Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

SPOJITÝ PŘÍSTUP K MODELOVÁNÍ RIZIKA ŠKODNÍCH REZERV Pavel Zimmermann.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "SPOJITÝ PŘÍSTUP K MODELOVÁNÍ RIZIKA ŠKODNÍCH REZERV Pavel Zimmermann."— Transkript prezentace:

1 SPOJITÝ PŘÍSTUP K MODELOVÁNÍ RIZIKA ŠKODNÍCH REZERV Pavel Zimmermann

2 2 Obsah Současné modely a motivace Veličiny + rozdělení Model

3 3 Cíl Sestavit stochastický model rozdělení budoucích plnění pojišťovny Klíčová otázka: KDY? KOLIK?

4 4 Trojúhelníková schémata Více možných modelů Většinou založeny na trojúhelníkových schématech Extrapolace historického vývoje vývojové faktory regresní funkce (tail factor) + nesystematická složka (rozdělení?) Zpoždění plnění Období vzniku

5 5 Problém Pro některé produkty pouze krátká historie Vývoj nemusí být ukončen Odhad daleké budoucnosti (teoreticky ∞) na základě malého počtu pozorování Některé produkty resp. skupiny PU mají nestabilní vývoj

6 6 Příklad Vývojové faktory – většinou vážené průměry (odlehlá pozorování?) Occuren ce Development year year %191%101%108%109% %163%122%106% %172%130% %160% % Extrapolace: Volba regresní funkce Volba prahu predikce %174%116%107%109%

7 7 Základní myšlenka Neagregovat data do trojúhelníků Na základě individuálních pozorování najít vhodná rozdělení zpoždění výplaty výše výplaty Podobná myšlenka obsažena v Herbst T.: An application of randomly truncated data models in reserving IBNR claims, Insurance: Mathematics and Economics 25 (1999) 123–131

8 8 KASKO Využití modelu plánováno pro pojištění odpovědnosti z provozu motorových vozidel (MTPL) První „prototyp“ pouze pro havarijní pojištění (KASKO) Delší historie Kratší zpoždění Zobecnění na konci prezentace

9 9 Proměnné modelu počátek produktu = čas 0 škoda vznikne v čase je nahlášena se zpožděním a plnění nastane po čase po nahlášení ve výši X Plnění (uzavření)

10 10 Zpoždění plnění Doba od vzniku do plnění je rozdělena na 2 úseky = Zpoždění plnění Modelování a odlišné metody Doby do nastání jevu – analýza přežívání (survival analysis)

11 11 Nekompletní data K dispozici data od do Modelovaný úsek délky dnů Pro obě doby k dispozici nekompletní pozorování (incomplete data) Některé nahlášené škody do neuzavřené Některé nejsou do ani nahlášené Pro KASKO krátká doba do nahlášení i od nahlášení do plnění => pro škody vzniklé do konce r data kompletní

12 12 Korelační matice 1,000-0,099-0,0130,017 -0,0991,000-0,038-0,123 -0,013-0,0381,0000,015 0,017-0,1230,0151,000 Závislosti pro model nepodstatné Zjednodušení – veličiny lze generovat nezávisle Pro MTPL? Míry závislosti pro nekompletní pozorování ???

13 13 Doba od vzniku do registrace 2 10 =3185 Vznik ZPRAVA USEKNUTÁ (RIGHT TRUNCATED) POZOROVÁNÍ

14 14 Odhad rozdělení – useknuá pozorování V databázi pouze škody vzniklé a nahlášené do tzn. jen kde Neparametrický odhad distribuční funkce pro useknutá pozorování: Kaplan-Meierův odhad (=Product Limit odhad) čas useknutí (truncation time)

15 15 Kaplan-Meierův odhad-useknutá poz. Pozorování: i.i.d. uspořádané různé hodnoty označíme K-M odhad pro zprava useknutá data existuje pouze pro podmíněnou distribuční funkci

16 16 Kaplan-Meierův odhad-useknutá poz. Označme počet hlášení v den od vzniku a Potom je neparametrickým odhadem

17 17 Parametrický odhad-useknutá poz. Pokud patří do nějaké parametrické třídy rozdělení M.M.V. odhad parametru  čas useknutí Podmíněné rozdělení

18 18 Výběr rozdělení Stochastické modelovánípraktičtější parametrická rozdělení (generátory n. č.) Výběr vhodného parametrického rozdělení: srovnáním K-M odhadu s parametrickým odhadem Srovnáváme odhady podmíněných rozdělení

19 19 Grafické metody Srovnáváme: distribuční funkce (CDF plot) kvantilové funkce (Q-Q plot) Existují i statistické testy „Large n problem“ Při velkém počtu pozorování bude i malá odchylka statisticky významná Parametrická rozdělení v analýze přežívání: LN, Weibullovo + speciální případy (Gamma, exponenciální) 3 skupiny škod (MP): Škody na majetku, odcizení, ostatní

20 20 Exponenciální rozdělení

21 21 Gamma

22 22 Weibull

23 23 Logaritmicko normální

24 24 Doba od registrace do plnění Většina škod - jedno plnění Některé více plnění (zálohy) potom definováno jako vážený průměr váhy = výše plateb Pro některé škody plnění ještě neproběhlo (RBNS) Některé z části vyplacené – viz konec prezentace VznikPlatba 1 t = 20 d 5000 Czk HlášeníPlatba 2 t = 50 d 2000 Czk Platba 3 (konečná) t = 100 d Czk

25 25 Doba od registrace do plnění ZPRAVA CENZOROVANÁ (RIGHT CENSORED) POZOROVÁNÍ 20 = Reg.

26 26 Cenzorovaná vs. useknutá pozorování 210= = USEKNUTÁ CENZOROVANÁ vznik registrace registrace plnění Neznám počet Znám počet a dolní hranici

27 27 Doba od registrace do plnění Dobu od registrace do plnění znám pouze pokud neboli pokud kde Jinak víme čas cenzorování

28 28 Cenzorovaná pozorování Pozorování i.i.d. kde je : čas do plnění (je-li známý) nebo čas cenzorování kde je indikátor... je skutečná doba do plnění... je čas cenzorování

29 29 Kaplan-Meierův odhad-cenzorovaná poz. Většinou ve tvaru funkce přežití (survival f.) uspořádané různé hodnoty označíme Označme počet necenz. PU s dobou od registrace do plnění počet necenzorovaných nevyplacených PU těsně před

30 30 Kaplan-Meierův odhad-cenzorovaná poz. Potom je neparametrickým odhadem pravděpodobnost „přežití v “

31 31 Parametrický odhad-useknutá poz. Pokud patří do nějaké parametrické třídy rozdělení M.M.V. odhad parametru  cenzorovanénaměřené Výběr : srovnáním K-M odhadu s parametrickým odhadem

32 32 Exponenciální

33 33 Gamma

34 34 Weibullovo

35 35 Logaritmicko normální

36 36 Výše pojistné události Pokud nezávislost - standardní statistické metody Pro odhad 2 možnosti: Jen ukončené škody Výplata + RBNS rezerva (runoff!) Často Logaritmicko normální r. Pro „škody na majetku“ a „ostatní“ je LN dobrou aproximací

37 37 LN „škody na majetku“

38 38 LN “ostatní“

39 39 Výše pojistné události Pro třídu „odcizení“ na hranici použitelnosti Třída „odcizení“ – více zdrojů rizika Odcizení zahrnují odcizení vybavení, zavazadel atd. odcizení vozidla škody log. škody

40 40 Odcizení Rozdělit ještě odcizení na „malá“ a „velká“ Použít flexibilnější rozdělení Například Gaussovskou směs (GMM) počet zdrojů rizika komponenty – rozdělení jednotlivých rizik (normální r.) váhy - pst. zdrojů

41 41 GMM Odhad parametrů komponent a vah : Expectation Maximization (EM) Algorithm Neznám počet komponent k => rozšíření EM: Figueiredo M. A. T., Jain, A. K. : Unsupervised Learning of Finite Mixture Models, IEEE transactions of pattern analysis and machine intelligence, vol.24, no3, March 2002

42 42 Rozšířený EM Založeno na informačním kritériu Logaritmická transformace dat (předpokládáme LN komponenty) odhad: Komponenta Parametr123 0,280,540,18 21,9215,617,4 0,651,016,59

43 43 Odcizení lognormální

44 44 Odcizení GMM

45 45 Struktuta modelu 2 části RBNS škody Dobu od registrace do plnění Výši plnění IBNR škody Počet Datum vzniku Dobu od vzniku do registrace Dobu od registrace do plnění Výši plnění - neznáme:

46 46 RBNS část RBNS

47 47 RBNS škody – doba do plnění Známe a O víme pouze, že Generujeme z podmíněného rozdělení

48 48 RBNS škody - výše Výše škody neznámá K dispozici odhad likvidátorů RBNS rezerva Zatíženo chybou Pokud je systematická (runoff) je třeba opravit Stochastický model chyby? Rozdělení by mělo záviset na stádiu likvidace Pro KASKO runoff 100 % => = RBNS rez.

49 49 IBNR část IBNR

50 50 IBNR škody - počet Pro každý den vzniku Počet škod Odhad podobně jako v [Herbst 99] Pravděpodobnost, že škoda vzniklá v bude do nahlášena je Počet škod vzniklých v a do nahlášených známe ( ) Očekávaný počet hlášených i nehlášených škod vzniklých v

51 51 IBNR škody - počet Pro každý den odhaduji nepřesnost: místo použít např. exponenciální vyrovnání Automaticky generuji 000,999990, ,999990, ,999991,000020, ,999980, ,999982,000060,00006 …………… ,827513,625330, ,820792,436690, ,813711,228930, ,806276,201361, ,798445,009751, ,790192,531030, ,781496,398001, ,772329,063592, ,762649,178682, ,752411,329070, ,741595,393781,39378 ……………

52 52 IBNR škody - doby O době od vzniku do nahlášení víme Generovat z podmíněného rozdělení O ani nejsou další informace Generovat z nepodmíněných rozdělení

53 53 Výsledky Získáme odhad rozdělení budoucích plateb pojišťovny simulací:

54 54 Výsledky Charakteristiky: střední hodnota („Best estimate“) kvantilová mapa – mohu srovnat s účetními rezervami Lze zkoumat podle: roku vzniku jednotlivých produktů IBNR a RBNS Diskontované i nediskontované (u generovaných škod znám datum plnění)

55 55 Škody z části vyplacené Na začátku jsme ignorovali škody z části vyplacené Pro ně třeba modelovat dobu od registrace do ukončení = posledního plnění Opět cenzorovaná pozorování odhad rozdělení Pro tyto škody generovat fiktivní platbu: vyplacenou dní od registrace; generované z výše = zbývající RBNS (opravená o runoff)

56 56 Předpokládané rozšíření Pro MTPL zahrnutí alespoň některých závislostí Využití regresních modelů pro cenzorovaná data Stochastický model „práce likvidátorů“ (RBNS) Zahrnutí zajištění

57 57 Prameny

58 58 Konec Děkuji za pozornost Dotazy?


Stáhnout ppt "SPOJITÝ PŘÍSTUP K MODELOVÁNÍ RIZIKA ŠKODNÍCH REZERV Pavel Zimmermann."

Podobné prezentace


Reklamy Google