Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Přednáška 1 Úvod do teorie pravděpodobnosti – Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti – Co je to pravděpodobnost? – Kolmogorovův axiomatický systém –

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Přednáška 1 Úvod do teorie pravděpodobnosti – Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti – Co je to pravděpodobnost? – Kolmogorovův axiomatický systém –"— Transkript prezentace:

1 Přednáška 1 Úvod do teorie pravděpodobnosti – Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti – Co je to pravděpodobnost? – Kolmogorovův axiomatický systém – Věta o úplné pravděpodobnosti, Bayesova věta Statistika, FEI, VŠB-TU Ostrava © Litschmannová, 2014

2 Úvod do teorie pravděpodobnosti

3 Počátky teorie pravděpodobnosti – 17. století Blaise Pascal (1623 – 1662) zdroj: Pierre de Fermat (1601 – 1665) zdroj: kids.britannica.com Jak rozdělit spravedlivě bank mezi hráče, byla-li série hazardních her ukončena předčasně?

4 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Deterministické pokusy Náhodné pokusy X Pokus – děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně za určitých, stejně nastavených, počátečních podmínek. Za určitých počátečních podmínek se dostaví vždy stejný výsledek. Pro určité počáteční podmínky existuje množina možných výsledků, přičemž jeden z nich nastane.

5 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Hod kostkou

6 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Stanovení množství cholesterolu v krvi

7 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Měření počtu požadavků za určité období

8 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, …). Hod kostkou Padne šestka.

9 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, …). Hod kostkou Padne sudé číslo.

10 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, …). Zjištěná hodnota cholesterolu bude odpovídat normě. Pro laika v oboru nutno specifikovat!!! Stanovení množství cholesterolu v krvi

11 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, …). Během jedné hodiny bude vytvořeno více než 300 funkčních požadavků. Měření počtu požadavků za určité období

12 Základní pojmy • Náhodný pokus – konečný děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá • Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o jehož pravdivosti můžeme po ukončení pokusu rozhodnout (značíme A, B, X, Y, …) • Elementární jev ω – jednotlivý výsledek náhodného pokusu (nelze jej vyjádřit jako sjednocení dvou různých jevů) • Základní prostor Ω – množina všech elementárních jevů • Náhodný jev (jinak) – libovolná podmnožina základního prostoru

13 Typy jevů Padne „7“. Jev nemožný Padne méně než „7“. Jev jistý Padne „6“. Jev náhodný 

14 Vybrané vztahy mezi jevy jevy disjunktní

15 Co je to pravděpodobnost? Číselné vyjádření šance, že při náhodném pokusu daný jev nastane. Jak pravděpodobnost definovat?

16 Klasická definice pravděpodobnosti (Pierre Simon de Laplace, 1812) Mějme „férovou“ hrací kostku. Jaká je pravděpodobnost, že padne „6“? Označme: A … padne „6“, pak

17 Statistická definice pravděpodobnosti (Richard von Mises, počátek 20. století) Počet realizací pokusu příznivých jevu A Počet všech realizací pokusu Jaká je pravděpodobnost padnutí „6“ na hrací kostce, nevíme-li, zda je tato kostka „férová“?

18 Statistická definice pravděpodobnosti Relativní četnost jevu "padne 6"

19 Geometrická pravděpodobnost Zobecnění klasické pravděpodobnosti pro případ, kdy počet všech možných výsledků náhodného pokusu je nespočetný. V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A. Pravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je: Jaká je pravděpodobnost, že meteorit dopadl na pevninu?

20 Tramvaj jezdí v 10 minutových intervalech. Jaká je pravděpodobnost, že Petr, který nezná jízdní řád, bude na tramvaj čekat déle než 3 minuty?  0310

21 Tramvaj jezdí v 10 minutových intervalech. Jaká je pravděpodobnost, že Petr, který nezná jízdní řád, bude na tramvaj čekat déle než 3 minuty?  0310 A

22 Dva známí se domluví, že se sejdou na určitém místě mezi 15. a 16. hodinou, přičemž doba čekání je 20 minut. Jaká je pravděpodobnost, že se při této dohodě setkají? 0 60  A 20

23 Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou kladných čísel menších než 1 bude nejvýše 1 a zároveň jejich součin bude menší než 2/9 ?  1/3 2/ x y Průsečíky: A

24 Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou kladných čísel menších než 1 bude nejvýše 1 a zároveň jejich součin bude menší než 2/9 ?  1/3 2/ x y A

25 Kolmogorovův axiomatický systém (Andrej Nikolajevič Kolmogorov, 1933) • Definuje pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudává však žádný návod k jejímu stanovení. 1.Pravděpodobnost každého jevu A je reálné číslo mezi 0 a 1 (včetně). 2.Pravděpodobnost, že nějaký jev nastane (pravděpodobnost jevu jistého) je rovna 1. 3.Pravděpodobnost, že nastane některý z navzájem se vylučujících jevů, je rovna součtu jejich pravděpodobností. A to pro každých spočetně mnoho jevů.

26 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. Označme: C … náhodně vybraný útvar je červený

27 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich.

28

29

30

31

32

33 Podmíněná pravděpodobnost P(A|B) čti „pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B“ tj. pravděpodobnost jevu, za předpokladu, že nastal určitý jiný jev.

34 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich.

35

36 1.V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich.

37 Podmíněná pravděpodobnost P(A|B) čti „pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B“ tj. pravděpodobnost jevu, za předpokladu, že nastal určitý jiný jev.

38 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich.

39

40

41

42 Vybrané vlastnosti pravděpodobnosti

43 Pan Ondra Hypoch tak dlouho obtěžoval lékaře, až mu lékař napsal prášky. V příbalovém letáku se Ondra dočetl, že mají dva možné nežádoucí účinky: a) vypadání zubů (15%), b) upadnutí palců na rukou (20%). Zároveň je v letáku napsáno, že nebyla prokázána závislost mezi výskytem jednotlivých typů nežádoucích účinků. S jakou pravděpodobností se bude moci Ondra po ukončení léčby kousnout do palce? (dle: Luboš Pick; přednáška „Dirichletovy šuplíčky“ na semináři OSMA)Dirichletovy šuplíčkyOSMA

44 Jaká je pravděpodobnost, že na kostce nepadne ani sudé ani liché číslo? Něco je tady špatně! Ale co??? Opravte chybu!

45 Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že a) v prvním tahu vytáhneme bílou kuličku, JevDefinice jevu B1při první realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulička C1při první realizaci náh. pokusu byla vytažena černá kulička B2při druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulička C2při druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena černá kulička 10 ks5 ks

46 Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že b) vytáhli-li jsme v prvním tahu bílou kuličku, ve druhém tahu vytáhneme taky bílou kuličku, 10 ks5 ks 1. tah 2. tah (byla-li v 1. tahu vytažena bílá kulička) 10 ks4 ks

47 Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že c) ve dvou tazích vytáhneme 2 bílé kuličky,

48 Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že c) ve dvou tazích vytáhneme 1 bílou a 1 černou kuličku, nebo

49 Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že c) ve druhém tahu vytáhneme bílou kuličku, nebo Pokus probíhající po etapách … možnost záznamu pomocí rozhodovacího (stochastického) stromu

50 Věta o úplné pravděpodobnosti

51 70% 30% Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy?

52 70% 30% 80%20% Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy?

53 70% 30% 80%20% 10%90% Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy?

54 70% 30% 80%20% 10%90% Pravoúhlý Vennův diagram

55 0,06 0,63 0,24 0,07

56 Rozhodovací strom Studenti D DV KV CH DV KV Pohlaví Délka vlasů

57 Studenti D DV KV CH DV KV Pohlaví Délka vlasů

58 Bayesův teorém Thomas Bayes (1702 – 1761) zdroj:

59 70 % Apriorní pravděpodobnost Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. A) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec?

60 Aposteriorní pravděpodobnost Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. B) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec?

61 Studenti D DV KV CH DV KV Daný stav Výsledek testu

62 Aposteriorní pravděpodobnost Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. B) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec?

63 Rodina má dvě děti. A) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.

64 Rodina má dvě děti. A) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery?

65 Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce. Rodina má dvě děti. A) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery?

66 Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce. Rodina má dvě děti. A) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery?

67 Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce. Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka. B) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery?

68 Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce. Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka. B) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery?

69 Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce. Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka. B) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery?

70 Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce. Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka. B) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery?

71 Označme: K …dítě je pojmenováno Kleopatra i - té dítě je dívka i – té dítě je chlapec Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra. C) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery?

72 0, , , , , , Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra. C) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery?

73 0, , , , , , Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra. C) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery?

74 0, , , , , , Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra. C) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery?

75 0, , , , , , Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra. C) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery?

76 Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Marie. D) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery?

77 A co tenhle? Dokážete najít řešení? Na zemi vypukla zákeřná nemoc. Tato nemoc je velice krutá, zabíjí každého, kdo tuto nemoc dostane. Bez výjimky. Žádné účinné léky na tuto nemoc neexistují. Nicméně tato nemoc zasáhne pouze jednoho člověka z desetitisíce. Martin si dělá starosti o své zdraví, a proto, aniž by měl jakékoliv příznaky, se rozhodne, že zajde k lékaři, aby mu stanovil diagnózu. Lékař mu vysvětlí, že vyšetření na tuto chorobu je úspěšné v 99 % případů. A je už jedno, zda tuto nemoc máte (senzitivita testu), nebo nemáte (specificita testu). Vyšetření má vždy pouze 99% úspěšnost, v 1 % případů lékař určí špatnou diagnózu. Martin podstoupí vyšetření a za chvíli se dozví výsledek. Výsledek je pozitivní, podle vyšetření Martin tuto zákeřnou nemoc skutečná má. Martinovi se zatmělo před očima a už si šel vybírat rakev. Opravdu je to tak nutné? Jaká je pravděpodobnost, že Martin tuto nemoc máJaká je pravděpodobnost, že Martin tuto nemoc má? Jak by se tato pravděpodobnost změnila, pokud by opakovaný (nezávislý) test vyšel negativní?

78 A nyní byste měli dokázat vyřešit i narozeninový problém a Monty Hallův paradox!

79 Kdyby na tuto přednášku přišli všichni studenti prezenčního studia, kteří mají zapsán předmět Statistika, bylo by v posluchárně 210 studentů. Jaká je pravděpodobnost, že by mezi těmito studenty byli alespoň dva studenti, kteří mají narozeniny ve stejný den?

80 Soutěžní cena – auto – je umístěna náhodně za jedny ze tří dveří. Za každými ze zbývajících dveří je cena útěchy – koza. Úkolem soutěžícího je zvolit si jedny dveře. Poté moderátor otevře jedny ze dvou zbývajících dveří, ale jen ty, za nimiž je koza. Teď má soutěžící možnost buď ponechat svou původní volbu, nebo změnit volbu na zbývající dveře. Soutěžící vyhrává cenu, která je za dveřmi, které si zvolil. Soutěžící nemá žádné předchozí znalosti, které by mu umožnily odhalit co je za dveřmi. Zvýší se šance na výhru auta, pokud soutěžící změní svou původní volbu?

81 Děkuji za pozornost!


Stáhnout ppt "Přednáška 1 Úvod do teorie pravděpodobnosti – Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti – Co je to pravděpodobnost? – Kolmogorovův axiomatický systém –"

Podobné prezentace


Reklamy Google