Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA RNDr. Petr Budinský, CSc.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA RNDr. Petr Budinský, CSc."— Transkript prezentace:

1 FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA RNDr. Petr Budinský, CSc.

2 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 2 FINANČNÍ MATEMATIKA Budoucí hodnota při různých typech úročení

3 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 3 Příklad: Uvažujme FV = Kč a úrokovou sazbu r = 12 %. Jak se zhodnotí uvedená investice během 3 let. … … Příklad: Uvažujme FV = Kč a úrokovou sazbu r = 12 %. Jak se zhodnotí uvedená investice během 3 let. … …

4 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 4 Současná hodnota vypočtená z budoucí hodnoty

5 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 5 Příklad: Uvažujme peněžní toky dané následující tabulkou a úrokovou mírou r = 6 %, přičemž úroky jsou připisovány: a) jedenkrát ročně Příklad: Uvažujme peněžní toky dané následující tabulkou a úrokovou mírou r = 6 %, přičemž úroky jsou připisovány: a) jedenkrát ročně

6 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 6 Příklad: Uvažujme peněžní toky dané následující tabulkou a úrokovou mírou r = 6 %, přičemž úroky jsou připisovány: b) spojitě Příklad: Uvažujme peněžní toky dané následující tabulkou a úrokovou mírou r = 6 %, přičemž úroky jsou připisovány: b) spojitě

7 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 7 Výnosové procento (výnos) při pevných peněžních tocích

8 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 8 Rovnosti a nerovnosti mezi výnosy

9 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 9 Příklad: Investujeme částku P = Kč na dobu 5 let, přičemž po 5 letech inkasujeme částku FV = Kč. Příklad: Investujeme částku P = Kč na dobu 5 let, přičemž po 5 letech inkasujeme částku FV = Kč.

10 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 10 Příklad: Uvažujme půjčku Kč na 10 let. Tato půjčka je splácena v pravidelných ročních splátkách (ve stejné výši) tak, aby poskytovala výnos y (1) = 8 % p. a. Příklad: Uvažujme půjčku Kč na 10 let. Tato půjčka je splácena v pravidelných ročních splátkách (ve stejné výši) tak, aby poskytovala výnos y (1) = 8 % p. a. Z této splátky bude činit splátka úroků a o zbylou částku ,49 Kč se sníží splácená částka - zbytková část bude tedy činit ,51 Kč. Z této splátky bude činit splátka úroků a o zbylou částku ,49 Kč se sníží splácená částka - zbytková část bude tedy činit ,51 Kč = C (1/(1+ y) + 1/(1+ y) /(1+ y) 10 ) = C[1-1/(1 + y) 10 ]/y C = ⋅ 0,08/[1 −1/1,08 10 ] = ,49 Kč

11 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 11 Tabulka splátek

12 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 12 Dluhopisy

13 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 13 Součtový vzorec pro cenu dluhopisu

14 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 14 Pravidla pro dluhopisy Pravidlo 1: Je-li výnos y roven kupónové sazbě c, potom je cena dluhopisu P rovna jeho nominální hodnotě FV; je-li výnos y větší, resp. menší než kupónová sazba c, potom cena dluhopisu P je menší, resp. větší než nominální hodnota FV. Pravidlo 1: Je-li výnos y roven kupónové sazbě c, potom je cena dluhopisu P rovna jeho nominální hodnotě FV; je-li výnos y větší, resp. menší než kupónová sazba c, potom cena dluhopisu P je menší, resp. větší než nominální hodnota FV. Pravidlo 2: Jestliže cena dluhopisu vzroste, resp. klesne, má to za následek snížení, resp. zvýšení výnosu dluhopisu. Obráceně: pokles, resp. vzestup úrokových sazeb (výnosů) má za následek vzestup, resp. pokles cen dluhopisů Pravidlo 2: Jestliže cena dluhopisu vzroste, resp. klesne, má to za následek snížení, resp. zvýšení výnosu dluhopisu. Obráceně: pokles, resp. vzestup úrokových sazeb (výnosů) má za následek vzestup, resp. pokles cen dluhopisů

15 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 15 Pravidlo 3: Prodává-li se dluhopis s diskontem, resp. s prémií, potom v případě, že se výnos dluhopisu nezmění, snižuje se výše diskontu, resp. prémie se zkracováním doby do splatnosti dluhopisu. Pravidlo 3: Prodává-li se dluhopis s diskontem, resp. s prémií, potom v případě, že se výnos dluhopisu nezmění, snižuje se výše diskontu, resp. prémie se zkracováním doby do splatnosti dluhopisu. Pravidlo 4: Prodává-li se dluhopis s diskontem, resp. s prémií, potom v případě, že se výnos dluhopisu nemění, diskont, resp. prémie se snižuje se zvyšující se rychlostí s tím, jak se doba do splatnosti dluhopisu zkracuje. Pravidlo 4: Prodává-li se dluhopis s diskontem, resp. s prémií, potom v případě, že se výnos dluhopisu nemění, diskont, resp. prémie se snižuje se zvyšující se rychlostí s tím, jak se doba do splatnosti dluhopisu zkracuje. Pravidla pro dluhopisy

16 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 16 Pravidla pro dluhopisy Pravidlo 5: Pokles ve výnosu dluhopisu vede ke zvýšení ceny dluhopisu o částku vyšší než je částka (v absolutní hodnotě) odpovídající snížení ceny dluhopisu stejně velkém vzestupu ve výnosu dluhopisu. Pravidlo 5: Pokles ve výnosu dluhopisu vede ke zvýšení ceny dluhopisu o částku vyšší než je částka (v absolutní hodnotě) odpovídající snížení ceny dluhopisu stejně velkém vzestupu ve výnosu dluhopisu. Příklad: Uvažujme 5letý dluhopis s nominální hodnotou FV = Kč, kupónovou sazbou c = 10 % a výnosem y = 14 %. Příklad: Uvažujme 5letý dluhopis s nominální hodnotou FV = Kč, kupónovou sazbou c = 10 % a výnosem y = 14 %. Výnos12 %13 %14 %15 %16 % Cena927,90894,48862,68832,39803,54 Přírůstek65,2231,800-30,29-59,14

17 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 17 Pokračování příkladu: Pokračování příkladu: Pravidla pro dluhopisy

18 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 18 Závislost ceny dluhopisu na zbytkové době do splatnosti

19 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 19 Oceňování dluhopisu - obecně

20 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 20 A + B = 360 A + B = 360

21 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 21 Příklad: Uvažujme 5letý dluhopis s nominální hodnotou FV = Kč vydaný se splatností a s kupónovou sazbou C = 14,85 %. Výnos toho to dluhopisu byl y = 7 % ke dni Příklad: Uvažujme 5letý dluhopis s nominální hodnotou FV = Kč vydaný se splatností a s kupónovou sazbou C = 14,85 %. Výnos toho to dluhopisu byl y = 7 % ke dni

22 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 22 Citlivost cen dluhopisů na změny ve výnosech Modifikovaná durace dluhopisu D mod je kladné číslo, které vyjadřuje, o kolik procent se zvýší, resp. sníží cena dluhopisu, jestliže se výnosy sníží, resp. zvýší o 1 %. Modifikovaná durace dluhopisu D mod je kladné číslo, které vyjadřuje, o kolik procent se zvýší, resp. sníží cena dluhopisu, jestliže se výnosy sníží, resp. zvýší o 1 %.

23 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 23 Macaulayova durace

24 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 24 Macaulayova durace

25 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 25 Příklad: Parametry dluhopisu jsou následující: FV = Kč, n = 5, c = 10 %, y = 14 %. Příklad: Parametry dluhopisu jsou následující: FV = Kč, n = 5, c = 10 %, y = 14 %.

26 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 26 Závislost durace na C, Y a n

27 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 27 Závislost durace na době do splatnosti n

28 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 28 Odhad změny ceny dluhopisu Příklad : Příklad : a) a) b) b)

29 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 29 Konvexita dluhopisu Konvexita je někdy nazývána „zakřivením“ dluhopisu. Konvexita je někdy nazývána „zakřivením“ dluhopisu.

30 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 30 Výpočet konvexity CX = 2/y 2 CX = 2/y 2

31 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 31 INVESTIČNÍ MATEMATIKA Rizika při investicích do dluhopisových portfolií

32 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 32 Příklad: Uvažujme pětiletý bezkupónový dluhopis, který má nominální hodnotu FV = Kč a poskytuje výnos y = 4 %. Do tohoto dluhopisu investujeme a) na 3 roky Příklad: Uvažujme pětiletý bezkupónový dluhopis, který má nominální hodnotu FV = Kč a poskytuje výnos y = 4 %. Do tohoto dluhopisu investujeme a) na 3 roky

33 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 33 Příklad b) na 7 let Příklad b) na 7 let

34 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 34 Investiční horizont X Durace Investujeme-li do konkrétního dluhopisu a je-li náš investiční horizont příliš: krátký - utrpíme ztrátu při vzestupu výnosů („kapitálová ztráta“ > „vnos z reinvestic“) dlouhý - utrpíme ztrátu při poklesu výnosů („ztráta z reinvestice“ > „kapitálový výnos“) Investujeme-li do konkrétního dluhopisu a je-li náš investiční horizont příliš: krátký - utrpíme ztrátu při vzestupu výnosů („kapitálová ztráta“ > „vnos z reinvestic“) dlouhý - utrpíme ztrátu při poklesu výnosů („ztráta z reinvestice“ > „kapitálový výnos“) Je-li investiční horizont roven (Macaulayově) duraci dluhopisu, potom je „kapitálová ztráta“, resp. „ztráta z reinvestic“ pokryta „výnosem z reinvestic“, resp. „kapitálovým výnosem“, a to při vzestupu i při poklesu výnosů. Je-li investiční horizont roven (Macaulayově) duraci dluhopisu, potom je „kapitálová ztráta“, resp. „ztráta z reinvestic“ pokryta „výnosem z reinvestic“, resp. „kapitálovým výnosem“, a to při vzestupu i při poklesu výnosů.

35 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 35 Příklad: Uvažujme 8letý dluhopis, který má nominální hodnotu FV = Kč s kupónovou sazbou c = 9,2 % a výnosem y = 9,2 %. Pomocí tohoto dluhopisu budeme postupně investovat na 1 rok, 2 roky, 3 roky, …, 8 let. Budeme tedy postupně předpokládat 8 nákupu uvedeného dluhopisu. Tyto scénáře předpokládají postupně výnosy ve výši 8,4 %, 8,8 %, 9,2 % (nezměněný výnos), 9,6 % a 10 %. Kombinací zvolené investiční strategie s konkrétním scénářem vývoje výnosů dostaneme 40 různých možností. Pro každou z těchto možností vypočteme výnos k příslušnému investičnímu horizontu. Všechny výsledky jsou shrnuty v tabulce s tím, že každá možnost je popsána blokem, který nazveme hnízdem. Cena dluhopisu P = Kč. Příklad: Uvažujme 8letý dluhopis, který má nominální hodnotu FV = Kč s kupónovou sazbou c = 9,2 % a výnosem y = 9,2 %. Pomocí tohoto dluhopisu budeme postupně investovat na 1 rok, 2 roky, 3 roky, …, 8 let. Budeme tedy postupně předpokládat 8 nákupu uvedeného dluhopisu. Tyto scénáře předpokládají postupně výnosy ve výši 8,4 %, 8,8 %, 9,2 % (nezměněný výnos), 9,6 % a 10 %. Kombinací zvolené investiční strategie s konkrétním scénářem vývoje výnosů dostaneme 40 různých možností. Pro každou z těchto možností vypočteme výnos k příslušnému investičnímu horizontu. Všechny výsledky jsou shrnuty v tabulce s tím, že každá možnost je popsána blokem, který nazveme hnízdem. Cena dluhopisu P = Kč.

36 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 36

37 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 37

38 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 38 Durace dluhopisového portfolia

39 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 39 Příklad: Příklad:

40 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 40

41 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 41 Konvexita dluhopisového portfolia

42 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 42 Vliv konvexity na chování dluhopisových portfolií

43 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 43 Derivátové kontrakty

44 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 44 Forwardový kontrakt

45 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 45 Opční kontrakt

46 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 46 Grafy zisku a ztrát z opcí

47 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 47 Portfolia složená z opcí

48 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 48 Býčí strategie (Bullish Spread)

49 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 49 Medvědí strategie (Bearish Spread)

50 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 50 Motýlí strategie (Butterfly Spread)

51 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 51 Strategie kondora (Condor Spread)

52 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 52 Dolní V - kombinace opcí put a call (Bottom Straddle)

53 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 53 Dolní U - kombinace opcí put a call (Bottom Strangle)

54 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 54 Zajištění akcie proti poklesu (Hedging)

55 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 55 Příklad: Příklad:

56 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 56

57 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 57 Parita put-call

58 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 58 Příklad: Uvažujme 6měsíční call opci s uplatňovací cenou X = 100 Kč na akcii, jejíž cena S t = 100 Kč. Cena této opce c t = 10 Kč, úroková míra r = 8 % p.a. (spojité úročení). Vypočteme „spravedlivou“ cenu put opce se stejnou uplatňovací cenou. Cena put opce je p = 5 Kč místo ceny vypočtené na základě parity put a call opcí (6,08 Kč). Put opce je tedy nadhodnocena (nebo call opce podhodnocena), což umožňuje realizovat čistý zisk ve výši Příklad: Uvažujme 6měsíční call opci s uplatňovací cenou X = 100 Kč na akcii, jejíž cena S t = 100 Kč. Cena této opce c t = 10 Kč, úroková míra r = 8 % p.a. (spojité úročení). Vypočteme „spravedlivou“ cenu put opce se stejnou uplatňovací cenou. Cena put opce je p = 5 Kč místo ceny vypočtené na základě parity put a call opcí (6,08 Kč). Put opce je tedy nadhodnocena (nebo call opce podhodnocena), což umožňuje realizovat čistý zisk ve výši

59 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 59 Dlouhá pozice Dlouhá pozice Krátká pozice Krátká pozice


Stáhnout ppt "FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA RNDr. Petr Budinský, CSc."

Podobné prezentace


Reklamy Google