Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Vládne nám NÁHODA? aneb několik poznámek o PRAVDĚPODOBNOSTI.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Vládne nám NÁHODA? aneb několik poznámek o PRAVDĚPODOBNOSTI."— Transkript prezentace:

1 Vládne nám NÁHODA? aneb několik poznámek o PRAVDĚPODOBNOSTI

2 V sedmnáctém století se jeden zarputilý hráč obrátil na Blaise Pascala s prosbou o radu. Chtěl vědět, zda existují nějaká pravidla, která by mu umožnila získat při hře v kostky výhodu nad protivníky. Francouzský učenec se dal do řešení. Výsledkem byly základy teorie pravděpodobnosti, která dokáže popsat padající kostku nebo pohyb opilce po ulici. Ačkoli to tak nevypadá, náhoda podléhá určitým pravidlům. Pokud jde o kostky, je například jisté, že při dostatečném množství pokusů padne stejný počet jedniček i šestek. Pravděpodobnost, že při jednom hodu padne právě jednička, je proto 1/6. Hazardnímu hráči toto zjištění sice příliš nepomůže, ale díky teorii pravděpodobnosti se dá vysvětlit mnoho náhodných událostí. Každá náhodná událost totiž může být složena ze souboru základních stejně pravděpodobných jevů. Jakmile nalezneme správnou kombinaci těchto jevů, můžeme určit pravděpodobnost takové události. Pochopit všechny aspekty pravděpodobnosti (ať už jejího výpočtu nebo správnou interpretaci výsledku) není vždy snadné.

3 Př. 1 Jako příklad může sloužit klamné uvažování hráčů. Předpokládejme, že na ruletě v kasinu šestkrát za sebou padla červená. Hráči jsou obvykle přesvědčeni, že v další hře padne s větší pravděpodobností černá. Ve skutečnosti je pravděpodobnost stále stejná - 50 ku 100 (tj. 50 %). Totéž platí, když si házíme mincí. Pokaždé je stejná pravděpodobnost, že padne hlava, jako pravděpodobnost, že padne orel, a to nezávisle na tom, co padlo předtím. (tzv. nezávislé pokusy)

4 Dnes pravděpodobnost chápeme nejčastěji jako část matematiky nebo jako číslo. Pravděpodobnost jako číslo vyjadřuje svou hodnotou míru očekávání („naději“) toho, že nastane nějaký jev (jako výsledek nějakého náhodného pokusu). Hodnota pravděpodobnosti je reálné číslo z intervalu  0;1 , resp. vyjádřeno v procentech z intervalu  0;100 . Existují dva základní způsoby určení pravděpodobnosti: Klasická pravděpodobnost : pravděpodobnost, že výsledkem náhodného pokusu nastane jev A, je rovna podílu počtu příznivých výsledků (kdy jev A nastane) m(A) a počtu všech možných výsledků pokusu n. Statistická pravděpodobnost: pravděpodobnost jevu A je určena relativní četností výskytu jevu A při mnohonásobném opakování pokusu

5 Př. 2 Vymyslete způsob, jak „jinak“ vyjadřovat pravděpodobnost určitého jevu. Kdyby byla pravděpodobnost vyjádřena barvou spojitého spektra (nejmenší pravděpodobnost červenou, největší fialovou), říkali bychom např.: A nebo se můžeme obejít bez barev – malá pravděpodobnost = bílá, velká pravděpodobnost = černá, nebo ještě lépe: světlé, bledé x tmavé, jasné. „Pravděpodobnost toho, že při jednom hodu klasickou hrací kostkou padne sudé číslo je zelená“. p = 5O % p = O %p = 10O %

6 Naše „slepota“ k problému pravděpodobnosti je ještě patrnější, když chceme analyzovat rizikové situace. Umíme rozlišovat mezi tím, v čem žádné nebezpečí nehrozí, a tím, v čem naopak hrozí (vlastní zkušenost?). Nejsme však schopni určit, zda nastane situace, jejíž pravděpodobnost je 1:10 000, popřípadě jiná, u níž je tento poměr 1:100. Skutečně se také nestaráme o to, zda je riziko velké, anebo malé, ale zda vůbec existuje. Zatímco upustíme od některých kroků, protože jsou spojeny s určitým nebezpečím, podnikneme jiné, které jsou riskantnější. Př. 3 Vezměme si jako příklad letecká neštěstí. Někteří lidé nechtějí létat, protože se bojí, že letadlo spadne, což jim však nebrání jezdit autem, ačkoli pravděpodobnost, že zahynou při silniční havárii, je mnohem větší.

7 Pokušení stát se přes noc milionářem je základem hazardních her. Každý ví, že je to velmi těžké, ale říkáme si, co kdyby to náhodou vyšlo? Málokdy si však klademe otázku, zda jsou tyto hry - od rulety po různé loterie - vyrovnané, tedy spravedlivé. Co však znamená spravedlivé? Výhry jsou spravedlivé, jestliže poměr mezi sázkou a ziskem se rovná poměru mezi pravděpodobností výhry a pravděpodobností prohry. Př. 5 Vezměme si například hru v kostky. Dejme tomu, že vyhrajeme, hodíme-li trojku. Pravděpodobnost výhry je 1:6, pravděpodobnost prohry je 5:6. Sázka by tedy byla spravedlivá, jestliže by výhra při uhodnutí čísla byla pětkrát větší než vsazená částka. Jsou se zřetelem k tomu hazardní hry spravedlivé? Každý musí dojít k závěru, že nejsou. Některé jsou však spravedlivější než jiné.

8 Nejlépe z toho vychází ruleta. Vsadíme-li na jediné číslo od 1 do 36 a uhodneme, vyplatí nám částku pětatřicetkrát větší, než jsme vsadili. Výhra se tedy vyplácí ve „správném“ poměru. Zapomněli jsme však na nulu; padne-li, bank dostane všechno, co je na stole. Mohlo by se zdát, že výdělek kasina je velmi malý, ale tak tomu není. Tohle malé porušení zákonů vyrovnanosti zaručuje, že banku připadnou skoro tři procenta z veškerých peněz, které se dostanou na hrací stůl. Přesto je ruleta jednou z nejslušnějších her, protože poměr pro a proti je 48,6 ku 51,4 procenta. V jednoduché číselné loterii je třeba uhodnout 6 ze 49 čísel. V tomto případě je pravděpodobnost výhry velice nízká, protože existuje téměř 14 milionů možných kombinací. Kolo rulety je rozděleno na třicet sedm oddílů očíslovaných od 0 do 36. Nula je vyznačena zeleně, ostatní čísla střídavě červeně a černě. Herna vyplácí pro různé druhy sázek pevně stanovené sázkové kurzy. Jsou odvozeny od pravděpodobnosti různých výsledků tak, aby se na ně dalo vyhrát, a přitom jsou o něco menší než tato pravděpodobnost, takže kasino vždy vydělá.

9 PRAVDĚPODOBNOST VÝHRY V RULETĚ A VYPSANÉ KURZY A. Jediné číslo: Herna vyplatí 35:1, šance na výhru je 1/37. B. Rozdělení sázky na dvě čísla. Herna vyplatí 17:1 (34/2), šance na výhru je 2/37. C. Řada 19, 20, 21. Herna vyplatí 11:1 (33/3), šance na výhru je 3/37. D. Roh, sázka na čísla 25, 26, 26, 29. Herna vyplatí 8:1 (32/4), šance na výhru je 4/37. E. Dvě řady, např. 4, 5, 6, 7, 8, 9. Herna vyplatí 5:1 (30/6), šance na výhru je 6/37. F. Celý sloupec. Herna vyplatí 2:1 (24/12), šance na výhru je 12/37. G. Tucet, např. 25 až 36. Herna vyplatí 2:1 (24/12), šance na výhru je 12/37. H. Barva, např. červená. Herna vyplatí 1:1, šance na výhru je 18/37. I. Sudá, nebo lichá. Herna vyplatí 1:1, šance na výhru je 18/37. J. Vysoké nebo nízké číslo, od 19 do 36. Herna vyplatí 1:1, šance na výhru je 18/37.

10 Představte si, že v ruletě budete sázet na jedno jediné číslo. Za to je vypsána nejvyšší výhra, pětatřicetinásobek. Za jednu vsazenou korunu získáte zpátky 35 korun plus vklad. A právě ve výši výhry je jádro problému. Ukažme si proč. Dejme tomu, že strávíte v kasinu celou noc a budete při každém otočení rulety sázet vždy jednu korunu na jedno číslo. Budete to opakovat tři sta sedmdesátkrát za sebou a pokaždé vyberete jedno z 37 čísel na ruletě. Celkem bude vašich her 370 a vaše šťastné číslo by se za tu dobu mohlo objevit třeba desetkrát. Stane-li se, že desetkrát vyhrajete, vyhrajete celkem 350 korun plus navrácený vklad. Při zbylých hrách prohrajete svůj vklad, korunu za každé kolo. Vaše celková ztráta pak činí 360 korun, váš celkový zisk 350 korun. Po celonočním hraní, kdy se na vás často usmálo štěstí, odcházíte se ztrátou deseti korun.

11 Př. 6 Jaká je pravděpodobnost, že při jednom tahu Sportky (6+1 dodatkové číslo ze 49) bude vylosováno číslo 47? (ne jako dodatkové)? Srovnejte klasickou a statistickou pravděpodobnost. Při použití klasické pravděpodobnosti je Pro použití statistické pravděpodobnosti je třeba znát výsledky mnoha opakování pokusu – zde vylosovaná čísla středeční Sportky za 1218 losování - viz. obr. na další stránce (zdroj: Číslo 47 bylo taženo krát (185x, z toho 30x jako dodatkové) Pravděpodobnost jeho vylosování je tedy určena relativní četností jeho vylosování a ta je

12  V V loterii je pro každou kombinaci šesti čísel stejná pravděpodobnost, že bude vylosována. Při zaškrtávání čísel proto člověk nemůže udělat nic, čím by zvýšil šance na výhru. Může se stát, že správná čísla uhodnou dva lidé a podle pravidel by se pak museli o výhru podělit. Je proto vhodné zaškrtávat čísla, která ostatní pravděpodobně nevyberou. V Británii například každý týden označí velké množství sázejících jako výherní šestku čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6. Tato čísla mohou být vylosována se stejnou pravděpodobností jako jakýchkoli šest jiných. Kdyby byla skutečně vylosována, muselo by se o výhru podělit i deset tisíc výherců. Při dvoumilionové výhře by na každého připadly jen dvě stě. Vyhněte se prvním číslům, zaškrtává je mnoho lidí.  V Vybírejte čísla blízko okraje, ta lidé volí málokdy. Loterijní „triky“

13  V V ynechte sedmičku. Jako šťastné číslo ji volí mnoho hráčů. ZZaškrtněte čísla větší než 31. Řada lidí zadává svá data narození a zaměřují se přitom na čísla od 1 do 31.  N Nezaškrtávejte čísla v jednom sloupci, je to rovněž rozšířený jev.  N Nejlepší volbou je číslo 46, podle statistik je to nejméně zaškrtávané číslo vůbec. Ale je třeba si pospíšit, protože tento článek čte asi tři sta tisíc lidí. Příjemné pocity spojené se hrou mají centrum ukryté hluboko v mozku. Při výhře se do mozku uvolňují stejné látky jako při sexu nebo požití drogy.

14 Př. 7 Představte si, že během šesti týdnů dostanete šest dopisů s předpovědí, jak se bude na burze pohybovat kurz určitých akcií. Ve všech budou předpovědi správné. Pak vám tato přesvědčivá burzovní agentura, vybavená výkonnými počítači, pošle sedmý dopis. V něm bude stát, že chcete-li dále dostávat dopisy s radami, kam investovat, musíte zaplatit určitou částku. Jaká je pravděpodobnost toho, že když pošlete požadovanou částku, poradí Vám i posedmé? Lidé se při rozhodování rozdělí na 2 skupiny: 1) Ano, vždyť kdo mi šestkrát poradí správně, pravděpodobně „se vyzná“ a já na tom můžu vydělat. 2) Ne, jasný podvod, „pyramida“ nebo „letadlo“, „namlsali mě“ a teď vyinkasují peníze a je po dobrých radách. Kam se hrabe hazard! Stále se přesvědčujeme, že mnoho lidí by naletělo na tento burzovní podvod, který je stejně jednoduchý jako účinný. Jak to funguje?

15 Představte si teď, že agenturou jste vy. Koupíte si pěkný papír a pošlete 32 tisíc dopisů potenciálním klientům. Polovině sdělíte, že určité akcie půjdou nahoru, a druhé polovině, že jejich kurz klesne. Ať to na burze dopadne jakkoli, v 16 tisících případů uhodnete. Zapomenete na ty, kteří dostali chybnou předpověď, a zaměříte se na ty druhé. Těchto zase rozdělíte na dvě poloviny, a uděláte znovu totéž. Jedněm napíšete, že se akcie zvednou, a druhým, že půjdou dolů. Budete-li v této strategii pokračovat, může se stát, že 500 adresátů dostane šestkrát správnou předpověď. Když jim pošlete sedmý dopis a budete od nich chtít určitou větší finanční částku, bylo by divné, kdyby někteří nebyli ochotni zaplatit. A i kdyby z těch 500 osob dejme tomu zaplatila jen čtvrtina (125), každý Kč, dorazí vaší agentuře Přitom náklady na rozeslání dopisů (kus za cca 10 Kč) jsou „jen“ Kč. !!! NEPROVOZOVAT – PODVOD !!!

16 Př. 8 Proč namazaný chléb vždy neomylně padá dolů namazanou stranou? Záhada namazaného chleba je jev, který lze poměrně snadno vysvětlit. Stačí provést jednoduchý pokus, při kterém jeho roli převezme například kniha. Také ona, je-li opakovaně shazována ze stolu, dopadá na zem stejným způsobem, samozřejmě za předpokladu, že ji umístíme vždy stejně. Je to náhoda? Není, odpověděl před pár lety americký fyzik Robert Matthews. Stůl, na kterém se kniha nebo zmíněný krajíc nacházejí, mívá určitou výšku, vhodnou pro náš vzrůst. Když do chleba při snídani neopatrně strčíme loktem, stačí při cestě k zemi vykonat sotva polovinu obratu. Výška stolu je jednoduše pro delší obrat příliš malá.

17 Př. 9 Jedním z prvních využití teorie pravděpodobnosti byl objev skotského fyzika Jamese Clerka Maxwella. Při zkoumání mechaniky plynů dospěl k závěru, že nikdo nebude moci nikdy změřit polohu a rychlost jednotlivých molekul a vyřešit miliardy rovnic, které by mohly popsat jejich dráhu letu. Navíc si uvědomil, že takový nadlidský úkol není ani nutný. Pojmy, které ho zajímaly, byl objem zkoumaného množství plynu, celková kinetická energie (teplota) a intenzita srážek (tlak). Protože Maxwell nemohl znát pohyb jednotlivých částeček plynu, vyšel z předpokladu, že je náhodný. Použil přitom pravděpodobnostní zákony a dopracoval se k velice přesným výsledkům. Jeho poznatky pomohly pochopit pohyb pylového zrnka na hladině vody, který pozoroval Maxwellův krajan, botanik Robert Brown. Vysvětlení tohoto pohybu, který způsobují srážky zrnka pylu s částečkami kapaliny, je možné opět za pomoci hypotézy, že je řízen čistou náhodou.

18 Př. 10 Velkou roli hraje náhoda při rozmnožování rostlin i živočichů. Při opylení záleží na tom, odkud právě přilétla vzduchem včela, z jaké rostliny. Podobně u živočichů vítězí jen jeden spermatozoid. Náhoda, lépe řečeno náhodné mutace, byly pro Darwina příčinou rozrůznění druhů žijících na naší planetě. Jak dodávají neodarwinisté, jejich hlavním přínosem jsou náhodné změny v DNA. Při reprodukci této molekuly s informací o jedinci občas dochází k náhodným chybám, které mohou být výhodné. Také přirozená výměna genů mezi rodiči může vést k miliardám kombinací potomstva. Dětmi náhody jsme tedy do jisté míry všichni.

19 CO JE NÁHODA? Zbývá si položit základní otázku: co je tedy vlastně náhoda? A existuje skutečně? V šedesátých letech se pokusili američtí inženýři Ray Solomonov, Gregory Chaitin a Rus Andrej Kolmogorov náhodu definovat. Dospěli ke geniálně jednoduchému řešení: „náhoda je to, co nelze nijak shrnout“ Řada čísel není nahodilá, dá se popsat jako "deset čísel 7". Oproti tomu řada se nedá takto zkrátit - nebo alespoň nikdo zatím nenašel způsob, který by to umožňoval. Totéž platí pro náhodu jako takovou, ať už jde o pohyb pylového zrnka nebo o popis živočichů všech druhů, který je možný sestavit jen tak, že budeme postupovat od jednoho k druhému. Výčet potom bude velice dlouhý a jen stěží dojdeme k nějakému krátkému shrnutí. Konečně pokud jde o naše životy, je jen na nás, zda věříme na osud nebo přičítáme sled různých událostí náhodě. Protože právě náhodě možná vděčíme za to, že žijeme.

20 Velké množství her přímo vyžaduje, aby hráč (má-li být úspěšný) o pravděpodobnosti jevů, které se během hry objevují, něco věděl. I při „Člověče, nezob se!“ na tom bude lépe ten, kdo něco ví pravděpodobnosti při házení kostkou, než ten, kdo bezmyšlenkovitě hází, aby jen dodržoval pravidla. U karetních her můžeme navíc zapojit paměť, atd., atd. Při stolní hře „Osadníci z Katanu“ hráč začíná každý „tah“ tím, že hází 2 současně kostkami. Podle součtu padlých hodnot dostává suroviny z částí ostrova, na kterých má vesnice nebo města. Části ostrova jsou označeny čísly od 2 do 12. Kdo se vyzná v kombinatorice a pravděpodobnosti ví, že některé součty jsou pravděpodobnější než jiné. Hráčům to usnadňuje grafické znázornění čísel polí (částí ostrova) - málo pravděpodobná jsou malá, více pravděpodobná velká a nejpravděpodobnější velká červená. I „stavba ostrova“ - herní plán této hry souvisí s kombinatorikou. Rozmístění jednotlivých polí je náhodné, stejně jako rozmístění žetonů s čísly. Každá hra je tedy v podstatě originální co týká rozložení a výnosnosti jednotlivých polí.

21 Ukázka stolní hry „OSADNÍCI Z KATANU“

22 Ukázka stolní hry „OSADNÍCI Z KATANU“

23 Ukázka stolní hry „OSADNÍCI Z KATANU“

24 Ukázka stolní hry „OSADNÍCI Z KATANU“

25 Od 90. let 20. století patří i v ČR k velmi oblíbeným tzv. kurzové sázky. Při nich hráči tipují výsledky sportovních (ale i jiných) zápasů. Výhrou je vložená (vsazená) částka vynásobená tzv. kurzem daného tipu, což je jen jiným způsobem vyjádřená pravděpodobnost toho, že nastane právě tento výsledek. Lze ji vyjádřit také jako „jedna ku kurz“. Příklad: kurz 1,05 vyjadřuje pravděpodobnost 1 : 1,05 = 0,95 (hráč by za 100 vsazených Kč obdržel 105 Kč) kurz 1,80 vyjadřuje pravděpodobnost 1 : 1,80 = 0,56 (hráč by za 100 vsazených Kč obdržel 180 Kč) kurz 4,70 vyjadřuje pravděpodobnost 1 : 4,70 = 0,21 (hráč by za 100 vsazených Kč obdržel 470 Kč) atd. To platí při sázce na jeden zápas. Pravděpodobnosti (kurzy) se při sázce na více zápasů (tzv. AKO sázka) násobí a pro výhru musí být všechny tipy správně.

26 Fotbal / Česka rep. / 1.liga / 10.kolo Ostrava-Sparta Zlin-Ml.Boleslav Olomouc-Brno Slavia-Opava Budejovice-Teplice Fotbal / Česka rep. / Pohár ČMFS / 3.kolo Jihlava-Slavia Hokej / ČR / 1.liga / 14.kolo Havirov-Chomutov C.Budejovice-Beroun Kdyby si hráč vybral tyto zápasy a tipoval správně modře označené výsledky, byl by celkový kurz: 2,75x1,52x1,52x1,3x1,29x1,55x1,3x1,25=26,84 a za vsazených 100 Kč by dostal 2684 Kč.

27 Zdroje: Použitá literatura: Doc. RNDr. Josef Polák, CSc. - Přehled středoškolské matematiky (Prometheus) RNDr. Oldřich Petránek, RNDr. Emil Calda, CSs., Ing. Petr Hebák - Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU 4. (Prometheus) Časopis zahraniční zajímavost – č. 15/2001, 17/2005.


Stáhnout ppt "Vládne nám NÁHODA? aneb několik poznámek o PRAVDĚPODOBNOSTI."

Podobné prezentace


Reklamy Google