Ptačí úlohy. Martina Bečvářová Ústav aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT v Praze Na Florenci 25 Praha 1, 110 00 Katedra didaktiky matematiky MFF.

Prezentace na téma: "Ptačí úlohy. Martina Bečvářová Ústav aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT v Praze Na Florenci 25 Praha 1, 110 00 Katedra didaktiky matematiky MFF."— Transkript prezentace:

1 Ptačí úlohy

2 Martina Bečvářová Ústav aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT v Praze Na Florenci 25 Praha 1, 110 00 Katedra didaktiky matematiky MFF UK Sokolovská 83 Praha 8, 186 75 nemcova@fd.cvut.cz

3 Elementární diofantické rovnice ax + by = c, kde a, b, c jsou přirozená čísla později a, b, c jsou [nezáporná] racionální čísla řešení hledáme v množině přirozených čísel nehomogenní soustava n lineárně nezávislých lineár- ních rovnic o n + 1 neznámých obecněji: nehomogenní soustava n lineárně nezá- vislých lineárních rovnic o m neznámých, kde m > n neurčité rovnice prvního stupně teorie čísel

4 Metody řešení 1)zkusmo (experimentálně) 2)metoda dvou chybných předpokladů 3)postupné efektivní „probrání“ všech mož- ností [tabulka, schéma zápisu, substituce] 4)využití teorie čísel [dělitelnost] 5)využití teorie čísel [řetězové zlomky]

5 Otázky a)existence řešení … jak poznáme, že rovnice ax + by = c má celočíselné řešení b)nalezení všech řešení … máme-li jedno řešení (nalezené zkusmo/experimentálně), jak nalezne- me všechna celočíselná řešení

6 1. věta – odpověď na první otázku Rovnice ax + by = c, kde a, b, c jsou přirozená čísla, nsd(a, b) = D, má celočíselné řešení právě tehdy, když číslo c je dělitelné D.

7 2. věta – odpověď na druhou otázku Má-li rovnice ax + by = c, kde a, b, c jsou přirozená čísla, nsd(a, b) = D, celočíselné řešení (x 0, y 0 ), pak množina všech celočíselných řešení je dána rovnicemi x = x 0 + b/D · t, y = y 0 – a/D · t, kde t je celé číslo. Celočíselné řešení (x 0, y 0 ) lze najít pomocí algoritmu, který vychází z Eukleidova algoritmu pro nalezení největšího společného dělitele dvou čísel.

8 Vhodná literatura J. Herman, R. Kučera, J. Šimša: Metody řešení matematických úloh, PřF MU Brno, 1996. [výklad přes pojem kongruence, což pro střední školu není běžné a srozumitelné] Š. Znám: Teória čísel, Alfa, Bratislava, 1977. [přes dělitelnost, což je jednodušší a pro střední (do- konce i základní) školu přijatelné]

9 Čínská matematika – 2. až 11. století n. l. poprvé se objevuje úloha o ptácích = ptačí úloha Siou Jie (kolem 190 n. l.) Kolik je možné za 100 mincí koupit kohoutů, slepic a kuřat, jestliže jich dohromady je 100 a jestliže kohout stojí 5 mincí, slepice 4 mince a 4 kuřata jednu minci? [Ju, str. 81] Řešení: (15, 1, 84)

10 Komentář x … počet kohoutů y … počet slepic z … počet kuřat x, y, z … jsou přirozená číslo (0 nelze) x + y + z = 100 5x + 4y + 1/4 · z = 100 | 4 ------------------------------------- 19x + 15y = 300 y = 20 – 19/15 · x x015 30 y201-18 z8084

11 Poznámky formulaci a řešení úlohy známe až do Čen Luana matematik a komentátor druhé poloviny 6. století Uvedena ještě jedna varianta úlohy: Kolik je možné za 100 mincí koupit kohoutů, slepic a kuřat, jestliže jich dohromady je 100 a jestliže kohout stojí 4 mincí, slepice 3 mince a 1 kuře jednu minci? [Ju, str. 81] Řešení: (8, 14, 78)

12 x … počet kohoutů y … počet slepic z … počet kuřat x, y, z … jsou přirozená číslo (0 nelze) x + y + z = 100 4x + 3y + 1/3 · z = 100 | 3 ----------------------------------- 11x + 8y = 200 y = 25 – 11/8 · x x081624 y25143-8 z757881

13 ani Siou Jie, ani Čen Luan nepopisují postup řešení možná zkusmo, možná podobnou úvahou jako my metoda: pokus a omyl * * * * * A. P. Juškevič (red.): Dějiny matematiky ve středověku, Academia, Praha, 1977.

14 Čang Čchiou-t’ien (5. – 6. století) dílo: Suan-t’ing [Matematický traktát] Kohout stojí pět penízů, slepice tři peníze a tři kuřata jeden. Celkem za 100 penízů koupili 100 ptáků. Kolik koupili kohoutů, slepic a kuřat? [Ko, str. 96; Ju, str. 81] Řešení: (4, 18, 78), (8, 11, 81), (12, 4, 84)

15 Komentář x … počet kohoutů y … počet slepic z … počet kuřat x, y, z … jsou přirozená číslo (0 nelze) x + y + z = 100 5x + 3y + 1/3 · z = 100 | 3 ------------------------------------ 11x + 8y = 200 y = 25 – 7/4 · x x0481216 y2518114-3 z75788184

16 Poznámky Připomíná, že počet kohoutů vzrůstá o 4, počet slepic se zmenšuje o 7, počet kuřat roste o 3. Na každého kohouta přidej 4, na každou slepici uber 7, na každé kuře přidej 3 a dostaneš hledané. Parametrický systém? tj. x = 4k, y = 25 – 7k, z = 75 + 3k, kde k = 0, 1, 2, 3 Pravděpodobně: jedno či dvě řešení byla nalezena zkusmo nebo metodou dvou chybných předpokladů, další případná řešení již ze znalosti prvních dvou. Kvalitativnější pokrok v počtu řešení a pohledu na metodu.

17 * * * * * A. G. Konforovič: Významné matematické úlohy, SPN, Praha, 1989.

18 Alkuin (nar. okolo 735, zem. 804) studoval na katedrální škole v Yorku později učitel a správce knihovny uznávaný vzdělanec 781 se v Parmě setkal s Karlem Velikým (747–814) pracoval na jeho dvoře, pověřen organizací vzdě- lávacího systému, rozšiřování vzdělanosti 796 na vlastní žádost jmenován opatem kláštera sv. Martina v Tours

19 Propositiones ad acuendos iuvenes úlohy 5, 32, 33, 33a, 34, 38, 39 a 47 úlohy vedou na soustavu dvou lineárních rovnic o třech neznámých, která má být vyře- šena v oboru přirozených čísel Alkuin nepřijímal nulu jako řešení kromě 33a. a 34. úlohy mají všechny příklady v jeho duchu právě jedno řešení

20 Nějaký kupec řekl: Chci za sto denárů nakoupit 100 prasat, přičemž kanec stojí deset denárů, prasnice pět denárů a dvě selata jeden denár. Ať řekne, kdo rozumí, kolik je třeba koupit kanců, kolik prasnic a kolik selat, aby žádné z těchto dvou čísel nebylo ani překročeno, ani zmenšeno. [Ma, str. 13, úloha 5 ] Řešení: (1, 9, 90)vlámský žaltář ze 12. st.

21 x … počet kanců y … počet prasnic z … počet selat x + y + z = 100 10x + 5y + 1/2 · z = 100 | 2 ----------------------------------- 19x + 9y = 100 x = 100/19 – 9/19 · y Alkuin asi zkusmo hledal řešení. Problém dokázat, že je jediné, nepociťoval.

22 x = 100/19 – 9/19 · y 0 < y < 12 x musí být nezáporné 100 – 9y musí být dělitelné 19 y0123456789101112 x-- 1 z90

23 úloha 33a Nějaký otec rodiny měl 90 členů rodiny a nařídil dát jim 90 měřic obilí. A tak nařídil, že muži dostanou tři měřice a ženy dvě a každé půl měřice. Ať řekne, kdo se domnívá, že ví, kolik bylo mužů a kolik žen a kolik dětí. [Ma, str. 14] Řešení: x + y + z = 90 3x + 2y + 1/2 · z = 90 | 2 -------------------------------- 5x + 3y = 90 x = 18 – 3/5 · y y = 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30.

24 Alkuinovo řešení není známé???? y05101520253035 x1815129630-3 Z72706866646360

25 úloha 34 Nějaký otec rodiny měl 100 členů rodiny, kterým nařídil dát 100 měřic obilí takovým způsobem, že muži dostanou tři měřice a ženy dvě a každé dítě půl měřice. Ať tedy řekne, kdo může, kolik bylo mužů a kolik žen a kolik dětí. [Ma, str. 14] Řešení: (11, 15, 74) x + y + z = 100 3x + 2y + 1/2 · z = 100 | 2 --------------------------------- 5x + 3y = 100 x = 20 – 3/5 · y y = 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30.

26 y05101520253035 x20171411852 Z80787674727068

27 Alkuin dává vždy jen jedno řešení neuvádí úlohu, která nemá řešení neuvádí postup neužívá tabulku metoda zkusmého nalezení neuvádí popis algoritmu řešení inspirace ??? Diofantova Aritmetika zcela jistě ne, pravděpodobné jsou arabské vlivy (velbloudi) * * * * * K. Mačák: Tři středověké sbírky matematických úloh, edice Dějiny matematiky, sv. č. 15, Pro- metheus, Praha 2001, 101 stran.

28 Leonardo Pisánský zvaný Fibonacci (nar. asi 1170, zem. po 1240) nejvýznamnější matematik středově- ké Evropy autor několika matematických spi- sů, které byly překonány až na pře- lomu středověku a novověku

29 Liber abaci (Kniha o abaku) výklad zápisu čísel, základních početních metod (aritmetika, pí- semné algoritmy), základů alge- bry a teorie čísel demonstrováno na rozmanitých (zábavných) různě obtížných pří- kladech pestrost, efektivnost a hloubka výkladu (vklad ve zpracování) vliv arabských zdrojů též vlastní výsledky

30 Fibonacci a ptačí úlohy Liber abaci tři „ptačí“ úlohy první a druhá úloha – typické (klasické) slovní úlohy – dvě rovnice o třech neznámých – numericky naprosto totožné s „Alkuinem“ – Fibonnaci neuvádí nulová řešení – úlohy mají jen „jedno řešení“

31 třetí úloha – komplikovaná x + y + z + t = 30 3x + y + 1/2 · z + 1/4 · t = 30 | 4 ------------------------------------------- 11x + 3y + z = 90 z = 90 – 11x – 3y 0 < x < 9, 0 < y < 31, z/2 + t/4 přirozené číslo

32 x022233333 y302021221516171819 z0852129630 t002402468 x45555666 y155678012 z020171411242118 t110246024

33 x666666777778 y345678012340 z1512963013107412 t68 121418101214161820 celkem 29 řešení Fibonacci uvádí 19 (10 „nulových“ neuvádí) neuvádí metodu nepopisuje algoritmus metoda: asi zkusmé nalezení všech řešení

34 Dopis Fibonacciho mistru Theodorovi (Epistola suprascripti Leonardi ad Magistrum Theodorum phylosophum domini Imperatoris, [Dopis podepsaného Leonarda Mistru Theodo- rovi, císařskému filozofovi], nedatováno) pět ptačích úloh první jednoduchá úloha druhá, třetí a čtvrtá úloha jsou modifikací první úlohy s gradací náročnosti pátá úloha − netriviální

35 30 ptáků stojí 30 mincí. Holub stojí 2 mince, 2 hrdličky jednu a 3 vrabci rovněž jednu. Kolik je kterých? [Be, str. 305] Řešení: (11, 10, 9) x + y + z = 30 | 2 2x + 1/2 · y + 1/3 · z = 30 | 6 ------------------------------------- 10x + y = 120 y = 120 – 10x 9 < x < 13, y dělitelné 2, z dělitelné 3 x101112 y20100 z0918

36 Fibonacci popisuje postup: jako by z první rovnice dosadil za z = 30 – x – y do rovnice druhé obdržel rovnici 10x + y = 120 120 rozdělil na 10x a y, kde y je menší než 30

37 Oblíbená úloha cestující historií Někdo koupil za 30 penízů 30 ptáků a sice jedněch 3, druhých 2 kusy po 1, třetích pak kus po 2 penězích; kolik dostal kterých? [HS, str. 122] F. Hromádko, A. Strnad: Sbírka úloh z algebry, Praha, 1876.

38 druhá úloha – stejné ceny, pouze počet mincí a nakupo- vaných ptáků je 29 Řešení: (10, 16, 3), (11, 6, 12) x + y + z = 29 | 2 2x + 1/2 · y + 1/3 · z = 29 | 6 --------------------------------------- 10x + y = 116 y = 116 – 10x 9 < x < 12, y dělitelné 2, z dělitelné 3 jiné řešení, než uvedl Fibonacci, neexistuje x1011 y166 z312

39 třetí úloha – stejné ceny, počet mincí a nakupovaných ptáků je 15 Řešení: nemá řešení x + y + z = 15 | 2 2x + 1/2 · y + 1/3 · z = 15 | 6 --------------------------------------- 10x + y = 60 y = 60 – 10x 4 < x < 7, y dělitelné 2, z dělitelné 3 x56 y100 z09

40 Fibonacci není spokojen s tím, že úloha nemá řešení nalézá „nejlepší“ neceločíselné řešení (5½, 5, 4½) modifikuje zadání x + y + z = 15 | 2 2x + 1/2 · y + 1/3 · z = 16 | 6 -------------------------------------- 10x + y = 66 y = 66 – 10x 5 < x < 7, y dělitelné 2, z dělitelné 3 dospívá k jedinému řešení (6, 6, 3)

41 čtvrtá úloha – modifikuje zadání, komplikuje podmínky x + y + z = 30 2x + 3y + 1/3 · z = 30 | 3 --------------------------------- 5x + 8y = 60 x = 12 – 8/5 · y 0 < y < 10, y je dělitelné 5, z dělitelné 3 y05 x124 z1821

42 pátá úloha – komplikovanější x + y + z + t = 24 | 3 3x + 2y + 1/3 · z + 1/5 · t = 24 | 15 --------------------------------------------- 42x + 27y + 2z = 288 z = 144 – 21x – 27/2 · y 0 < x < 7, 0 < y < 11, y je dělitelné 2, z dělitelné 3, t dělitelné 5

43 x013456 y1086420 z915061218 t50151050

44 Poznámka Fibonacci řeší i složitější úlohu, která vede na soustavu čtyř lineárních rovnic o pěti neznámých úlohy nemají „ptačí motivaci“, jedná se o dělení majetku mezi více lidí, které je komplikováno zlomky inspirací zde byly arabské zdroje * * * * * J. Bečvář a kol.: Matematika ve středověké Evropě, edice Dějiny matematiky, sv. č. 19, Prometheus, Praha 2001, 445 stran.

45 České učebnice matematiky – 16. století Ondřej Klatovský z Klatov (asi 1504–1551) Nowé knijžky wo počtech na cyfry a na liny, při tom niekteré welmi užitečné regule a exempla mince rozličné, podle biehu kupeckého krátce a užitečnie sebrané..., Praha, 1530. Jiří Mikuláš Brněnský (16. století) Knížka v níž obsahují se začátkové Umění aritmetického, tj. počtův na Cifry neb liný poznání pro pacholata a lidi kupecké sebraná, Praha, 1567. Geogr Goerl z Goerlštejna (asi 1550–1591) Arithmetica to gest knijžka početnij neb uměnij počtůw na linách a cyffrách skrze exempla a mince rozličné wšem w handlech, w auřadech, a w hospodářstwij se obijragijcým welmi užitečná a prospěšná, Praha, 1577, 87 listů, další vydání: 1597, 1610

46 Jiří Mikuláš Brněnský (16. století) Knížka v níž obsahují se začátkové Umění aritmetického, tj. počtův na Cifry neb liný poznání pro pacholata a lidi kupecké sebra- ná, Praha, 1567. 1556 mistr na univerzitě ve Wittenbergu 1564 rektor městské školy v Úsově 1566 majitel městské školy v Praze

47 1. část počítání na cifry 2. část počítání na liny více úloh z běžné kupecké a výrobní praxe

48 Jsou k jednomu řádu 20 osob, jakožto muži, ženy, panny a mají platiti 20 penízů bíl., i dává jeden muž 2 pen. bíl., 1 žena 1 pen. bíl. a 1 panna 1 pen. malý; jest otázka, co jest bylo každých obzvláště k tomu kvasu? [Še, str. 54] metoda dvou chybných předpokladů oblíbená metoda, neumožňovala však najít všechna řešení příklad uveden na osvětlení metody … když dva falešní a nepraví počtové se postavují, z kterých pravý počet vyjde

49 mužů 32 muži žen 76 žen dívek 10 12 dívek – 2 – 4 [nedostatek po „dosazení do druhé podmínky“ [18, 16]] divisor 2 [rozdíl 2, 4] a)3 x 2 + 7 x 1 + 10/2 x 1 = 6 + 7 + 5 = 18 chybí 2 b)2 x 2 + 6 x 1 + 12/2 x 1 = 4 + 6 + 6 = 16 chybí 4 c)rozdíl nedostatků 4 – 2 = 2 muži (3 x 4 – 2 x 2) : (4 – 2) = 4 ženy (7 x 4 – 6 x 2) : (4 – 2) = 8 dívky (10 x 4 – 12 x 2) : (4 – 2) = 8 řešení (4, 8, 8)

50 My x + y + z = 20 2x + y + 1/2 · z = 20 | 2 -------------------------------- 3x + y = 20 y = 20 – 3x 0 < x < 7, z dělitelné 2 x0123456 y20171411852 z024681012

51 * * * * * J. Šedivý a kol.: Antologie matematických didaktických textů. Období 1360 – 1860, MFF UK, SPN, Praha, 1987, 264 stran (str. 57–58).

52 Arabská tradice – 9. až 15. století Abú Kámil (9./10. století) celým jménem Abú Kámil Šudžá ibn Aslam Ibn Muhammad al-Hásib al-Misrí žil asi 850 až 930 o jeho životě nemáme téměř žádné zprávy

53 Kniha aritmetických kuriozit [Kitáb tará ’if fi ’l-hisáb] známe z arabského opisu, který vytvořil Mas’úd ibn Muhammad al-Džulfarí v letech 1211 až 1218 práce přeložena do hebrejštiny, španělštiny, lati- ny, němčiny a češtiny sbírka úloh motivovaných nákupem či prodejem opeřenců (asi jako potrava) úlohy vedou (v dnešním pojetí) na řešení soustav dvou lineárních rovnic a třech až pěti neznámých řešení se hledalo v oboru přirozených čísel uvedena jsou všechna řešení, neuvažují se však případy, kdy některý opeřenec by byl nakupován v nulovém množství

54 1. úloha1 řešení 2. úloha6 řešení 3. úloha98 řešení (Kámil našel „jen“ 96) 4. úloha304 řešení 5. úloha0 řešení 6. úloha2676 řešení

55 třetí úloha Jak budeš počítat, když dostaneš sto drachem a je ti řečeno: kup za to sto ptáků čtyř druhů, totiž kachny, vrabce, holuby a kuřata, kachnu za čtyři drachmy, deset vrabců za jednu drachmu, dva holuby za jednu drachmu a kuře za jednu drachmu. [Ma, str. 65] soustava dvou rovnic o čtyřech neznámých

56 x + y + z + r = 100 4x + 1/10 · y + 1/2 · z + r = 100 --------------------------------------- slovně popisuje svůj postup a úvahy 3x – 9/10 · y – 1/2 · z = 0 x = 3/10 · y + 1/6 · z počet vrabců (y) musí být dělitelný 10 počet holubů (z) musí být dělitelný 6

57 Kámil a) začne s y = 10, z = 6 a vypočte x = 4, r = 6 pak postupně za z bere 6, 12, …, 66 a pro každé z za y postupně dosazuje 10, 20, …, končí pro případ r = 0 (resp. r < 0) vypočte 44 různých „nenulových“ řešení

58 b) y je dělitelné 5, z je dělitelné 3 (sčítáme poloviny) vezme y = 5, z = 3, vypočte x = 2, r = 90 pak postupuje analogicky jako v případě a) „vypočte“ 54 dalších „nenulových“ řešení dvě řešení přehlédl ([ Ma], str. 65 ) 98 nenulových řešení, 24 nulových (44 nenulových a 13 nulových; 54 nenulových a 11 nulových)

59 x047101316192225 y010203040506070010 z0666666612 r10080675441281528673 81114172036912151821 20304050600102030405060 12 18 6047342187966534027141

60 47101316195811141720 0102030405001020304050 24 30 7259463320765523926130 69121518710131681114 010203040010203001020 36 42 48 58453219651382512443118

61 179121510131611141215 3001020010200100 4854 60 66 72 5372411301742310163 258111417201 51525354555650 33333336 9077645138251293

62 36912151821 5152535455565 9999999 8370574431185 4710131619 51525354555 15 766350372411

63 58 141720 51525354555 21 69564330174 69121518 515253545 27 6249362310

64 7 131619 515253545 33 554229163 81114179121518 51525355152535 39 45 48352294128152

65 10131611 515255 51 57 3421827 141712151316 15255155 57 63 69 141207130

66 14131436912151821 50010203040506070 7578840000000 6928774614835229

67 čtvrtá úloha Bylo ti dáno sto drachem a bylo ti řečeno: kup za to sto ptáků čtyř druhů, totiž kachny, holuby, skřivany a kuřata, kachnu za dvě drachmy, dva holuby za jednu drachmu, tři skřivany za jednu drachmu a kuře za jednu drachmu. [Ma, str. 66] soustava dvou rovnic o čtyřech nezná- mých

68 x + y + z + r = 100 2x + 1/2 · y + 1/3 · z + r = 100 ------------------------------------- slovně popisuje svůj postup a úvahy x – 1/2 · y – 2/3 · z = 0 x = 1/2 · y + 2/3 · z počet holubů (y) musí být dělitelný 2 počet skřivanů (z) musí být dělitelný 3

69 Kámil a) postupně dosazuje z = 3, 6, 9, 12, …, 57 (60 již nelze, neboť 3/2 · y + r = 0) b) pro pevné z postupně dosazuje y = 2, 4, 6, 8, … c) počítá x, r

70 vypočte všech 304 řešení, neuvažuje nulová řešení (28) z = 331 řešení3314 řešení 6293613 9283911 1226429 1524458 1823486 21 514 2419543 2718571 3016

71 pátá úloha Je ti dáno sto drachem a je ti řečeno: kup za to sto ptáků tří druhů, totiž kachny, kuřata a vrabce, kachnu za tři drachmy, tři kuřata za jednu drachmu, dvacet vrabců za jednu drachmu. [Ma, str. 66] soustava dvou rovnic o třech neznámých

72 x + y + z = 100 3x + 1/20 · y + 1/3 · z = 100 | 3 ----------------------------------------- slovně popisuje svůj postup a úvahy 8x – 17/20 · y = 200 x = 25 – 17/160 · y je zřejmé, že počet vrabců (y) musí být dělitelný 160 to je spor, neboť všech ptáků má být jen 100 úloha nemá řešení [řešení (25, 0, 75) není uvažováno]

73 šestá úloha Je ti dáno sto drachem a je ti řečeno: kup za to sto ptáků pěti druhů, totiž kachny, holuby, hřivnáče, skřivany a kuřata, kachnu za dvě drachmy, dva holuby za jednu drachmu, tři holuby hřivnáče za jednu drachmu, čtyři skřivany za jednu drachmu a jedno kuře za jednu drachmu. [Ma, str. 66] soustava dvou rovnic o pěti neznámých

74 x + y + z + u + v = 100 2x + 1/2 · y + 1/3 · z + 1/4 · u + v = 100 ------------------------------------------------ slovně popisuje svůj postup a úvahy x – 1/2 · y – 2/3 · z – 3/4 · u = 0 x = 1/2 · y + 2/3 · z + 3/4 · u počet holubů hřivnáčů (z) musí být dělitelný 3 součet počtu skřivanů (u) a holubů (y) musí být přirozené číslo a) y je sudé a u je dělitelné 4 [1233 variant] a) y je liché a u sudé, ale u není dělitelné 4 [1443 variant]

75 Kámil ukazuje, jak všechny možnosti „efektivně přebrat“ jaký zvolit algoritmus konstatuje, že úloha má 2676 řešení pilný čtenář jistě dopočítá Kvalitativní změna v přístupu k řešení problému všechna nenulová řešení snaha detailně popsat algoritmus volba úloh s žádným, jedním, dvěma a více řešeními

76 * * * * * K. Mačák: Tři středověké sbírky matematických úloh, edice Dějiny matematiky, sv. č. 15, Pro- metheus, Praha 2001, 101 stran. A. P. Juškevič (red.): Dějiny matematiky ve středověku, Academia, Praha, 1977.

77 Leonhard Euler (1707–1783) Vollständige Anleitung zur Algebra, 1767 Neue Ausgabe, Verlag von Philipp Reclam jun., Leipzig, ????, 527 stran. 2. díl, 2. část, 2. kapitola, str. 350–356. šest úloh vedoucích na diofantické rovnice stručná a neúplná teorie promyšlená koncepce vždy uvedena „všechna“ existující řešení

78

79 třetí úloha [Eu, str. 352] nemá text, není klasickou slovní úlohou x + y + z = a fx + gy + hz = b popisuje odstranění z a následné řešení rovnice cx + dy = e ---------------- následuje výklad na konkrétním příkladu

80 x + y + z = 100 | 3 7/2 · x + 4/3 · y + 1/2 · z = 51 | 6 ------------------------------------------ 18x + 5y = 6 y = 6/5 – 18/5 · x = (6 – 18x)/5 … čitatel nemůže být přirozené číslo úloha nemá řešení

81 čtvrtá úloha Jeden mincmistr měl tři druhy stříbra, 14-lotové, 11-lotové a 9-lotové. Celkové množství odpovídalo 30 kusům 12-lotového stříbra. Kolik měl kterého? [Eu, str. 353] x + y + z = 30 | 9 14x + 11y + 9z = 30 x 12 = 360 -------------------------------------------- 5x + 2y = 90 y = 45 – 5/2 · x x1012141618 y20151050 z036912

82 Poznámka zdůrazňuje praktické použití znalosti pro minc- mistry, zlatníky, směnárníky... diofantická rovnice, není zde ptačí motivace uvádí i nulová řešení (jsou přípustná pro směnu, obvykle nejsou přístupná pro nákup)

83 pátá úloha Kdosi koupil 100 kusů dobytka za 100 peněz. 1 vůl stojí 10 peněz, 1 kráva je za 5, 1 tele za 2, 1 ovce za 1/2. Kolik koupil volů, krav, telat a ovcí? [Eu, str. 354]

84 x + y + z + u= 100 10x + 5y + 2z + 1/2 · u = 100 | 2 ------------------------------------------ 19x + 9y + 3z = 100 z = 33 + 1/3 – 6x – 1/3 · x – 3y z = 33 – 6x – 3y + (1 – x)/3

85 volba x – 1 = 3t, kde t je přirozené číslo x = 3t + 1 y = y z = 27 – 19t – 3y u = 72 + 2y + 16t ze třetí rovnice je patrné, že t = 0, 1 (2 již nelze 27 – 2 x 19 < 0) úlohu musíme vyřešit pro dva různé parametry

86 I. t = 0 x = 1 y = y z = 27 – 3y u = 72 + 2y ze třetí rovnice je zřejmé, že y = 0, 1, …, 9 x1111111111 y0123456789 z2724211815129630 u72747678808284868890

87 II. t = 1 x = 4 y = y z = 8 – 3y u = 88 + 2y ze třetí rovnice je zřejmé, že y = 0, 1, 2 x444 y012 z852 u889092

88 Eulerova poznámka 10 řešení je „řádných“ (nenulová) 3 řešení nevyhovují (nulová) soustava dvou lineárních rovnic o čtyřech nezná- mých nejobtížnější úloha klasická „ptačí úloha“

89

90 Indická matematika – 5. až 14. století neurčité rovnice prvního stupně problémy nejsou motivovány ptačími úlohami motivací byly astronomické výpočty, v nichž se hledala perioda pravidelně se opakujících dějů (např. postavení nebeských těles s různými dobami oběhu) nalezení celých čísel, které při dělení dvěma danými celými čísly dají předem stanovený zbytek

91 Árjabhata I. (nar. asi 476 až 550) dílo: Árjabhatíja (kolem 499) řeší úlohu N = ax + r 1, N = by + r 2, tj. chce rozdělit přirozené číslo N přirozenými čísly a, b tak, aby zbytky po dělení byly r 1 a r 2. řeší tedy úlohu ax + c = by, kde c > 0, a, b, c jsou přirozená čísla; a, b jsou nesoudělná

92 Další indičtí matematici Brahmagupta (asi 598 až 670) dílo: Brahmasphuta-siddhanta [Zdokonalení nauky Brahmovy, kolem 628] 18. kapitola – metoda kuttaka [„řetězové zlomky“] Bháskara II. (1114 – po 1178) dílo: Siddhánta – širómani [Koruna vědy, kolem 1150] dílo: Bídžaganita (2. kapitola, 55. až 57. sloka) zdokonalení metody kuttaka [řetězové zlomky]

93 Indická metoda – Bháskara II. ax + c = by předpoklady: 1)nsd(a, b) = 1 2)a > b 3)a, b jsou přirozená čísla 4)c je celé číslo 5)a/b … vyjádříme pomocí řetězového zlomku (konečný řetězový zlomek)

94 a/b = [q 0 ; q 1, q 2, …, q n-1, q n ] (kdyby a < b, q 0 = 0) k-tý přibližný zlomek: P k /Q k = [q 0 ; q 1, q 2, …, q k ] P n-1 /Q n-1 = [q 0 ; q 1, q 2, …, q n-1 ] a/b = P n /Q n = [q 0 ; q 1, q 2, …, q n ]

95 x = (-1) n · c · Q n-1 + b · t, y = (-1) n · c · P n-1 + a · t, kde t je celé číslo. Problém: jak najít q 0, q 1, q 2, …, q n-1, q n ? -- Eukleidův algoritmus pro nalezení nsd(a, b), kde a > b a = b · q 0 + b 1 b = b 1 · q 1 + b 2 b 1 = b 2 · q 2 + b 3... b n-2 = b n-1 · q n-1 + b n b n-1 = b n · q n nsd(a, b) = b n

96 Poznámka Bháskara II. a) je-li n sudé → algoritmus přímo poskytne kladné řešení b) je-li n liché → nutná korekce

97 100x + 90 = 63y --------------------- 100/63 = [1; 1, 1, 2, 2, 1, 3] P 7 /Q 7 = [1; 1, 1, 2, 2, 1, 3] tedy n = 6 P 6 /Q 6 = [1; 1, 1, 2, 2, 1] = 27/17 řešení x = 90 · 17 + 63t → 18 + 63t,(t 0 = – 24) y = 90 · 27 + 100t → 30 + 100t, kde t je celé číslo Bháskara II. uvedl (30, 18), (81, 130) a (144, 230) [t = 0, 1, 2]

98 nsd(100, 63) = 1 ----------------------- 100 = 1 · 63 + 37 63 = 1 · 37 + 26 37 = 1 · 26 + 11 26 = 2 · 11 + 4P 6 /Q 6 = 27/17 11 = 2 · 4 + 3 4 = 1 · 3 + 1 3 = 3 · 1 q0q0 q1q1 q2q2 q3q3 q4q4 q5q5 q6q6 1112213

99 60x + 16 = 13y --------------------- 60/13 = [4; 1, 1, 1, 1, 2] P 6 /Q 6 = [4; 1, 1, 1, 1, 2] tedy n = 5 P 5 /Q 5 = [4; 1, 1, 1, 1] = 23/5 řešení x = – 16 · 5 + 13t = – 80 + 13t, y = – 16 · 23 + 60t = – 368 + 60t, kde t je celé číslo

100 nsd(60, 13) = 1 ----------------------- 60 = 4 · 13 + 8 13 = 1 · 8 + 5 8 = 1 · 5 + 3 P 5 /Q 5 = 23/5 5 = 1 · 3 + 2 3 = 1 · 2 + 1 2 = 2 · 1 q0q0 q1q1 q2q2 q3q3 q4q4 q5q5 411112

101 Převod na „kladné“ řešení x = – 80 + 13t = – 13 · 6 – 2 + 13t = – 2 + (t – 6) · 13, y = – 368 + 60t = – 60 · 6 – 8 + 60t = – 8 + (t – 6) · 60, kde t je celé číslo. nyní hledáme x 0 a y 0 kladné a minimální: t – 6 = 1, tudíž x 0 = 11 a y 0 = 52 x = 11 + 13t´, y = 52 + 60t´, kde t´ je celé číslo.

102 * * * * * A. P. Juškevič (red.): Dějiny matematiky ve stře- dověku, Academia, Praha, 1977. I. Sýkorová: Kuttaka, str. 159–162, in J. Bečvář, M. Bečvářová (ed.): 34. mezinárodní konference Historie matematiky, Praha, 2013.

103 Děkuji za pozornost.