj epidemie: rychlost přesunu jedinců ze skupiny S do skupiny I je úměrná počtu setkání infikovaných jedinců s jedinci náchylnými k onemocnění rychlost přesunu jedinců ze skupiny I do skupiny R je úměrná počtu infikovaných jedinců jedinci, kteří se ocitli ve skupině R v této skupině trvale zůstávají  Počáteční podmínky (v čase t = 0): existuje kladný počet jedinců, kteří jsou náchylní k onemocnění v populaci se vyskytuje kladný počet jedinců, kteří jsou nemocí infikováni a jsou přenašeči infekce nulový počet vyléčených (imunitních) jedinců (pokud je tato skupina populace v modelu zahrnuta)

24 Nejčastěji používané epidemiologické modely  A. Model SIR Po prodělání choroby vzniká jistá forma imunity (většinou doživotní klasická či smrt) - např. plané neštovice Kermackův-McKendrickův (matematický) model  definovaný třemi diferenciálními rovnicemi popisujícími dynamiku dílčích kategorií

25 Nejčastěji používané epidemiologické modely  Koeficient r - koeficient šíření nákazy míra infekčnosti choroby a kvalita prevence proti dalšímu šíření  Koeficient a - koeficientem léčení míra vážnosti choroby a schopnost (společnosti či jedince) se s chorobou vypořádat  B. Model SI Zajímá nás dynamika počátku infekce (přechod ze skupiny ohrožených do skupiny infikovaných) - např. počáteční stádium horních cest dýchacích

26 Nejčastěji používané epidemiologické modely  C. Model SIS Pro onemocnění, která nejsou smrtelná a při kterých nevzniká na danou nemoc imunita - jedná se tedy o „běžné“ nemoci, jako je např. chřipka či angína Rozlišujeme model SIS:  s konstantními koeficienty – prodělaná choroba není smrtelná a současně prodělání choroby proti ní nevytváří imunitu  s časově proměnnými koeficienty – v reálných systémech se zpravidla mění parametry – povědomí společnosti o nemoci, epidemiologická opatření apod.  s konstantním počtem přenašečů – případ, kdy je nemoc vyvolána zprostředkovaně nakaženým prostředím, potravou apod.

27 Nejčastěji používané epidemiologické modely  D. Model SIR s vakcinací Případ, kdy nemocí ohrožené osoby jsou buď posíleny očkováním nebo se převádějí do izolované karantény - navíc skupina V(t)  E. Model SEIR Zahrnutí inkubační doby, která uplyne od nákazy do okamžiku, kdy se příznaky nemoci projeví – nutné u poměrně dlouhé inkubační doba nemoci - skupina E(t) - popisuje tu část populace, která je infikována, ale zatím není infekční

28 Modely venerických nemocí  Oproti infekčním nemocím některé poněkud odlišné charakteristiky: omezeny na sexuálně aktivní část populace (výjimku tvoří přenos choroby z matky na dítě) přenašeči jsou často asymptomatičtí (bez vnějších projevů) nevyvolávají téměř žádnou imunitu vůči prodělané chorobě vzhledem k sociálnímu tabu se obtížně získávají údaje o dynamice přenosu

29 Modely venerických nemocí  Při tvorbě modelu budeme předpokládat: přenos nemocí se bude uskutečňovat mezi dvěma vzájemně se ovlivňujícími skupinami (heterosexuální přenos), které budeme považovat za homogenní stejně promiskuitní chování u všech mužů a žen  Křížový model SIR taková venerická onemocnění, po jejichž prodělání získává jedinec imunitu (jedinci, kteří nemoci podlehli)

30 Modely venerických nemocí  Křížový model SIR  Křížový model SIS

31 Modely šíření AIDS  Narážíme na mnohé nejasnosti a neurčitosti s touto chorobou spojené: neznámá délka latentního období nemoci výchozí a současná délka seropozitivní části populace epidemiologické parametry šíření sociální problémy při pořizování dat vzhledem k různým sociálním tabu spojených s touto nemocí  Zatím neexistuje žádný spolehlivý lék modelováno pomocí křížového modelu SIR, kde skupina R(t) udává počet jedinců, kteří této chorobě podlehli.

32 Modely šíření AIDS  Spojitý model relativně dobře zachycuje interakci jednotlivých populačních skupin.  Možné zpřesnění spojitého modelu - použití přesnější numerické metody (metoda Runge- Kutta či využití Richardsonovy extrapolace)  Výhoda diskrétního modelu - větší přiblížení reálnému světu (nemusí dojít k vymření celé autonomní populace)  Nevýhoda - generuje pouze jednu realizaci náhodného procesu, což při stejných počátečních podmínkách způsobí odlišné průběhy  Uživatele nejčastěji zajímá střední hodnota - lze částečně vyřešit (použitím metody Monte Carlo)

33 Medicínské modely: Bergmanův model cukrovky I. typu  nelineární, 2-kompart- mentový model  matematický popis orgánů zdravého lidského těla, které jsou zapojeny do procesu metabolismu cukrů  jsou zanedbány některé vlivy podílející se na regulaci metabolismu cukrů  výstupem Bergmanova modelu na základě vhodně zvolených parametrů člověka je množství glukózy a inzulínu v krvi

34 Medicínské modely: Model činnosti srdce  Balthasar van der Pol  elektronkové modely lidského srdce - studium dynamiky pro stabilizaci srdeční arytmie  Van der Polova diferenciální rovnice:

35 KONEC


Stáhnout ppt "MODELOVÁNÍ A SIMULACE Modelovací techniky v biologii Modely v praxi."

Podobné prezentace


Reklamy Google