Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Jednotky a veličiny Základem jak fyziky, tak techniky a i mnoha dalších lidských činností je měření a pozorování množství a kvality. Již od pravěku lidé.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Jednotky a veličiny Základem jak fyziky, tak techniky a i mnoha dalších lidských činností je měření a pozorování množství a kvality. Již od pravěku lidé."— Transkript prezentace:

1 Jednotky a veličiny Základem jak fyziky, tak techniky a i mnoha dalších lidských činností je měření a pozorování množství a kvality. Již od pravěku lidé potřebovali určovat množství zásob při skladování a výměnném obchodu. Aby bylo možné se o zásobách bavit, vznikly tzv. jednotky – tedy dohodnutá množství, ke kterým byly vztahovány skladové zásoby. Pro měření v rámci jednoho kmene či později města mohly sloužit jednotky jako kámen, loket, běh a tak podobně. Jednotky se ale až donedávna lišily i mezi blízkými městy, natož pak mezi národy. Různé pro nás exotické jednotky se ostatně i v Evropě neoficiálně používají dodnes – zkuste například v anglické hospodě chtít půllitr piva. Neuspějete. Snaha unifikovat jednotky celosvětově začala být vyvíjena v období francouzské revoluce. Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

2 Jednotky a veličiny O standardizovaný celosvětový systém jednotek se stará Mezinárodní úřad pro míry a váhy v Sèvres u Paříže (BIPM). Tím je od roku 1960 soustava SI.

3 Jednotky a veličiny Fyzika se zabývá studiem hmotných objektů, jejich vlastností a stavů, ve kterých se nacházejí. Fyzikální vlastnosti, stavy a jejich změny vyjadřujeme tzv. fyzikálními veličinami. Dejme tomu, že vlastnost jakéhokoliv objektu je kupříkladu množství hmoty v něm obsažené. Tuto vlastnost jsme pojmenovali veličinou hmotnost. Stanovit hodnotu fyzikální veličiny znamená porovnat ji s určitou, předem dohodnutou hodnotou veličiny téhož druhu, kterou volíme za jednotku. Jednotka hmotnosti je – překvapivě - kilogram. Hodnotu veličiny pak číselně udáváme jako násobek dohodnuté jednotky.Zjistíme-li například při vážení, že nějaké těleso má hmotnost 2x větší než zvolená jednotka, říkáme, že má hmotnost 2 kilogramy. Výsledek pak zapisujeme ve tvaru: Abychom při různých výpočtech a zápisech nemuseli neustále opakovat slova „hmotnost“ a „kilogram“, která je poměrně dlouhá zavedli jsme jejich značky – m pro hmotnost (z angl. mass) a kg pro kilogram.

4 Jednotky a veličiny Některé vlastnosti reálných objektů, příslušné veličiny, jednotky a značky : VlastnostVeličinaZn.JednotkaZn. jed. Množství hmotyHmotnostmkilogramkg Růst neuspořádanosti vesmíru Častsekundas Pobídka k pohybuSílaFNewtonN Velikost ve třech rozměrechObjemVmetr krychlovým3m3 Velikost ve dvou rozměrechPlochaSmetr čtverečným2m2 Velikost v jednom rozměruDélkal, smetrm Velikost změny polohyRychlostvmetr za sekundums -1 Toto jsou základní mechanické veličiny těles a vlastnosti k nim jsou většinou intuitivně jasné. Není tomu tak v případě času (definovat pojem „čas“ je dost problém, zkuste si sami) a není tomu například v případě veličiny „Energie“ (opět zkuste definovat). V pokročilejších partiích fyziky problematičnost spojení vlastnost – veličina vzrůstá.

5 Jednotky a veličiny Kilogram – jednotka hmotnosti je rovna hmotnosti mezinárodního prototypu.

6 Jednotky a veličiny Metr – vzdálenost, kterou urazí světlo ve vakuu za 1/ sekundy Původní jednotka metru také vycházela z prototypu, nyní je založena na vlnové délce vyzařování kryptonu 86.

7 Jednotky a veličiny Sekunda – doba trvání záření odpovídajícímu přechodu mezi dvěmi hladinami hyperjemné struktury základního stavu atomu cesia 133.

8 Jednotky a veličiny Ampér – velikost konstantního proudu, který mezi dvěmi paralelními vodiči zanedbatelného průřezu vzdálených 1 metr vyvolá sílu o velikosti 2x10 -7 Newtonů. Pozn. : definice má smysl, neboť 1 N = kg.m.s -2 a jednotky kilogram, metr i sekunda již jsou definovány. 2x10 -7 N 1 A Pozn. : Ampér je jako základní jednotka z historických důvodů – mnohem logičtější by jako základní jednotka byl elementární náboj ( 1 e ≈ 1.602x C )

9 Jednotky a veličiny Kelvin – jednotka termodynamické teploty o velikosti zlomku 1 / termodynamické teploty trojného bodu vody.

10 Jednotky a veličiny Mol – jednotka látkového množství. Mol je počet elementárních částeček stejný jako počet atomů 12 C v 0,012 kilogramu této látky. Pozn. : při používání této jednotky musí být vždy specifikováno, co se myslí elementární částečkou (atom, molekula, iont, elektron a tak podobně). N A ≈ 6,022 x 10 23

11 Jednotky a veličiny Kandela – jednotka svítivost. 1 cd má zdroj, který v daném směru emituje monochromatické záření o frekvenci 540x10 12 Hz s prostorovým výkonem 1/683 wattů na steradián. Pozn. : všechny použité odvozené jednotky vycházejí z již definovaných základních.

12 Jednotky a veličiny Soustava SI obsahuje jednotky vedlejší, násobky jednotek a jednotky odvozené : NásobekPředponaZn. PředponaNásobek zettaZzzepto yottaYyyokto exaEaatto petaPffemto teraTppiko gigaGnnano megaMμmikro kilokmmili hektohccenti dekadaddeci10 -1 Násobky jednotek a standardizované přípony

13 Jednotky a veličiny Tvar odvozených jednotek plyne z jejich definičních vztahů. Jsou složeny s jednotek základních, některé mají pro jednoduchost vlastní jména. Například jednotku rychlosti utvoříme z definičního vztahu pro rychlost rovnoměrného přímočarého pohybu: Jednotky se dosadí do definičního vztahu a případně vykrátí. Uzavřeme-li veličinu do hranatých závorek, znamená to, že hovoříme o její jednotce. Tímto způsobem se ze základních konstruují všechny jednotky. Například jednotka síly je Protože jednotka síly kgms -1 je příliš dlouhá a často používaná, dostalo se jí vlastního názvu Newton. Je ale třeba vždy mít na paměti, že značka N je pouze zástupné označení značku kgms -1.

14 Jednotky a veličiny rychlost (v)ms −1 zrychlení (a)ms −2 hybnost (p)kgms −1 moment hybnosti (L)kgm 2 s −1 síla (F)kgms −2 moment síly (M)kgm 2 s −2 frekvence (f)s −1 hertzHz práce a energie (W), (E)kgm 2 s −2 J výkon (P)kgm 2 s −3 W moment setrvacnosti (I)kgm 2 tlak (p)kgm −1 s −2 pascalPa veličinajednotkaZnačka joule název newton watt N Některé odvozené jednotky a jejich názvy V tabulce jsou uvedeny některé odvozené jednot- ky ze základní mechaniky spolu s jejich případnými názvy a značkami. Vši- mněte si, že se v jedno- tkách odvozených vysky- tují pouze tři jednotky základní – kilogram, metr a sekunda. V klasické mechanice se jiné nevy- skytují a mezi hlavními jednotami SI jsou ty „hlavnější“. Soustavě SI se někdy říká kgms soustava. Pozn. : Existují i jiné soustavy. Kupříkladu cmgs, kde jsou základními mechanickými jednotkami gram, centimetr a sekunda. Z této soustavy pochází například jednotka energie ”erg”, se kterou se lze setkat ve starší sci-fi literature.

15 Rozměrová analýza Z matematiky jsme zvyklí, že jakákoliv neznámá v libovolné rovnici či nerovnici je proste číslo a není třeba hlouběji uvažovat nad jeho významem. Fyzika sice používá matematické metody a své předpovědi a domněnky vyvozuje také na základe vzorců, ovšem neznámé ve fyzikálních rovnicích nejsou jen pouhá čísla. Jsou to veličiny, a hodnota veličiny bez udání jednotky nemá smysl! Dosadíme-li do fyzikální rovnice číselnou hodnotu požadované veličiny bez toho, abychom si ověřili, že tak činíte také v požadovaných jednotkách, budeme se pravděpodobně velmi divit, co nám to vychází za nesmysly. Voják vystřelil z pušky kolmo vzhůru k nebi. Výbuch střelného prachu předal střele o hmotnosti 0.05 kilogramu energii 1210 J. V jaké výšce se nachází střela, je-li její rychlost právě 500 km/h? Příklad

16 Rozměrová analýza Závěr : střela má rychlost 500 km/h deset kilometrů pod zemí. Nesmysl – kde je chyba?

17 Chyba : rychlost jsme do vzorce dosadili c kilometrech za hodinu, ale správně tam patří v metrech za sekundu (všechny ostatní jednotky dosazené do vzorce jsou základní). Tedy: To už je celkem rozumný výsledek, zanedbáme-li odpor vzduchu. Rozměrová analýza

18 Způsobu, jakým zjistit, co do vzorců dosazovat, či dokonce ověřit, zda nemáme vzorec odvozený chybně, se říká rozměrová analýza. Spočívá v jednoduchém faktu, že vzorec je rovnice, a tedy levá i pravá strana se musí rovnat jak číselně, tak jednotkami. Podívejme se na předchozí vzorec s pohledu jednotek a zkoumejme jednotky nalevo i napravo : Výška je vzdálenost a má tedy rozměr metru. Výraz napravo musí mít rovněž rozměr metru: Odtud snadno zjistíme, co zadávat za jednotky rychlosti. Rozměrová analýza

19 Výrazy v kroužcích musí mít stejné jednotky, neboť nelze sčítat hrušky a jablka. Tedy: Abychom mohli zadat rychlost v kilometrech za hodinu, jednotka energie by musela být velmi zuřivá (figuroval by v ní nějaký násobek či podíl 3,6) a zcela nepochybně nepoužívaná. Rozměrová analýza

20 Pokračujme dále: Součet či rozdíl dvou stejných veličin má stále tu samou jednotku! Pravá strana má opravdu rozměr metru. O.K. Rozměrová analýza

21 Pomocí rozměrové analýzy lze dokonce odhadnout i tvar neznámého vzorce! Vezměme například matematické kyvadlo a snažme se odhadnout, jak bude vypadat vzorec pro periodu kyvu. l m g Předpokládejme, že tato perioda nezávisí na počáteční výchylce alespoň pro malé úhly (což odpozoroval mladý Galileo Galilei při pozorování kyvů lucerny zavěšené od stropu kostela) a zauvažujme nad dalšími veličinami, na kterých perioda může záviset. Jsou to délka závěsu, hmotnost závaží a gravitační zrychlení – cokoliv dalšího je pro náš problém irelevantní. Předpokládejme dále, že perioda na těchto veličinách bude záviset jako mocninná funkce vztahem kde C je nějaká bezrozměrná konstanta (číslo). Víme, že perioda T má rozměr času (s) a jednotky dalších veličin jsou rovněž známé. Dosaďme je tedy a hledejme koeficienty α, β a γ.

22 Rozměrová analýza l m g Ještě upravme levou stranu, aby rovnost byla zřejmá: Odtud plyne :

23 Rozměrová analýza l m g Tedy : Dále už můžeme jen spekulovat – jelikož kyvadlo opisuje část kružnice, objeví se v konstantě C číslo π respektive jeho násobek malým celým číslem (takové čísla jsou ve fyzice nejčastější, to víme ze zkušenosti). První odhad vzorce pro T je tedy Pozn. : toto samozřejmě není exaktní postup, vzorec bychom museli dokázat z teorie a experimentem. Je to ale dobré vodítko pro první chvíli – tzv. metoda uhodnutí.

24 Souřadné systémy Fyzikální procesy, zejména pohybové, musí být popisovány vzhledem k nějaké vztažné soustavě – třem prostorovým a jedné časové souřadnici. Nejjednodušší souřadný systém jsou vzájemně kolmé osy označené x, y a z. Tento systém se jmenuje podle svého tvůrce René Descarta (latinsky Renatus Cartesius). Poloha tělesa je zde určena vzdálenostmi od bodu, ve kterém se osy protínají (počátek). x y z A [x A, y A,z A ] xAxA yAyA zAzA René Descartes

25 Souřadné systémy x y z A [x A, y A,z A ] xAxA yAyA zAzA r Vzdálenost bodu od počátku: Vzdálenost dvou bodů: x y z A [x A, y A,z A ] B [x B, y B,z B ] r(A,B)

26 Souřadné systémy x y z dx dy dz Chceme-li provádět v kartézském systému integraci, volíme elemen- tární rozdělení intervalu jako úseč- kové (1D), obdélníkové (2D) respek- tive krychlové (3D). Reálná funkce jed- né reálné proměnné – definiční obor dě- líme na úsečky (in- tegrujeme dle dx). Reálná funkce dvou reálných proměnných – definiční obor dělíme na obdélníčky (integ- rujeme dle dx. dy). Pozn. : reálná funkce tří reálných proměnných již nejde jednoduše zobrazit, princip je však stejný – definiční obor dělíme na kvádry (integrujeme dle dx. dy. dz).

27 Souřadné systémy Někdy je výhodnější popsat prostor tzv. polárními souřadnicemi. Převod z kartézského popisu R 2 na polární a zpět je jednoduchý: x y r φ Pozn. : pro r = 0 nemá úhel smysl a bere se φ = 0.

28 Souřadné systémy Chceme-li provádět dvourozměrnou integraci v polárních souřadnicích, volíme elementární rozdělení následovně : Protože elementární ploška se při integraci stane nekonečně malou (infinitezimální), není třeba se na ní dívat jako na část mezikruží, ale lze s ní zacházet jako s obdélníčkem – tedy vnitřní polo- měr je roven vnějšímu poloměru. Tyto délky jsou část obvodu kruhu o poloměru r, jejich velikost je tedy r. dφ. Integrujeme-li v polárních souřad- nicích, je třeba integrovat dle r. dr. dφ : dr r. dφ r φ dφdφ Na této plošce stavíme „sloupečky“ x y

29 Souřadné systémy Spočítejte plochu kruhu v polárních souřadnicích. Příklad Použijeme následující trik – v polárních souřadnicích zintegrujeme funkci f (r,φ) = 1. Takto sice teoreticky počítáme objem válce s podstavou kruhu o výšce jedna, ale právě díky své jednotkové výšce bude obsah jeho podstavy číselně roven jeho objemu. Řešíme integrál Pozn. : Obdobný výpočet v kartézských souřadnicích by byl nesmírně pracný. V polárních souřadnicích by rovněž šel snadno spočítat objem rotačního paraboloidu z přednášky o integrálním počtu.

30 Souřadné systémy Polární souřadnice v R 3 jsou o něco složitější: x y z precese rotace r R R

31 Souřadné systémy Polární souřadnice se například výtečně hodí na popis experimentů částicové fyziky: detektor φ – rotace kolem svazku θ – úhel od svazku

32 Souřadné systémy Při integraci volíme následující rozdělení D f (podmnožia R 3 ): Tento člen se dá odvodit obdobně jako pro R 2. Díky infinitezimalitě elementárního objemu zanedbáme zakřivení. Potom první rozměr podstavy je dán poloměrem r a úhlem dθ, druhý rozměr podstavy polo- měrem R a úhlem dφ. Výška útvaru je pak dr. Celkový objem pak lze spočítat jako x y z dr r R Pozn. : v jazyku analýzy ve více rozměrech je tento člen Jakobián substituce

33 Souřadné systémy Spočítejte objem koule v polárních souřadnicích. Příklad Opět budeme integrovat v polárních souřadnicích funkci f (r,φ,θ) = 1. Dosadíme Pozn. : Obdobný výpočet v kartézských souřadnicích by byl opět nesmírně pracný.

34 Souřadné systémy Spočítejte povrch koule v polárních souřadnicích. Příklad Na první pohled je toto jiná úloha než předchozí, ale jen do okamžiku, než si uvědomíme, že jediný rozdíl, je to, že poloměr r je nyní konstanta r = R. Integrační element nebude tedy vypadat takto nýbrž takto Element je nyní plocha – část povrchu koule. Integrujeme jen přes úhly θ a φ :

35 Kinematika hmotného bodu Nejjednodušší fyzikální soustava je hmotný bod (HB), který se pohybuje v prostoru a čase. Pojem HB je samozřejmě abstrakce, model, kterým nahrazujeme reálné těleso nebo částici. Odhlížíme v něm od tvaru a velikosti tělesa a kromě geometrické polohy tělesu přiřazujeme už jen jednu fyzikální veličinu – hmotnost. Kinematika je nauka o pohybu – zajímá nás průběh polohy HB v závislosti na čase, nikoliv už příčina pohybu. Zkoumáme tedy trajektorii – křivku, po které HB vykonává pohyb. V okamžiku t je bod na trajektorii v poloze l, po uplynutí času Δt se posune o Δl. Parametr l tu v podstatě měří délku po křivce – jako když u automobilu udáváme, na kolikátém kilometru dálnice je. Střední (průměrná) rychlost HB je pak definována jako

36 Chceme–li rychlost okamžitou, musíme úsek Δs (a tedy i Δt) poslat v limitě k nule: nebo, jelikož dráha je spojitou a hladkou (bez ostrých špiček) funkcí času: Obdobně pak definujeme velikost změny rychlosti (zrychlení): Pozn. : Povšimněte si Newtonova značení – derivace podle času se značí tečkou nad značkou veličiny. Kinematika hmotného bodu

37 Takto definované skalární (jednorozměrné) veličiny rychlosti a zrychlení nám ovšem pomohou jen v tom případě, že známe trajektorii. Obecně ale musíme udat polohu, rychlost a zrychlení HB vzhledem k ostatním objektům – tj. popsat je v nějaké vztažné soustavě (např. průsečnice obou stěn a podlahy laboratoře). V takovém případě jsou jednotlivé souřadnice HB funkcí času (respektive poloha je vektorovou funkcí času) : Rychlost a zrychlení se pak definují derivacemi po složkách: Kinematika hmotného bodu

38 Prozkoumejme směr vektoru rychlosti a zrychlení: Jelikož rozdíl dvou vektorů je jejich spojnice, a jelikož z geometrické představy víme, že výsledná spojnice přibližovaných bodů je tečna ke grafu funkce, můžeme tvrdit, že vektor rychlosti je v každém bodě směrem tečny k trajektorii hmotného bodu. Určit směr zrychlení již tak jednoduché není. Víme, že na těleso působí zrychlení nejen v okamžiku, kdy mění velikost rychlosti (řidič šlape na plyn), ale i tehdy, kdy velikost rychlosti zůstává stejná a mění se jen její směr (řidič točí volantem). Oba případy mohou nastat najednou a směr zrychlení je tedy relativně složitý (narozdíl od směru rychlosti). Pokusme se jej přesto nějak vyjádřit. Kinematika hmotného bodu

39 Vytyčme si dva význačné směry – tečný vektor a normálový vektor. Tečný vektor je shodný se směrem rychlosti, normálový je na něj kolmý. V R 2 je pojem zřejmý, v R 3 je to horší, neboť takových vektorů je nekonečně mnoho. Musíme vybrat jeden, a to takový, který leží v tzv. oskulační rovině. Tuto rovinu určíme následovně: R Pokud na trajektorii položíme další dva body s 1 a s 2, určují nám jednak rovinu, jednak kružnici. Pokud oba body v limitě pošleme k s(t), tedy získáme oskulační rovinu a oskulační kružnici. R Normála ke křivce v daném bodě je pak kolmá k tečně, směřuje ke středu oskulační kružnice a leží v oskulační rovině. Poloměru R oskulační kružnice se také říká poloměr křivosti trajektorie v daném bodě. Kinematika hmotného bodu

40 Normála lze určit i jinak. Pokud vezmeme tečný vektor, který definujeme jako (nyní má velikost jedna), můžeme zkoumat jeho limitní vlastnosti: Ve dvou různých bodech trajektorie se tečné vektory liší a jejich rozdíl je zcela obecný. Pokud ale body pošleme v limitě k sobě, bude se rozdíl tečných vektorů blížit normálovému (alespoň co se týká směru). Nenulovou velikost zajistíme tak, že rozdíl tečných vektorů podělíme rozdílem l 2 – l 1. Výsledná velikost limitního vektoru pak bude převrácená hodnota křivosti 1/R (nebudeme dokazovat) : POZOR! Zde vektory značí polohy na trajektorii, zatímco skaláry délku měřenou podél trajektorie! Kinematika hmotného bodu

41 derivace rychlosti dle času tečný vektor Derivace tečného vektoru – pozor, složená funkce! rychlost normálový vektor Zkusme se nyní na zrychlení podívat coby na derivaci násobku dvou funkcí – velikosti rychlosti a tečného vektoru (tj. násobíme skalární a vektorovou funkci): Pozn. : Aby nedošlo k mýlce – každý člen tohoto výrazu je funkce času! tečný vektor Kinematika hmotného bodu

42 Zjistili jsme tedy, že zrychlení lze obecně rozložit do dvou na sebe kolmých složek: tečné zrychlení normálové zrychlení Tečné zrychlení zapříčiňuje změnu velikosti rychlosti (plyn), normálové pak změnu směru pohybu (volant). Kinematika hmotného bodu

43 Určete tečné a normálové zrychlení při rovnoměrném pohybu HB na kružnici a při rovnoměrně zrychleném pohybu, kdy rychlost vzroste 2x za sekundu. Příklad Trajektorie je sama sobě oskulační kružnicí a poloměr křivosti je konstanta. Pro rovnoměrný pohyb je tedy R anan anan anan anan v v v v a při rovnoměrně zrychleném je za předpokladu, že pohyb je rovnoměrně zrychlený od počátku měření času ( t = 0 ). Pozn. : Při pohybu na kružnici se normálovému zrychlení říká dostředivé. Pro obecné křivky největší problém spočívá v určení poloměru křivosti – tím se nebudeme zabývat. Kinematika hmotného bodu

44 Závislost dráhy na čase Víme-li, že rychlost je derivace dráhy a zrychlení derivace rychlosti, musí platit i opačné vztahy – integrální. Tedy : Z těchto vztahů lze určit závislost dráhy na čase pro libovolný průběh zrychlení. Ukažme si postup na případě rovnoměrně zrychleného pohybu, tj. a = konst. : Integrační konstanta se zde s ničím nevyruší! Musíme ji ve výpočtu ponechat. Označme ji v 0, aby bylo jasné, že má rozměr rychlosti. Pozn. : Stejně bychom postupovali i pro obecný případ a ≡ a(t). Místo prvního členu by se pak ve vzorci vyskytoval výraz s dvěmi integracemi a(t) podle t.

45 Šikmý vrh v homogenním gravitačním poli Na základě tohoto vztahu lze řešit například veškeré úlohy o pohybu HB v homogenním gravitačním poli. Ukažte, že trajektorie HB při šikmém vrhu v homogenním gravitačním poli je parabola a spočítejte, jak daleko HB dopadne a jak vysoko vystoupá, znáte-li počáteční velikost rychlosti a úhel, pod kterým bod vrháme. Příklad x(t) y(t) v φ h l

46 Šikmý vrh v homogenním gravitačním poli x(t) y(t) v φ h l V každém okamžiku je poloha HB popsána funkcemi x(t), y(t), respektive vek- torovou funkcí. Veškeré pohyby se vlastně dějí v každé souřadnici zvlášť, nezávisle na sobě. Vektorový vztah vpravo nahoře se nám tedy rozpadá na soustavu dvou skalárních vztahů : V rovnicích se vyskytuje celkem šest konstant (dvě pro zrychlení, dvě pro počáteční rychlost, dvě pro počáteční polohu). Abychom mohli ve výpočtu pokračovat, musíme je nejprve určit.

47 Šikmý vrh v homogenním gravitačním poli x(t) y(t) v φ h l Zrychlení – víme, že na HB působí homogenní gravitační pole a uděluje mu gravitační zrychlení (které je nezávislé na hmotnosti). Jeho vektorový tvar je g Po dosazení máme

48 Šikmý vrh v homogenním gravitačním poli x(t) y(t) v φ h l Rychlost – počáteční rychlost je zadaná jako velikost a úhel. Víme, že vztahy pro vektorovou podobu jsou nicméně v závislosti polohy na čase necháme zatím kartézské souřadnice vx, vy (pro jednodušší opisování) a polární tvar dosadíme až na závěr. Tedy :

49 Šikmý vrh v homogenním gravitačním poli x(t) y(t) v φ h l Poloha – hmotný bod začíná vrh v bodě [0, 0], tedy x 0 = 0 a y 0 = 0 : Abychom dokázali, že trajektorie je skutečně parabola, musíme najít závislost y na x (tj. vyloučit ze vztahů t). To je samozřejmě snadné.

50 Šikmý vrh v homogenním gravitačním poli Souřadnice y má na x zjevně parabolickou závislost. Odtud také snadno určíme, jak daleko HB doletěl.

51 Šikmý vrh v homogenním gravitačním poli x(t) y(t) v φ h l Podmínka, že HB zakončil svůj let je, že se znovu nachází na úrovni země, tedy y=0. Řešme tedy rovnici pro x, je-li y nulové: První řešení zjevně odpovídá počátečnímu bodu, druhé řešení bodu koncovému – což je řešení, které nás zajímá (proveďte rozměrovou analýzu!). Nyní maximální výška.

52 Šikmý vrh v homogenním gravitačním poli x(t) y(t) v φ h l Zajímá nás maximum na funkci y ≡ y(x). Zderivujme tedy y podle x a položme derivaci rovnu nule: Hodnotu x dosaďme zpět do funkce y(x):

53 Šikmý vrh v homogenním gravitačním poli v bodě Doba, po kterou se HB pohybuje po své dráze, je Povšimněte si, že HB se podél osy x pohybuje rovnoměrně přímočaře – v této souřadnici na něj nepůsobí žádné zrychlení. Rovněž si povšimněte, že maximální výška vůbec nezávisí na počáteční rychlosti podél osy x. Pozn. : ověřte pro ex- trémní hodnoty úhlů!

54 Dynamika hmotného bodu Dynamika je nauka o silách coby příčině změny pohybu. To, že vynaložit sílu je třeba na změnu pohybového stavu a nikoliv na jeho udržování zformuloval až Newton ve svých principiích roku Předtím byla síla chápána v souladu se „zdravým selským rozumem“ jako příčina pohybu samotného (i na tlačení vozíku po rovině musíte zabrat). Isaac Newton

55 Dynamika hmotného bodu Isaac Newton Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare. Každé těleso setrvává ve svém stavu klidu nebo rovnoměrného přímočarého pohybu, pokud a dokud není vtištěnými silami donuceno tento svůj stav změnit. Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur. Změna pohybu je úměrná hybné vtištěné síle a nastává podél přímky v níž síla působí. Actioni contrariam semper et æqualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse æquales et in partes contrarias dirigi. Proti každé akci vždy působí stejná reakce. Jinak : vzájemná působení dvou těles jsou vždy stejně velká a míří na opačné strany. Zákon setrvačnosti Zákon síly Zákon akce a reakce

56 Dynamika hmotného bodu Pod pojmem „corpus“, těleso, se opět skrývá hmotný bod. Pojem „síla“ nevstupuje do Newtonových zákonů zvenčí, ale je jimi přímo definován – druhý Newtonův zákon lze do matematického jazyka přepsat jako pokud se hmotnost tělesa nemění s časem (což neplatí například pro raketu, které ubývá palivo). Síla je tedy vektorová veličina přímo úměrná zrychlení. Konstanta úměrnosti m je setrvačná hmotnost. Vektorovou veličinu p = m.v (hybnost) zavedl Newton coby „množství pohybu“. Pozn. : z Newtonovy teorie nikde neplyne, že setrvačná hmotnost je rovna hmotnosti gravitační z výrazu „Síly vtištěné“ (pravé) jsou takové síly, u kterých je možné vysledovat jiného původce (nějaké další těleso). Existují i jiné síly – setrvačné – u kterých toto neplatí (například odstředivá síla na kolotoči).

57 Inerciální a neinerciální soustava Pojem pohybu tělesa nemá smysl, pokud jej nevztahujeme k jiným tělesům – je třeba určit nějakou vztažnou soustavu. Zákon setrvačnosti umožňuje zavést tzv. inerciální vztažnou soustavu. Soustava vytyčená kartézskými souřadnicemi a hodinami a je inerciální, platí-li v ní zákon setrvačnosti – tj. jsou-li všechny síly pravé (pochází od těles v soustavě). Kde najít pravou inerciální soustavu? Povrch Země lze za inerciální soustavu považovat přibližně – v krátkých časových úsecích, kde se rotace planety projeví minimálně. Soustavu spojenou s tělesem na oběžné dráze lze považovat za inerciální v blízkém okolí – tak, aby se neprojevily slapové síly. Soustavu spojenou se společným těžištěm Země a Měsíce lze považovat za inerciální, odhlédneme-li od obíhání Země kolem Slunce. Je docela dobře možné, že absolutně inerciální soustava ani neexistuje. To není známo. Nejvíce se jí blíží soustava, jejíž osy napevno míří ke vzdáleným hnízdům galaxií.

58 Inerciální a neinerciální soustava Inerciální soustava zaručeně není: Neinerciální soustavy Newtonovy zákony zde platí pouze zavedeme-li nepravé, setrvačné síly, které nemají původ v žádném tělesu.

59 Inerciální a neinerciální soustava R FdFd v Pozorovatel vně kolotoče vidí, že na rotující objekty působí pravá síla, která je urychluje směrem do středu a udržuje je na kruhové dráze. Jejími původci jsou šrouby, závěsy, řetízky sedaček a tak podobně. Z jeho pohledu je soustava inerciální. Pozorovatel na kolotoči naopak cítí, že je strháván směrem k okraji silou, jež nemá žádného zjevného původce – je to síla nepravá, setrvačná (je dána tendencí tělesa setrvávat v rovnoměrném přímočarém pohybu). Z jeho pohledu je soustava neinerciální. FoFo

60 Inerciální a neinerciální soustava Galileo Galilei Galileiho princip relativity Zákony mechaniky mají stejný tvar ve všech inerciálních vztaž- ných soustavách. Inerciální soustavy od sebe nejdou odlišit žádnými mechanickými experimenty – pomocí kyvadla, volného pádu či čehokoliv dalšího například nerozlišíme, zda plachetnice na klidně hladině stojí nebo jede vpřed, nevidíme-li z okénka. Souřadnice se při přechodech mezi dvěmi inerciálními soustavami převádějí pomocí Galileiho transformací: x1x1 y1y1 z1z1 x2x2 y2y2 z2z2 v S1S1 S2S2

61 Inerciální a neinerciální soustava x1x1 y1y1 z1z1 x2x2 y2y2 z2z2 v S1S1 S2S2 Pro jednoduchost se jedna soustava vůči druhé pohybuje podél osy x. Obecně by to samozřejmě šlo také, transformovalo by se pak ve všech třech osách. Odsud ihned plynou zákony o sčítání rychlostí a zároveň závěr fakt, že zrychlení je ve všech inerciálních soustavách stejné:

62 Impuls síly Fyzikální veličina impuls síly vyjadřuje časový účinek síly. Působí-li na HB konstantní síla (tj. HB se pohybuje s konstantním zrychlením) po dobu τ = t 2 – t 1, je impuls síly I dán součinem síly a tohoto času: Impuls síly je tedy roven změně hybnosti HB. Pokud síla konstantní v čase není (typicky při srážkách je časově ohraničena a její časový průběh má tvar jakéhosi ostrého „kopečku“), je třeba zavést I jako integrál : F tt1t1 t2t2 Povšimněte si formálního „krácení“ diferenciálů dt. Tato operace vyjadřuje, že funkci p nejprve derivujeme a pak integrujeme – tedy získáme původní funkci v nezměněné podobě. Pozn. : v praxi krátkodobý průběh síly při srážce obvykle neznáme a nahrazujeme jej nějakou střední hodnotou.

63 Práce a energie Fyzikální veličina práce vyjadřuje dráhový účinek síly. Působí-li na HB konstantní síla (a tedy konstantní zrychlení) na rovnoběžně se směrem pohybu po dráze s, je práce dána součinem Veličinu nazýváme kinetická energie. Práce síly podél dráhy je tedy rovna změně kinetické energie HB. Je-li síla časově proměnná a v obecném směru ke dráze částice, je třeba práci zavést jako integrál ze skalárního součnu skalární součin

64 Výkon Výkon je práce za jednotku času. Lze vyjádřit pro konstantní sílu Jednotka výkonu má rozměr kgm 2 s -3, a nazývá se Watt (W).

65 Potenciální síly Důležitý druh síly je takový, který lze vyjádřit pomocí nějaké funkce U(x, y, z) jako tedy pomocí gradientu. To je třeba případ centrálního gravitačního pole, kde síla působící na HB míří vždy do středu a roste s klesající vzdáleností. Taková síla se nazývá potenciální. Pokud funkce U nezávisí na čase, nazývá se potenciální energií. Lze vyjádřit totální diferenciál dU jako Diferenciál dU (a tedy i samotná funkce U) má zjevně rozměr práce a tedy energie. Význam je jasný – malý přírůstek U je roven malému přírůstku práce –F.ds. Znaménko – je zde proto, abychom působením proti silám pole zvyšovali energii HB.

66 Potenciální síly Známe-li tedy potenciální energii HB jako funkci souřadnic, pak určíme snadno sílu, která na HB působí a naopak: Zde nelze vypustit integrační konstantu – tj. potenciální energii známe vždy s přesností na konstantu. Tu ovšem můžeme volit libovolně jak se nám to hodí, takže například můžeme vynulovat potenciální energii na povrchu země, na stole, na střeše, na hranici atmosféry a podobně. Spočítejte potenciální energii v závislosti na vzdálenosti od povrchu země pro gravitační sílu. Uvažujte pouze jednorozměrný případ. Příklad Pozn. : Pokud bychom uvažovali 3D případ, museli bychom použít sférické souřadnice, ale konečný výsledek by byl tentýž.

67 Potenciální síly V poli potenciálních sil platí, že v každém bodě se součet kinetické a potenciální energie konstantní. Dále platí, že nezávisí, po jaké dráze síla práci vykonává – změny potenciální energie v kinetickou a opačně závisí pouze na počátečním a koncovém bodě. 1 2

68 Pohybové rovnice Z druhého Newtonova zákona plyne Pokud předpokládáme, že hmotnost tělesa se nemění (vůz neztrácí náklad, raketa nespaluje palivo), je potom Známe-li sílu, která na HB působí, pak můžeme najít závislost jeho rychlosti a polohy na čase řešením pohybové rovnice kde se na zrychlení díváme jako na druhou derivaci polohy. Pro výpočet musíme znát ještě tzv. počáteční podmínky – tj. známý stav tělesa v čase např. t = 0. Řešením takovéto rovnice není číslo, nýbrž funkce s ≡ s(t). Protože se v nich vyskytuje derivace, říká se takovým rovnicím diferenciální.

69 Pohybové rovnice Vektorovou pohybovou rovnici lze rozepsat do složek : a ve vší obecnosti tak máme tři diferenciální rovnice druhého řádu (tj. jsou v nich druhé derivace) a šest počátečních podmínek. Pokud pohyb probíhá po přímce, může se systém zjednodušit na rovnici jednu, případně na dvě, probíhá-li pohyb v rovině. V jednorozměrném případě pak hledáme funkci x(t) jako a integrační konstanty dopočítáváme z počátečních podmínek.

70 Pohybové rovnice Příklad Najděte závislost polohy a rychlosti na čase pro těleso, které se pohybuje v silovém poli závislém na poloze jako. Uvažujte, že tě- leso začíná pohyb v bodu rychlostí. x(t) y(t) h F I když takovéto pole by se fyzikálně těžko realizovalo, pohyb v něm spočítat můžeme. Zkoumejme pohybové rovnice Podívejme se nejprve na souřadnici x. Tam řešíme problém jelikož ale v V souřadnici x se těleso pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem :

71 Pohybové rovnice Příklad Najděte závislost polohy a rychlosti na čase pro těleso, které se pohybuje v silovém poli závislém na poloze jako. Uvažujte, že tě- leso začíná pohyb v bodu rychlostí. x(t) y(t) h F I když takovéto pole by se fyzikálně těžko realizovalo, pohyb v něm spočítat můžeme. Zkoumejme pohybové rovnice Podívejme se nyní na souřadnici y. Tam řešíme problém v Jelikož ale a tedy

72 Pohybové rovnice Příklad Najděte závislost polohy a rychlosti na čase pro těleso, které se pohybuje v silovém poli závislém na poloze jako. Uvažujte, že tě- leso začíná pohyb v bodu rychlostí. x(t) y(t) h F I když takovéto pole by se fyzikálně těžko realizovalo, pohyb v něm spočítat můžeme. Zkoumejme pohybové rovnice Dále platí v Jelikož ale a tedy

73 Pohybové rovnice Příklad Najděte závislost polohy a rychlosti na čase pro lineární oscilátor, ke síla je závislá na poloze jako F = -k.x. Volte obecné počáteční podmínky. Zjistěte energii tohoto systému. x F Rozložení síly je typické například pro těleso na pružině. V takovém případě se konstanta k nazývá tuhost pružiny (jaký má rozměr?). Pohybová rovnice vypadá takto : Přepišme si rovnici na tvar Druhá mocnina bude zřejmá v zápětí. Nyní musíme nějakým způsobem uhodnout, v jakém tvaru budeme řešení hledat. Řešit diferenciální rovnice „metodou uhodnutí“ je celkem běžné. Pokud nějakou funkci x(t) vyvěštíme z křišťálové koule, ověřit si, že skutečně rovnici řeší, je dílem okamžiku. Takže hádanka : která funkce, když ji dvakrát zderivujeme, dá sama sebe s opačným znaménkem? Odpověď : ano, je to například.

74 Pohybové rovnice Příklad Najděte závislost polohy a rychlosti na čase pro lineární oscilátor, ke síla je závislá na poloze jako F = -k.x. Volte obecné počáteční podmínky. x F Pro náš případ ale musíme funkci modifikovat následovně : Dosadíme-li tuto funkci do původní rovnice, zjistíme, že ji opravdu řeší : Rovnice harmonického oscilátoru je ve fyzice velmi častá a důležitá. Zkuste ji nezapomenout. Funguje nejen v mechanice, ale i v elektřině, kvantové mechanice a v mnoha dalších oblastech. Pro konkrétní aplikaci určíme z počáteční podmínek A a φ. Těmto veličinám se obvykle říká amplituda a fáze. Veličině ω říkáme úhlová frekvence a je vždy stejná pro daný oscilátor nehledě na počáteční podmínky.

75 Vlastnosti harmonického oscilátoru x A Pohyb harmonického oscilátoru úzce souvisí s pohybem na kružnici. Přes funkci sinus můžeme poloze oscilátoru jednoznačně přiřadit polohu bodu, který rovnoměrně obíhá kružnici. Parametry oscilátoru pak mají následující význam: Poloměr kružnice – maximální vzdálenost, kam HB na pružině „dosáhne“. Úhlová rychlost rotujícího bodu. Počáteční úhel rotujícího bodu. Je zřejmé, že po jednom oběhu se HB na kružnici dostane do výchozího bodu. To se stane v okamžiku, kdy ωt = 2π. Stejně tak se do původního stavu dostane oscilátor (HB má stejnou polohu i rychlost). Této době říkáme perioda a značíme ji T. Z výše uvedeného stavu plyne, že

76 Vlastnosti harmonického oscilátoru x A Někdy je výhodnější určit, kolik celých period „stihne“ oscilátor vykonat za jednu vteřinu. Této veličině říkáme frekvence a značíme ji f. Její jednotkou je s -1 = 1 Hertz. Frekvence, úhlová frekvence i perioda závisí pouze na konstrukci oscilátoru, zatímco amplituda a fáze závisí na počátečních podmínkách (počáteční výchylka), případně počáteční rychlost, kterou HB oscilátoru udělíme.

77 Pohybové rovnice x F Energii oscilátoru zjistíme snadno : kde aditivní konstantu jsme volili nulovou, takže U = 0 přesně uprostřed systému. Kinetická energie je pak Dosadíme-li za polohu a rychlost získáme Celková energie oscilátoru je konstantní.

78 Pohybové rovnice x F Protože x = A je největší možná výchylka oscilátoru, platí, že v extrémní poloze HB oscilátoru se tedy vlastně pohybuje v jakési „potenciálové jámě“ parabolického tvaru, kterou nemůže opustit. U x -A+A U max

79 Pohybové rovnice Příklad Najděte závislost polohy a rychlosti na čase pro lineární oscilátor, ke síla je závislá na poloze a na rychlosti jako F = -k.x – h.v. Toto reálný případ tlumeného oscilátoru se započítáním tření. Pohybová rovnice vypadá takto : Přepišme si rovnici na tvar Tato diferenciální rovnice je již obtížnější. Nicméně směr, který povede k řešení, můžeme vytušit. Která funkce se při derivacích nemění, pouze v závislosti na nějakém parametru mění znaménka a konstanty u sebe? Odpověď : ano, je to. Dosaďme ji do rovnice:

80 Pohybové rovnice Elementární úpravou jsme získali kvadratickou rovnici v parametru α. Řešme ji: Nyní tedy získáváme funkce, které řeší naši diferenciální rovnici, hned dvě: A kromě toho, jejich libovolná lineární kombinace řeší původní rovnici také (snadno ověříme). To všechno by v řešení mělo být – a také to tam snadno dostaneme, pokud prohlásíme, že řešení rovnice je výraz kde C 1 a C 2 hrají role integračních konstant.

81 Pohybové rovnice Toto je tedy zcela obecné řešení. Nyní si rozeberme několik případů. V první řadě je-li dekrement útlumu δ = 0, pak se musí rovnice zredukovat na obyčejný netlumený harmonický oscilátor z předchozího případu. Dosadíme-li za δ = 0, získáme Vzpomeňme si nyní na exponenciální zápis komplexních čísel : Z něj ihned plyne (po dosazení a využití sudosti kosinu a lichosti sinu) : Nyní si vzpomeňme na řešení rovnice z matematického aparátu fyziky. Provedeme stejnou úpravu.

82 Pohybové rovnice Převedeme (a pozor, jsme v komplexních číslech) : a získáme : Což je přesně závislost polohy na čase harmonického netlumeného oscilátoru. O.K. Položme si ale otázku, zda můžeme takovou substituci provést. Plyne z ní totiž, že C 1 a C 2 jsou k sobě komplexně sdružená čísla! Zůstaly nám tak opravdu dvě integrační konstanty? Ano : C 1 = u + iv, C 2 = u – iv, kde u a v jsou reálná čísla.

83 Pohybové rovnice Případ malého útlumu Předpokládejme, že. Odmocnina z diskriminantu je potom komplexní a můžeme zavést veličinu. Potom Harmonický oscilátor tedy normálně kmitá, jeho amplituda ale exponenciálně klesá. Pohyb oscilátoru tedy není přísně vzato periodický, ale nulovou výchylkou prochází vždy po stejném čase T/2.

84 Pohybové rovnice Případ silného útlumu Je-li, je diskriminant reálný a řešení pohybové rovnice neperiodické. Oscilátor pak nebude schopen „překmitnout“ přes nulovou hodnotu a průběh jeho polohy v závislosti na čase je na grafu. Pro nastává tzv. kritický útlum, zatímco režim, pro který platí se nazývá silné tlumení.

85 Rezonance Ukázková videa : Kmity na pružině

86 Rezonance Prozkoumejme případ, kdy na oscilátor bude působit ještě nějaká vnější síla s periodickým průběhem, která oscilátor rozkmitá, tedy F = -k.x – h.v + B.cos(Ωt). Toto reálný případ tlumeného a zároveň buzeného oscilátoru. Pohybovou rovnici přepíšeme na tvar což je lineární diferenciální rovnice druhého řádu s pravou stranou. Nebudeme se ani pokoušet ji řešit. Výsledek je, že vnější síla nakonec „vnutí“ oscilátoru svoji frekvenci Ω: nicméně velikost amplitudy A bude záviset na tom, jak „blízko“ je vnucená frekvence Ω vlastní frekvenci oscilátoru ω (jež závisí na konstrukci oscilátoru, jak jsme si řekli). Závislost vypadá následovně:

87 Rezonance Ω A malé δ velké δ Závislosti amplitudy na frekvenci buzení se říká rezonanční křivka. Pro Ω = ω je amplituda největší a systém je tzv. v rezonanci. Rezonanční jevy jsou ve fyzice a technice nesmírně důležité. S oscilátory a rezonancí se setkáme nejen v mechanice, ale zejména v elektrotechnice.

88 Rezonance Ukázková videa : Tom & Jerry, Most v Tacomě

89 Matematické kyvadlo l m g F g =mg F=m.g.sinφ Problém řešíme v polárních souřadnicích. Protože závěs je pevně dané délky, je zrychlení od resp. do středu soustavy nulové a nenulové je pouze tečné: Tato diferenciální rovnice je analyticky neřešitelná. Pomůžeme si tím, že rozvineme sinus do Taylorovy řady a vezmeme jen první lineární člen : Tak získáme rovnici harmonického oscilátoru, která ale platí jen pro velmi malé výchylky :

90 Shrnutí Veličiny a jednotky, soustava SI Rozměrová analýza Souřadné systémy Kinematika hmotného bodu Závislost dráhy na čase, šikmé vrhy Dynamika hmotného bodu Inerciální a neinerciální soustavy, Galileiho transformace Impuls síly, práce, energie, výkon Potenciální síly a energie Pohybové rovnice Vlastnosti normálního a tlumeného harmonického oscilátoru Rezonance


Stáhnout ppt "Jednotky a veličiny Základem jak fyziky, tak techniky a i mnoha dalších lidských činností je měření a pozorování množství a kvality. Již od pravěku lidé."

Podobné prezentace


Reklamy Google