POČET PRAVDĚPODOBNOSTI

Prezentace na téma: "POČET PRAVDĚPODOBNOSTI"— Transkript prezentace:

1 POČET PRAVDĚPODOBNOSTI
Náhodný pokus – opakovaná realizace při daném souboru podmínek dává různé výsledky Náhodný jev - výsledek realizace náhodného pokusu Příklady: Hod kostkou  padne číslo 6 Výběr karty  karta je eso Zhotovení výrobku  výrobek vadný 24 hodin provozu linky  nastane právě jedna porucha

2 Označení náhodných jevů náhodné jevy označujeme A, B,…
Označení náhodných jevů náhodné jevy označujeme A, B,…. Jistý jev V nastane při každé realizaci náhodného pokusu Příklad: Nemožný jev v daném náhodném pokusu nenastane nikdy Příklad

3 OPERACE S NÁHODNÝMI JEVY
Jev A je částí jevu B, jestliže při každém výskytu jevu A nastává i jev B. B A Příklad: Sjednocení jevů A, B je jev, který nastane právě tehdy, nastane-li alespoň jeden z jevů A,B A B

4 Průnik jevů A, B je jev, který nastane právě tehdy, nastanou-li jevy A,B současně.
Opačný jev k jevu A je jev, který nastane právě tehdy, nenastane-li jev A. A

5 KLASICKÁ DEFINICE PRAVDĚPODOBNOSTI (Laplace)
Může-li dojít v náhodném pokusu k n stejně možným výsledkům, z nichž m má za následek výskyt jevu A a zbylých n-m jej vylučuje, pak pravděpodobnost jevu A bude Příklad: V souboru 50 studentů je 6 dojíždějících do školy z oblastí mimo Prahu. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybereme mimopražského studenta? mezi 5 vybranými studenty (výběr bez vracení) budou právě 2 mimopražstí?

6 PRAVDĚPODOBNOST PRŮNIKU JEVŮ A, B
(pravidlo o násobení pravděpodobností) Pro nezávislé jevy A, B platí B A Pro libovolné jevy A, B platí

7 Příklad: A = 1.vytažená karta eso,B = 2.vytažená karta eso
Jaká je pravděpodobnost vytažení 2 es po sobě při výběru s vracením a bez vracení ? výběr s vracením: P(A)=P(B)=4/32 výběr bez vracení: P(A)=4/32, P(B/A)=3/31

8 PRAVDĚPODOBNOST SJEDNOCENÍ JEVŮ A, B
(pravidlo o sčítání pravděpodobností Pro libovolné jevy A, B platí Pro nezávislé jevy A, B platí Pro neslučitelné jevy A, B platí Pro opačné jevy platí

9 Příklad: Banka má 2 nezávislé poplašné systémy s účinnostmi 90% a 80%.
Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden ohlásí mimořádnou událost ? A: 1.systém ohlásí P(A)=0,9 B: 2.systém ohlásí P(B)=0,8 nebo

10 Úplná pravděpodobnost
Situace, kdy jev A může nastat jen ve spojení s některým z jevů Bi, které tvoří úplný systém neslučitelných jevů   Pak platí Úplná pravděpodobnost jevu A je rovna součtu součinů pravděpodobností jevů Bi a podmíněných pravděpodobností jevu A vzhledem k jevům Bi .

11 P(Bi /A) .... pravděpodobnosti a posteriori tuto
P(Bi ) pravděpodobnosti a priori (jsou známy před provedením pokusu) Po provedení pokusu můžeme stanovit pravděpodobnost, že jev A nastal ve spojení s jevem Bi P(Bi /A) .... pravděpodobnosti a posteriori tuto pravděpodobnost vyjadřuje Bayesova věta

12 a) Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek je vadný.
Příklad: Výrobek je vyráběn na dvou zařízeních. Modernější zajišťuje 70 % produkce a mezi jeho výrobky je 5 % vadných. Starší zařízení vyrábí zbytek produkce a vadných je 15 %. a) Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek je vadný. A ... vadný výr. P(Bm ) = 0, P(A/Bm ) = 0,05 P(Bs ) = 0, P(A/Bs ) = 0,15 P(A) = P(Bi ) . P(A/Bi ) = P(Bm ).P(A/Bm)+P(Bs ). P(A/Bs )= = 0,7 .0, ,3 . 0,15 = 0,08

13 b) byl-li vybrán zmetek, jaká je pravděpodobnost, že byl vyroben na moderním stroji.

14 Náhodná veličina je veličina, která při opakování náhodného pokusu mění své hodnoty v závislosti na náhodě Náhodné veličiny označujeme X, Y, Z, ... hodnoty náhodné veličiny x, y, z, ... P(X = x) čteme: pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude právě hodnoty x náhodné veličiny  nespojité (diskretní)  spojité

15 popis rozdělení náhodné veličiny
Diskrétní náhodná veličina – nabývá nejvýše spočetně mnoha reálných hodnot (např. počet členů domácnosti, počet poruch výrobní linky za 24 hodin, počet vadných výrobků v dodávce) Spojitá náhodná veličina – nabývá libovolných hodnot z určitého intervalu (např. doba čekání na obsluhu, teplota, tlak) popis rozdělení náhodné veličiny diskretní n.v spojité n.v. pravděpodobnostní funkce hustota pravděpodobnosti distribuční funkce distribuční funkce

16 POPIS DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN
Pravděpodobnostní funkce udává pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabývá právě hodnoty x. vlastnosti pravděpodobnostní funkce

17 Distribuční funkce F(x)
udává pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabývá nejvýše hodnoty x. Vlastnosti distribuční funkce: (neklesající) je spojitá zprava a má nejvýš spočetně bodů nespojitosti

18 Příklad: Náhodná veličina X (počet poruch na výrobní lince za 24 hodin) nabývá hodnot
s pravděpodobnostmi Vypočítejte distribuční funkci a pravděpodobnost, že n.v. leží v intervalu (0, 2>. x P(x) F(x) 0,3 1 0,4 0,7 2 0,2 0,9 3 0,1 1,0 Σ

19 POPIS SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN
Distribuční funkce Hustota pravděpodobnosti Vlastnosti hustoty pravděpodobnosti:

20 Charakteristiky náhodných veličin
Charakteristiky polohy  střední hodnota E(X) diskrétní n.v. spojité n.v.  modus je bod, v němž pravděpodobnostní funkce nebo hustota pravděpodobnosti nabývají maximální hodnoty

21 Charakteristiky variability
 rozptyl D(X) diskretní náhodné veličiny spojité náhodné veličiny  směrodatná odchylka 

22 Vypočítejte střední hodnotu a rozptyl počtu poruch
Příklad: Náhodná veličina X (počet poruch na výrobní lince za 24 hodin) nabývá hodnot s pravděpodobnostmi Vypočítejte střední hodnotu a rozptyl počtu poruch x P(x) x.P(x) x2.P(x) 0,3 1 0,4 2 0,2 0,8 3 0,1 0,9 Σ 1,0 1,1 2,1

23 Normovaná náhodná veličina
E(U) = 0 D(U) = 1

24 NĚKTERÁ ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN
pod pojmem „rozdělení“ náhodné veličiny chápeme jakýsi pravděpodobnostní model empirického rozdělení  v určitých standardních situacích lze pravděpodobnostní chování náhodné veličiny popsat určitým pravděpodobnostním modelem

25 Binomické rozdělení Bi(n,)
Binomická náhodná veličina je modelem počtu výskytů náhodného jevu A v n nezávislých pokusech (tj., když pravděpodobnost nastoupení jevu A je ve všech pokusech stejná - pokusy s vracením) pravděpodobnostní funkce udává pravděpodobnost, že sledovaný náhodný jev A v sérii n pokusů nastane právě x-krát . E(X) = n  střední hodnota rozptyl D(X) = n (1 - )

26 Příklad: Pravděpodobnost, že se podaří dovolat na první pokus je 0,25. Určete pravděpodobnost, že z 10 náhodných pokusů budou: a) právě 4 pokusy úspěšné b) podaří se dovolat na první pokus alespoň dvakrát.

27 Poissonovo rozdělení Po( )
je vhodným modelem v případech, kdy je velký počet nezávislých pokusů (n velké) a pravděpodobnost výskytu jevu v jednotlivém pokusu je malá rozdělení počtu výskytů jevu v určitém intervalu Limitní případ binomického rozdělení pro („rozdělení řídkých jevů)  = n Pravděpodobnostní funkce Střední hodnota a rozptyl

28 Příklad: Pravděpodobnost, že výrobek není kvalitní je 0,05
Příklad: Pravděpodobnost, že výrobek není kvalitní je 0,05. Jaká je pravděpodobnost, že v dodávce 60 kusů bude 5 vadných. n = 60 π = 0,05 Hodnoty P(x) pro dané  lze najít v tabulkách Poissonova rozdělení nebo pomocí PC

29 Hypergeometrické rozdělení
Situace: je dána populace rozsahu N, ve které je M objektů se sledovanou vlastností a N-M objektů bez sledované vlastnosti bez vracení (tj. závislé výběry) vybereme n objektů; potom počet objektů se sledovanou vlastností ve výběru je náhodná veličina X s hypergeometrickým rozdělením a s pravděpodobnostní funkcí x = max 0,M-N+n,...,minM,n

30 Příklad:Výpočet pravděpodobnosti výhry ve Sportce
N=49, M=6, n=6, x=3,4,5,6

31 Normální rozdělení N(µ,2)
Gaussovo - Laplaceovo rozdělení  nejdůležitější rozdělení, je vhodným modelem všude tam, kde kolísání náhodné veličiny je způsobené velkým počtem nepatrných a vzájemně nezávislých vlivů hustota pravděpodobnosti  střední hodnota E(X) =   rozptyl D(X) = 2

32 NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ N(0,1)
normovaná náhodná veličina hustota pravděpodobnosti  střední hodnota E(U) = 0  rozptyl D(U) = 1 -  u   distribuční funkce

33 NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ N(0,1)
! ! V důsledku symetrie kolem nuly platí: distribuční funkce ! ! ! p% kvantil medián

34 Příklad 1: Výška lidí v určitém souboru má normální rozdělení se střední hodnotou  = 175 cm a směrodatnou odchylkou  = 8 cm. 1.Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný člověk bude vyšší než 185 cm? 2. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný člověk bude mít výšku v rozmezí cm? N(175;64)

35 Důležité kvantily normovaného normálního rozdělení

36 Další rozdělení důležitá v matematické statistice
Rozdělení chí-kvadrát Rozdělení t – Studentovo Rozdělení F - Fischerovo