Planimetrie Mgr. Alena Tichá.

Prezentace na téma: "Planimetrie Mgr. Alena Tichá."— Transkript prezentace:

1 Planimetrie Mgr. Alena Tichá

2 obsah obecný trojúhelník obsah trojúhelníka rovnoramenný trojúhelník
rovnostranný trojúhelník pravoúhlý trojúhelník Pythagorova věta Euklidovy věty goniometrické funkce rovnoběžníky lichoběžník kruh a kružnice části kruhu

3 Trojúhelník A B C výška trojúhelníka těžnice trojúhelníka
těžiště trojúhelníka b SAB tb T a va ta c

4 Obvod a obsah trojúhelníka
C a b c OBSAH va

5 Heronův vzorec A B C a b c

6 Příklad Je dán trojúhelník KLM: k = 4, l = 3 a m = 5. Určete všechny úhly a výšky. Heronův vzorec: úhly:

7 Příklad Je dán trojúhelník KLM: k = 4, l = 3 a m = 5. Určete všechny úhly a výšky. Heronův vzorec: výšky:

8 Rovnoramenný trojúhelník
b b rameno rameno va = ta   základna a

9 Rovnostranný trojúhelník
va = ta a

10 Příklad Rovnostranný trojúhelník má výšku 6. Určete jeho strany.

11 Příklad Délky stran rovnoramenného trojúhelníka ABC jsou (2x+1)cm; (3x+4)cm;(4x-3)cm; kde x є R. Určete číslo x. Určete obsah trojúhelníka. Vypočtěte všechny úhly. Určete délku těžnice na základnu. Zdroj: Zhouf a kol.: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, Praha, Prometheus 2002

12 a) určení čísla x Označme strany trojúhelníka a = 2x + 1; b = 3x + 4; c = 4x – 3 ABC je rovnoramenný, ale nevíme, který rozměr je základna a který rameno – proto nutno počítat: Ze všech variant dopočítáme strany trojúhelníka: neplatí trojúhelníková nerovnost Zdroj: Zhouf a kol.: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, Praha, Prometheus 2002

13 b) určení obsahu z minulé úlohy: jedna z možností je Heronův vzorec:
Zdroj: Zhouf a kol.: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, Praha, Prometheus 2002

14 c) určení úhlů využijeme vzorce pro obsah: a = 15cm b = 25cm c = 25cm
Zdroj: Zhouf a kol.: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, Praha, Prometheus 2002

15 d) určení těžnice b = 25cm va = ta a = 15cm
Zdroj: Zhouf a kol.: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, Praha, Prometheus 2002

16 Pravoúhlý trojúhelník ABC
Dohoda o značení: „Prostřední písmeno v názvu trojúhelníka je vždy vrchol pravého úhlu.“ α odvěsna oba úhly jsou ostré přepona přepona je nejdelší strana γ odvěsna

17 Pravoúhlý trojúhelník ABC
OBSAH

18 Pythagorova věta Pythagoras ze Samu – r. 570 př.n.l. – 510 př.n.l. – Řecko, Itálie Součet obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami je roven obsahu čtverce sestrojeného nad přeponou. b2 Platí jen v pravoúhlém trojúhelníku! c2 a2 + =

19 Pythagorova věta a b c A B C „přepona2 = odvěsna2 + odvěsna2“

20 Příklad Je dán trojúhelník KLM: k = 5cm, l = 7cm a m = 4cm. Zjistěte, zda je pravoúhlý. - pokud je pravoúhlý, platí Pythagorova věta - přepona je nejdelší strana KLM není pravoúhlý

21 Dohoda o značení bc ba vb a b c A B C trojúhelník ABC
prostřední písmeno – vrchol pravého úhlu bc vb – výška na přeponu ba – úsek přepony přilehlý k odvěsně a bc – úsek přepony přilehlý k odvěsně c ba vb

22 Eukleidova věta o výšce
b c A B C Platí jen v pravoúhlém trojúhelníku! bc vb2 = ba.bc ba vb Eukleidés – 325 př.n.l. – 260 př.n.l. – Řecko, Egypt

23 Eukleidova věta o odvěsně
b c A B C Platí jen v pravoúhlém trojúhelníku! a2 = ba.b bc c2 = bc.b ba vb Eukleidés – 325 př.n.l. – 260 př.n.l. – Řecko, Egypt

24 Příklad Odvoďte vzorec pro výšku na přeponu pravoúhlého trojúhelníka v závislosti na délkách stran trojúhelníka. a b c A B C Eukleidovy věty: bc ba vb

25 Goniometrické funkce a b c A B C Následující definice platí jen v pravoúhlém trojúhelníku !!! přepona Všimněte si názvů a značení!!! přilehlá odvěsna protilehlá odvěsna

26 Funkce sinus obecná definice: přepona v trojúhelníku ABC:
(je lepší si pamatovat toto, než „jakási“ písmena!) a b c A B C přepona v trojúhelníku ABC:

27 Funkce kosinus obecná definice: přilehlá přepona v trojúhelníku ABC:
(je lepší si pamatovat toto, než „jakási“ písmena!) a b c A B C přepona přilehlá v trojúhelníku ABC:

28 Funkce tangens obecná definice: protilehlá přilehlá
(je lepší si pamatovat toto, než „jakási“ písmena!) a b c A B C přilehlá protilehlá v trojúhelníku ABC:

29 Funkce kotangens obecná definice: přilehlá protilehlá
(je lepší si pamatovat toto, než „jakási“ písmena!) a b c A B C protilehlá přilehlá v trojúhelníku ABC:

30 POZOR! Nikdy nelze: užívat jiné značení funkce, než bylo definováno (na kalkulačkách je nesprávně označeno tlačítko tan pro funkci tangens) uvést název funkce bez názvu úhlu – tedy nelze psát např. sin = 0,987 uvádět velikost úhlu společně s názvem funkce – nelze psát např. sin x = 0,5 = 30o správný zápis je sin x = 0,5 ; x = 30o

31 Kalkulačka Jedna funkce na kalkulačce chybí – která? Proč?
Všimněte si: Výpočet: např. cotg 30o vypočtěte tg 30o použijte tlačítko 1/x (nebo x-1) (1,732) Výpočet: např. cotg x = 1,23 vypočtěte 1 / 1,23 (pomocí tlačítka 1/x) vypočtěte tan-1 z výsledku minulé operace (39o7´)

32 Příklad protilehlá přilehlá
Schodiště je tvořeno schody o výšce 15cm a šířce 30cm. Jaký sklon má a kolika schody je tvořeno, když vede do výšky 2,7 metru? přilehlá protilehlá 30 15 2,7 30 15

33 Příklad Znáte tuto dopravní značku? Co znamená stoupání 8 promile?
8 ‰ Je to výstražná značka, která upozorňuje na nebezpečné stoupání silnice nebo železniční trati. V tomto případě je stoupání 8 promile. Co znamená stoupání 8 promile? Na každých 1000m ve vodorovném směru připadá zvýšení trati o 8m.

34 Příklad Dvě železniční stanice jsou vzdálené 4 kilometry. Stoupání trati je 8 ‰. Jaký je výškový rozdíl stanic a úhel stoupání trati? 4 km h α Stoupání 8 ‰ 8 m α 1 000 m Zdroj: Calda a kol.: Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU, Praha, Prometheus 1994

35 Rovnoběžník protější strany jsou rovnoběžné a shodné
úhly nejsou pravé, protější jsou shodné všechny úhly jsou pravé (90o) všechny strany shodné vedlejší strany nejsou shodné všechny strany shodné vedlejší strany neshodné

36 Čtverec u - úhlopříčka a S – střed čtverce Obvod S a a u u Obsah a

37 Obdélník Obvod u - úhlopříčka a Obsah u u b b a

38 Příklad Plánek zahrady je v měřítku 1 : 150 a rozměry jsou uvedeny v centimetrech. Kolik arů zahrada zabírá a kolik metrů plotu je třeba zakoupit, když počítáme 10% pletiva na spoje? 4 2 3 6 Před výpočtem je dobré přepočítat rozměry podle měřítka a označit je písmeny. Zahradu si rozdělíme na čtverce a obdélník.

39 4 2 3 6

40 Plocha S2 S3 S1

41 Plot = obvod

42 Příklad Body E, F, G jsou středy stran čtverce ABCD. Poměr obsahu trojúhelníka AEH a čtverce ABCD je: 1 : 8 1 : 12 2 : 15 1 : 16 2 : 25 A B C D E H F G Zdroj: Zhouf a kol.: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, Praha, Prometheus 2002

43 A B C D E H F G

44 Strany Kosočtverec Kosodélník všechny strany shodné
protilehlé strany shodné protilehlé strany rovnoběžné

45 Úhly Kosočtverec Kosodélník protilehlé úhly shodné
dva úhly jsou ostré a dva tupé součet úhlů je 360o

46 Úhlopříčky Kosočtverec Kosodélník navzájem kolmé nejsou kolmé
nejsou shodné půlí se

47 Obvod Kosočtverec Kosodélník b a a

48 Obsah Kosočtverec Kosodélník va vb b va a a

49 Příklad Ve čtvercové síti je dán kosodélník. Určete jeho obsah a poměr výšek. va b a Zdroj: / Testy a zadání / Ilustrační testy 2012 / Matematika / Didaktický test v základní verzi obtížnosti

50 Lichoběžník čtyřúhelník, jehož právě dvě strany (základny) jsou rovnoběžné a neshodné, ostatní dvě strany (ramena) jsou různoběžné základna c rameno d b rameno a základna

51 Parametry lichoběžníka
v – výška = kolmá vzdálenost základen u – úhlopříčky = spojnice protilehlých vrcholů – nepůlí se, nejsou kolmé, nejsou shodné s – střední příčka – spojnice středů ramen V u s u

52 Dělení lichoběžníků

53 Pravoúhlý lichoběžník
d = v b d v a

54 Rovnoramenný lichoběžník
o – osa souměrnosti c b b v v o u u a u – úhlopříčky jsou shodné

55 Obvod a obsah c d b a

56 Příklad Vypočtěte obsah lichoběžníka, jehož strany jsou 12cm, 5cm, 7cm a 4,5cm. 7 7 4,5 v v 5 12 x y

57 Kružnice - kruh S – střed kružnice r – poloměr kružnice
d - průměr kružnice r kruh S d

58 Obvod a obsah Obvod S r Obsah

59 Pojmy tětiva – spojnice libovolných dvou bodů kružnice tětiva r
α – středový úhel polovina tětivy β – obvodový úhel r S

60 Příklad Kružnice má stejný obvod jako čtverec. Poměr obsahu čtverce a obsahu kruhu je:

61 Příklad Kružnice má stejný obvod jako čtverec. Poměr obsahu čtverce a obsahu kruhu je: obvod kružnice: obvod čtverce: obsah čtverce: obsah kruhu:

62 Kruhová úseč délka oblouku S r obsah kruhové úseče

63 Příklad Určete obvod a obsah kruhové úseče, která vznikne z kruhu o poloměru 8cm díky tětivě dlouhé 10cm. S r = 8 5 t = 10 8

64 S r = 8 t = 10

65 Kruhová výseč S r obsah kruhové výseče