Ètyøi ètvrtky, které zmìnily fyziku Vier Donnerstage, die die Physik gewandelt haben.

Prezentace na téma: "Ètyøi ètvrtky, které zmìnily fyziku Vier Donnerstage, die die Physik gewandelt haben."— Transkript prezentace:

1 Ètyøi ètvrtky, které zmìnily fyziku Vier Donnerstage, die die Physik gewandelt haben

2 K 100. výroèí vzniku Obecné teorie relativity

3 Jak vznikla, jak to všechno vyvrcholilo ve ètyøech ètvrtcích v listopadu 1915 a co bylo krátce potom

4 První krok : Institut fûr geistliche Eigentum - Bern 1907

5 Princip ekvivalence Jahrbuch der Radioactivität und Electronik 4 (1907), 411-462 der gliicklichste Gedanke meines Lebens nejšîastnìjší myšlenka mého ¿ivota Objevuje se v :

6 Tento předpoklad rozšiřuje princip relativity na případ rovnoměrně zrychleného translačního pohybu vztažných systémů. Heuristická hodnota tohoto předpokladu spočívá v tom, že umožňuje náhradu homogenního gravitačního pole rovnoměrně zrychleným vztažným systémem, přičemž tento případ je v určitém stupni teoreticky přístupný.

7 Princip ekvivalence Tohle bude lepší

8 Takto líèí historii : Prùlom nastal náhodou jednoho dne. Sedìl jsem v køesle v patentním úøadì v Bernu. Najednou mne napadlo : jastli¿e èlovìk padá volným pádem, pak necítí svoji váhu. Byl jsem zaskoèen. Tato prostá myšlenka na mne udìlala velký dojem. Ta mne vedla k teorii gravitace. Pokraèoval jsem v úvaze : Padající èlovìk se pohybuje zrychlenì. Tedy to, co cítí a soudí, se dìje v zrychleném vzta¿ném systému. Rozhodl jsem se rozšířit teorii relativity na pøípad se zrychlenými systémy. Cítil jsem, ¿e tak bych mohl souèasnì vyøešit problém gravitace. Einstein Kjóto 1922

9 René Magritte

10 Odvodí i gravitaènèí zpo¿ïování hodin t = t 0 (1 + F/c 2 ) Potvrzeno 1959 R. Poundem a G.A. Rebkou na úrovni 10% h = 22.5 m F = rozdíl potenciálù

11 Pra¿ské kroky : Ústav teoretické fyziky – Vinièná 3 Duben 1911 – Èervenec 1912

12 Energie pøispívá i k setrvaèné i ke gravitaèní hmotnosti Frekvence n = n 0 (1 + F/c 2 ) Rychlost svìtla c = c 0 (1 + F/c 2 ) Z pra¿ských artikulù :

13 Ohyb svìtla Èíselnì pro Slunce 0.83“

14 Princip ekvivalence vede k ohybu svìtla

15 Výsledek je stejný jako v korpuskulární teorii svìtla v newtonovské mechanice J. von Soeldner 1804 Obecná teorie relativity dá dvakrát vìtší efekt ( vliv zakøiveného prostoroèasu ) ( Einstein to uvede v tøetím ze ètvrtkù )

16 Výsledek potvrzen anglickou expedicí na Sobral (Brazílie) a ostrov Principe (Guinejský záliv) 1919 Výsledky byly zpochybòovány, ale reanalýza je potvrdila

17 Einsteinova reakce 27. IX. 19 Milá matko ! Dnes jedna radostná zpráva. H.A. Lorentz mi telegrafoval, že anglické expedice odchylku světla u Slunce skutečně dokázaly.

18 Z ohybu vyplývají gravitaèní èoèky První pozorování kvasaru Q 0957+561 v r. 1979 D. Walsh, R. Carswell a R. Weymann

19 Einsteinùv zápisník – duben 1912 První je navrhl : Einstein !

20

21 Prostorová měření v K se provádějí pomocí měřicích tyčí, které – jsou-li porovnány v klidovém stavu na stejném místě – mají stejnou délku. Platí totiž geometrické věty pro tak měřené délky, tedy také pro vztahy mezi souřadnicemi x, y, z a další délky. Toto tvrzení není samozřejmé, ale zahrnuje fyzikální předpoklady, které by se případně mohly ukázat jako nesprávné. Např. velice pravděpodobně neplatí v rovnoměrně rotujícím systému, v němž díky Lorentzově kontrakci by podíl obvodu kruhu k průměru měl být, při použití naší definice délek, odlišný od π.

22 Rotující disk Podélnì se tyè zkrátí, pøíènì ne ( Problém je i s hodinami. )

23 Potenciálem je promìnná rychlost svìtla Rovnice pole Rovnice pohybu Vyplývající z

24 Zdrojem v rovnici pro potenciál c je energie, musí té¿ zahrnovat energii gravitaèního pole, proto je rovnice nelineární. Dva poznatky : Transformaèní rovnice do padajícího systému se u¿ívají jen „für unendlich kleinen Räumen“ ( tj. nekoneènì malé prostory )

25 Princip obecné relativity Na druhé straně otvírá nám princip ekvivalence zajímavou perspektivu, že by mohly být rovnice teorie relativity zahrnující gravitaci také invariantní vzhledem k transformacím se zrychlením (i otáčením).

26 Z okna se díval do zahrady Ústavu pro choromyslné Tam ¿ijí šíastní blázni, co se nemusejí zabývat kvantovou teorií

27 První vrchol Eidgenössische Technische Hochschule Zürich 1913

28 Návrh zobecnìné teorie relativity a teorie gravitace

29 Autoøi : Albert Einstein + Marcel Grossmann

30 Výchozí bod : setrvaèná hmotnost = gravitaèní hmotnost Potvrdil L. Eõtvõs 1906-9

31 Rovnice pohybu g mn = metrika prostoroèasu a souèasnì potenciál gravitace Lokálnì lze speciálnì relativistický tvar

32 Rovnice pole by mìly mít tvar : kde ϰ je konstanta, Q mn tenzor energie-hybnosti látky a G mn tenzor charakterizující geometrii, závislý na derivacích metriky (asi maximálnì druhých )

33 Bludný krok : Musí být ale zdůrazněno, že lze dokázat, že je nemožné najít za těchto předpokladů diferenciální výraz, který je zobecněním Δφ a chová se jako tenzor při libovolných transformacích. A to uva¿ují Ricciho tenzor !

34 Místo toho je navr¿en za tenzor   výraz

35 Byli u¿ jen krok od cíle ! Pobitevní postup : Význaènost Riemannova tenzoru : Invariantní tenzory jsou funkcí Riemannova tenzoru a metriky Linearita v 2. derivacích vede k výrazu aR μ + bRg μ + cg μ Zachování energie vy¿aduje a = -2b

36 Pøípad a = 0 nevyhovuje Po pøecejchování : R μ – 1/2 g μ R +  g μ = kT μ Einsteinovy rovnice ( vèetnì osloviny (Eselei) )

37 Curyšský sešit Züricher Notizbuch Trochu informací o Einsteinovì postupu dává

38 Vìtšina gravitace je od konce Pohybová rovnice Zachování energie

39 Riemannùv tenzor Podmínka pro slabé pole Gross mann

40 Ví, ¿e Poissonovu rovnici nedostane v obecných souøadnicích Má zùstat Omezení na souøadnice

41 Chyba Tvar metriky Prostor je køivý i pro slabé pole Pravdìpodobnì nesprávnì

42 Dojde k nìèemu takovému

43 Problémy jsou té¿ se zákonem zachování energie T μν = tenzor energie-hybnosti látky Analogická gravitaèní velièina t μν je tenzorem pro lineární transformace, obecnì nikoli. Nemìla by být : v padajícím systému gravitaèní pole mizí !

44 Kdy¿ mi nejde najít vhodný tenzor  μ : Lochbetrachtung Hole argument Dìrový dùvod Vymyslím, proè to nemù¿e jít

45 Dìravý dìrový dùvod g g μ (x  )g’ μ (x’  ) x’  = f(x  ) L(och) Máme øešení g μ (x  ). V oblasti prostoroèasu L bez látky zmìníme souøadnice. To dá ekvivalentní øešení g’ μ (x’  ). Øešení g’ μ (x  ) je jiné.  Øešení je nejednoznaèné.

46 Stáèení perihelia Merkura U¿ 1859 U. Leverrier zjistil, ¿e perihelium Merkura se stáèí o 39’’ za století více ne¿ oèekávaných 527’’ za století

47 Dnešní data ( úhlových vteøin za století ) Pùsobení planet 531.63 ± 0.69 Zploštìní Slunce 0.0254 Celkem 531.65 ± 0.69 Pozorováno 574.10 ± 0.65 Rozdíl 42.45 ± 0.95 Teorie relativity dá 42.98 ± 0.04

48 Tento efekt spolu s pøítelem Michelem Besso poèítá

49 Efekt poèítají poruchovým poètem : Výpoèet metriky Rovnice 1. pøiblí¿ení 2. pøiblí¿ení

50 Pro posuv Merkura vyjde Odtud posuv A¿ na faktor 5/4 ( má být 3 ) jako ve výsledné teorii ( A = 2 G M/c 2 ) Dosadí špatnì hmotnost Slunce. Vyjde jim 1821’’ místo 18’’.

51 Poèítají i vliv rotace Slunce Vyjde Ìíselnì pøibli¿nì 10 -3 ’’ za století Zanedbatelné o = úhlová rychlost S ~ momentu setrvaènosti

52 Problém metriky v rotujícím systému Kvùli Machovi Prohýbá se hladina kvùli rotaci vùèi Absolutnímu prostoru nebo vùèi hvìzdám ve Vesmíru ?

53 Asi nejvýznamnìjší práce z období bloudìní ( èervenec 1913 – záøí 1915 ) je pøehledový èlánek Formální základy obecné teorie relativity ( u¿ ne verallgemeinerte = zobecnìné )

54 Nemìnnost (invariance) rovnic pøi lineárních transformacích nestaèí : ztrácí se zrychlený a rotaèní pohyb Hledají se slabší podmínky

55 Je vhodné vyu¿ít variaèního principu Jest : H = Lagrangeova funkce Pro dobré chování je tøeba, aby výraz byl = 0. Takové souøadnice : pøizpùsobené (angepasste)

56 Variace metriky dá velièinu Pro rovnice tvaru T = tenzor energie-hybnosti „látky“ A zákon zachování energie vy¿aduje nulovost

57 Pøedpoklad kvadratiènosti H v prvních derivacích g ij vede k Odtud : kde

58 a Hustota energie-hybnosti gravitace A platí zákon zachování

59 Konec èervna – zaèátek èervence Göttingen Einstein koná 6 2-hodinových pøednášek Naslouchají mj. D. Hilbert a F. Klein

60 Königlich Preussische Akademie der Wissenschaften zu Berlin Vrchol : Ètyøi ètvrtky v listopadu 1915

61 Ìtvrtek 4. listopadu 1915 Donnerstag den 4. November 1915 K obecné teorii relativity

62 Zurück zu Riemann (zpátky k Riemannovi) Ve výrazech „pøeká¿í“ g = determinant metriky  Unimodulární transformace Provede se roklad Ricciho tenzoru Ricci Rie mann

63 A postulují se rovnice rozepsan é kde jsou Christoffelovy symboly Jiná znaménková konvence Není Ricci !

64 Proè ? Einstein opustí verhängnisvolles Vorurteil (osudový pøedsudek) volit pro gravitaèní sílu Místo toho volí a získá den Schlüssel zu dieser Lösung (klíè k øešení)

65 Získané rovnice pak vyplývají z variaèního principu Kvadratický Lagrangeián !

66 Nepøíjemný dùsledek Nelze proto volit souøadnice, kde g = konst, proto¿e hustota energie-hybnosti zøejmì nemá nulovou stopu ( odpovídá hustotì energie > 0 )

67 Ìtvrtek 11. listopadu 1915 Donnerstag den 11. November 1915 Jak z vady dìlat pøednost K obecné teorii relativity (Dodatek)

68 V elektrodynamice je T α α = 0 Je-li látka v podstatì elektromagnetická, mohla by být stopa hustoty energie-hybnosti nula Hustota energie pak musí mít pùvod v gravitaci

69 Unimodularitu transformací je vhodné nahradit podmínkou Pak je S im = 0, a rovnice lze zapsat v obecnì kovariantním tvaru To u¿ jsou témìø správné rovnice Ricci

70 Ìtvrtek 18. listopadu 1915 Donnerstag den 18. November 1915 Objasnìní pohybu perihelia Merkuru z obecné teorie relativity

71 Hledáme èasovì nezávislé, kulovì symetrické øešení, pro nì¿ g ρ4 = g 4ρ = 0, a které v nekoneènu pøechází na tvar Z podmínky na determinant metriky vyplývá, ¿e u¿ v 1. aproximaci (!) není prostorová metrika plochá

72 V 1. aproximaci vyjde Dùsledek : Ohyb svìtla je dvakrát vìtší

73 V 2. aproximaci potøebujeme jen výrazy Proto¿e v uvedeném pøiblí¿ení mají pohybové rovnice (geodetika) tvar

74 Odpovídajíci Babinetova rovnice má tvar x = 1/r, navíc je poslední èlen Odtud pro posuv perihelia a = 2 G M/c 2

75 Efekt pro Merkur, Zemi a Mars Tehdejší data : 45’’, 11’’ a 9’ Souèasná data : 42.5’’, 5’’ a 1.4’’ Einsteinovz hodnoty : 43’’, 4’’ a 1’’

76 Kdy¿ kvantitativnì vysvìtlil, bez jakékoli speciální hypotézy, rotaci dráhy Merkuru, byl „po nìkolik dní bez sebe v radostném vzrušení“. Doznával „bušení srdce“.

77 Ìtvrtek 25. listopadu 1915 Donnerstag den 25. November 1915 Návrh upravit rovnice na : ekvivalentní G im – ½ g im G = – κT im To jsou Einsteinovy rovnice G = Ricci

78 Dùvod : symetrizace v podmínce pro energii Doplnìný èlen Všechny „energie“ pùsobí stejnì.

79 Tím je koneènì obecná teorie relativity jako logická stavba ukonèena.

80 Formuloval Einstein své rovnice jako první ? Existuje èlánek vyšlý v bøeznu 1916 Odvozující Einsteinovy rovnice z variaèního principu

81 Pøedpokládá, ¿e „svìtofunkce H “ (tj. Lagrangeova funkce) je rovna souètu skalární køivosti (pro gravitaci) a funkce nezávisející na derivacích metriky (pro látku) S výsledkem Einsteinovy rovnice Pøi u¿ití výše zavedeného oznaèení pro variaci vzhledem k g μν, získají gravitaèní rovnice kvùli (20) tvar… První èlen na levé stranì bude…

82 ¯e by Hilbert byl rychlejší ? Našly se korektury z 6. 12. 1915, kde Einsteinovy rovnice nejsou ( takøka jistì – chybí horní kus jednoho listu: 7 a 8. strany ) Ne !

83 Navíc zdùvodnìní levé strany je pochybné : jak snadno bez výpoètu vyplývá ze skuteènosti, ¿e K μν je kromè g μν jediný tenzor druhého øádu a K jediný invariant, který lze vytvoøit jen pomocí g μν a jeho prvních a druhých derivací. Výpoèet není jednoduchý a tvrzení neplatí : i pøi skrytém pøedpokladu linearity v druhých derivacích nejsou urèeny konstanty ve výrazu.

84 Souhrnnou prezentaci obecné teorie relativity pøedstaví A. Einstein 20. bøezna 1916

85 Zavádí zde sumaèní konvenci Vyskytuje-li se nìjaký index v jednom èlenu výrazu dvakrát, je tøeba v¿dy pøes nìj sèítat, není-li výslovnì zmínìn opak.

86 Výpoèty jsou ještè provádìny v souøadnicích s g = -1, ale v následujícím èlánku tuto podmínku opouští Pøibli¿ná integrace rovnic gravitace

87 Zde odvodí pro odchylky γ μν od ploché metriky pøibli¿né rovnice kde Øešení rovnic má tvar A byla pou¿ita souøadnicová podmínka

88 Pøedpoví gravitaèní vlny Z rovnic (6) a (9) vyplývá, ¿e se gravitaèní pole v¿dy šíøí rychlostí 1, toti¿ rychlostí svìtla.

89 Sestrojí øešení pro rovinnou gravitaèní vlnu A spoète vyzaøovací formuli J αβ = tenzor setrvaènosti κ = 1.87  10 -27

90 Formule byla nepøímo potvrzena pozorováním binárního pulzaru PSR 1913+15 R. Hulse a J. Taylor v r. 1974

91 Tého¿ roku napíše ještì èlánek Vychází ze standardních podmínek na H ( závislost na metrice a jejích prvních a druhých derivacích ( na tìch lineárnì )

92 Variaèní princip transformuje F = povrchový integrál, H * nezávisí na 2. derivacích Odtud ji¿ standardnì odvodí rovnice pole Z invariance H dostane podmínku S ν σ = 0 a spolu s rovnicemi pole zákon zachování energie-hybnosti

93 Vztah symetrie Lagrangeovy rovnice a zákonù zachování pak prozkoumá Göttingenská matematièka Amalie Emmy Noether 1918

94 Mimochodem z 2. vìty Noetherové – pro nekoneènì rozmìrnou grupu – vyplývá, ¿e B μ = 0 identicky. Pøi volbì H = R je pøíslušnou identitou Bianchiho identita (1902)

95 Sluší se ještì dodat, ¿e ji¿ v lednu 1916 bylo nalezeno pøesné statické kulovì symetrické øešení Einsteinových rovnic Karlem Schwarzschilde m

96 Tím mù¿eme ukonèit poèáteèní „heroické období“ vzniku obecné teorie relativity Obecná teorie se ovšem rozvíjí dál. To je ale u¿ jiná historie.

97 Dìkuji za pozornost ( C ) 2015