Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Shodná zobrazení. Shodné zobrazení (shodnost) Definice: Prosté zobrazení v rovině nazýváme shodným zobrazením (shodnost), právě když pro každé dva body.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Shodná zobrazení. Shodné zobrazení (shodnost) Definice: Prosté zobrazení v rovině nazýváme shodným zobrazením (shodnost), právě když pro každé dva body."— Transkript prezentace:

1 Shodná zobrazení

2 Shodné zobrazení (shodnost) Definice: Prosté zobrazení v rovině nazýváme shodným zobrazením (shodnost), právě když pro každé dva body X, Y roviny a jejich obrazy X´, Y´ v tomto zobrazení platí:  X´Y´  =  XY  Dělení shodností:  Přímá shodnost  Nepřímá shodnost

3 Přímá shodnost Nepřímá shodnost (zrcadlový obraz) B A C LK M Platí:  AB  =  KL   BC  =  LM   AC  =  KM  B A C K L M Platí:  AB  =  KL   BC  =  LM   AC  =  KM  SHODNÁ ZOBRAZENÍ

4 Identické zobrazení (identita)  zvláštní případ shodnosti  přiřazuje bodu X dané roviny bod X´s ním totožný: X´ = X SHODNÁ ZOBRAZENÍ

5 Shodné zobrazení, které není identitou, lze realizovat pohybem (přemístěním). Př. 1: SHODNÁ ZOBRAZENÍ Př. 2:

6 Obr. : přímá shodnost Pouhým otočením či posunutím vzoru (  ABC) dostaneme obraz (  KLM). Obr. : nepřímá shodnost Obraz (  KLM) dostaneme překlopením, tedy zrcadlovým obrazem (  ABC). B A C LK M SHODNÁ ZOBRAZENÍ B A C K L M Platí:  AB  =  KL   BC  =  LM   AC  =  KM  zrcadlo Platí:  AB  =  LK   BC  =  KM   AC  =  LM 

7 Typy shodných zobrazení:  Středová souměrnost  Osová souměrnost  Posunutí  Otočení SHODNÁ ZOBRAZENÍ

8 Středová souměrnost Definice: Nechť je dán bod S. Středová souměrnost se středem S je shodné zobrazení, které každému bodu X přiřadí jeho obraz, bod X´ tak, že platí: 1) pro X  S; X´leží na přímce XS a  X´S  =  XS  2) pro X = S; X´ = X =S Zápis: S(S): X→ X´

9 Obraz bodu: S(N):A → A´ Postup konstrukce: 1. A,N 2. ⇥ AN 3. n; n(N;  AN  ) 4. A´; A´  n  ⇥ AN x A´ xAxA xNxN Z definice víme: 1.  AN  =  A´N  2. N je střed úsečky AA´ n STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST

10 Obraz úsečky: S(N):AB → A´B´ Postup konstrukce: 1. AB,N 2. ⇥ AN 3. n; n(N;  AN  ) 4. A´; A´  n  ⇥ AN 5. ⇥ BN 6. m; m(N;  BN  ) 7. B´; B´  m  ⇥ BN 8. A´B´ x A´ xAxA xNxN Z definice víme: 1.  AN  =  A´N  1.  BN  =  B´N  2. N je střed úsečky AA´2. N je střed úsečky AB´ n xBxB x B´ m STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST

11 Obraz kružnice: S(N):k(O,r) → k´(O´, r) XOXO X N X O´ k´ Postup konstrukce: 1. k(O,r), N 2. přímka ON 3. m; m(N,  ON  ) 4. O´; O´  n  přímka ON 5. k´; k´(O´,r) Přesnější konstrukce 6. X; X  k (libovolný) 7. X´; S(N): X → X 8. k´; k´(O´,X´O) XXXX X X´ STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST Z definice víme: 1.  ON  =  O´N  2. N je střed úsečky OO´ 3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. (každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´) k m

12 Obraz útvaru: S(N):u → u´ C A B XNXN X C´ X B´ X A´ Postup konstrukce: 1.  ABC, N 2. A´; S(N):A → A´ 3. B´; S(N):B → B´ 4. C´; S(N):C → C´ 5.  A´B´C´ STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme. Př.: S(N):  ABC →  A´B´C´

13 Osová souměrnost Definice: Nechť je dána přímka o. Osová souměrnost s osou o je shodné zobrazení, které každému bodu X přiřadí jeho obraz bod X´ tak, že platí: 1) pro X  o; X´leží na kolmici k ose o a osa o půlí úsečku X´X (tj.  oX  =  oX´  2) pro X  o; X´= X Zápis: O(o): X → X´

14 Zobrazení bodu: O(o):A  A´ Postup konstrukce: 1. A, o 2. p; p  o; A  o 3. P; P  o  p 4. k; k(P;  XP  ) 5. A´; A´  p  k XAXA X A´ o p k OSOVÁ SOUMĚRNOST Z definice víme: 1.A´ leží na přímce kolmé k ose o. 2. Osa o půlí úsečku AA´. XPXP

15 Obraz úsečky: O(o):AB → A´B´ Postup konstrukce: 1. AB, o 2. a; a  o; A  o 3. P; P  a  o 4. k; k(P;  XP  ) 5. A´; A´  a  k 6. b; b  o; B  o 7. Q; Q  o  p 8. l; l(Q;  XQ  ) 9. B´; B´  b  l 10. A´B´ XAXA o a k XBXB XPXP b l XQXQ X A´ X B´ OSOVÁ SOUMĚRNOST Z definice víme: 1.A´ leží na přímce kolmé k ose o. 3.B´ leží na přímce kolmé k ose o. 2. Osa o půlí úsečku AA´. 4. Osa o půlí úsečku AA´.

16 Obraz kružnice: O(o):k(S,r) → k´(S´, r) OSOVÁ SOUMĚRNOST Postup konstrukce: 1. k(S,r), o 2. p; p  o; S  o 3. P; P  p  o 4. l; l(P;  SP  ) 5. S´; S´  l  p 6. k´; k´(S´, r) Přesnější konstrukce: 6. X ; X  k (X je libovolný) 7. O(o):X → X´ 8. k´; k´(S´,S´X´) Z definice víme: 1. O´ leží na přímce kolmé k ose o. 2. Osa o půlí úsečku OO´. 3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. (každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´) xSxS k o xPxP l p x S´ k´ xXxX x X´

17 Obraz útvaru: O(o):u → u´ OSOVÁ SOUMĚRNOST BA C o Postup konstrukce: 1.  ABC, N 2.A´; O(o):A → A´ 3.B´; O(o):B → B´ 4.C´; O(o):C → C´ 5.  A´B´C´ x C´ x x A´ = B´ Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme. Př.: O(o):  ABC →  A´B´C´

18 Posunutí Definice: Nechť je dána orientovaná úsečka AB. Posunutí je shodné zobrazení, které každému, bodu X přiřadí jeho obraz, bod X´ tak, že  XX´  =  AB , XX´  AB a jsou souhlasně orientované. Předpis: T(AB): X → X´

19 Zobrazení bodu: T(AB): X  X´ Postup konsturkce: 1. AB, X 2. ⇥ XY; XY  AB 3. k; k(X, AB) 4. X´; X´  k  p POSUNUTÍ Z definice víme: 1.XX´ a AB jsou souhlasně orientované 2.  XX´  =  AB  xAxA xBxB xXxX xYxY x X´ k

20 POSUNUTÍ Postup konstrukce: 1. AB, KL 2. ⇥ KX; KX  AB 3. k; k(K, AB) 4. K´; K´  k  ⇥ KX 5. ⇥ LY; LY  AB 6. l; l(L, AB) 7. L´; L´  l  ⇥ LY 8. K´L´ Obraz úsečky: T(AB):KL → K´L´ xAxA xBxB xKxK xLxL x K´ x L´ k l xXxX xYxY Z definice víme: 1.KK´ a AB jsou souhlasně orientované. LL´ a AB jsou souhlasně orientované., 2.  KK´  =  AB ,  LL´  =  AB .

21 Obraz kružnice: T(AB):k(S,r) → k´(S´, r) Postup konstrukce: 1. AB, k (S,r) 2. ⇥ SX; SX  AB 3. l; l(S, AB) 4. S´; S´  l  SX 5. k´; k´( S´, r) Přesnější konstrukce: 5. K; K  k (K libovolný) 6. ⇥ KY; KY  AB 7. m; m(K, AB) 8. K´; K´  m  KY 9. k´; k´(S, SK) Z definice víme: 1. SS´ je souhlasně orientovaná s AB 2.  SS´  =  AB . 3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. (každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´) xAxA xBxB x S x S´ k´ k xKxK xYxY xXxX l m x K´ POSUNUTÍ

22 Obraz útvaru: T(AB):u → u´ M K L Postup konstrukce: 1.  KLM, AB 2. K´; T(AB): K → K´ 3. L´; T(AB): L → L´ 4. M´;T(AB): M → M´ 5.  K´L´M´ xAxA xBxB M´ x x K´ x L´ Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme. Př.: T(AB):  KLM →  K´L´M´

23 Otočení : Definice: Nechť je dán bod S a úhel α. Otočení v rovině kolem středu S o úhel α v daném smyslu (kladném, resp. záporném) je shodné zobrazení, které každému bodu X přiřadí jeho obraz X´ tak, že platí: 1. je – li X  S, leží X´na polopřímce SY, která je ramenem úhlu XSY a přitom  XSY  = α  SX´  =  SX  2. X = S, je X´ = X Zápis: R(S, α): X → X´

24 OTOČENÍ Zobrazení bodu: R(S, α): X → X´ Postup konstrukce: 1. S, α, X ⇥ SX 3.  XSY;  XSY  = α 4. k; k(S,SX) 5. X´; X´  k  ⇥ SY xXxX xSxS α k x X´ xYxY Z definice víme: 1.   XSX´  = α (tj. X´ leží na rameni SY úhlu  XSY, který je stejně velký, jako úhel α) 2.  SX´  =  SX 

25 OTOČENÍ Zobrazení bodu: R(S, α): AB  A´B´ OTOČENÍ Postup konstrukce: 1. S, α, AB ⇥ SA 3.  ASX;  ASX  = α 4. k; k(S,SA) 5. A´; A´  k  ⇥ SA ⇥ SB 7.  BSY;  BSY  = α 8. l; l(S,SB) 9. B´; B´  l  ⇥ SB 10. A´B´ xSxS α k l Z definice víme: 1.   ASA´  = α (tj. X´ leží na rameni SX úhlu  ASX, který je stejně velký, jako úhel α) 2.  SA´  =  SA  3.   BSB´  = α (tj. X´ leží na rameni SX úhlu  BSY, který je stejně velký, jako úhel α) 4.  SB´  =  SB  xAxA x B x A´ x B´ xXxX xYxY

26 OTOČENÍ Obraz kružnice: R(S, α): k(O,r) → k´(O´,r) Z definice víme: 1.   XSX´  = α (tj. X´ leží na rameni SY úhlu  XSY, který je stejně velký, jako úhel α) 2.  SX´  =  SX  3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´) Postup konstrukce: 1. S, α, k(O,r) 2. ⇥ SO 3.  OSX;  OSX  = α 4. m; m(O,OS) 5. O´; O´  m  ⇥ SA 6. k´; k´(O´,r) Přesnější konstrukce: 6. K; K  k (libovolný) 7. ⇥ SK 8.  KSY;  KSY  = α 9. n; n(S,SK) 10. K´; K´  n  SK 11. k´; k´(O´,K´O´) α x O xSxS xKxK x Y xXxX x O´ x K´ k´ k n m

27 OTOČENÍ Obraz útvaru: R(S, α): u → u´ Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme. Př.: P(S  KLM →  K´L´M´ Postup konstrukce: 1.  KLM, S,  2. K´; R(S, α): K → K´ 3. L´; R(S, α): L → L´ 4. M´; R(S, α): M → M´ 5.  K´L´M´ M K L xSxS α x L´ M´ x K´ x

28 Konec prezentace Děkuji za pozornost.


Stáhnout ppt "Shodná zobrazení. Shodné zobrazení (shodnost) Definice: Prosté zobrazení v rovině nazýváme shodným zobrazením (shodnost), právě když pro každé dva body."

Podobné prezentace


Reklamy Google