Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽERY Metody vícekriteriálního rozhodování Prof. RNDr. Jaroslav Ramík, CSc.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽERY Metody vícekriteriálního rozhodování Prof. RNDr. Jaroslav Ramík, CSc."— Transkript prezentace:

1 ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽERY Metody vícekriteriálního rozhodování Prof. RNDr. Jaroslav Ramík, CSc.

2  varianty (někdy též alternativy, možnosti, prvky ) A = {a 1, a 2,...,a n }, n > 1  kritéria (vlastnosti, atributy, charakteristiky, hlediska) C = {f 1,f 2,...,f m }, m > 1 Základní pojmy vícekriteriálního rozhodování

3 Příklad. Výběr optimálního nového osobního automobilu nižší střední třídy pro pana XY Varianty: Škoda Octavia, Ford Focus, VW Golf, Mazda 3, Hyundai i30 Kritéria:Cena, Výkon, Spotřeba, Pohodlí, Bezpečnost, Vzhled

4 Rozhodovací proces Vícekriteriálnost přestavuje podstatný rys rozhodování  ve sféře ekonomické  sociální  politické  vojenské apod.

5 Rozhodovacími procesy řešení problémů s více než jednou možností řešení Řešením vícekriteriální rozhodovací úlohy – postup, který vede k nalezení „optimálního“ stavu systému („optimální“ varianty) vzhledem k více než jednomu uvažovanému kritériu Alternativní název – vícekriteriální optimalizace

6 Náplň rozhodovacích procesů (kroky, fáze, etapy) Fáze 1: Formulace a stanovení cílů rozhodovacího problému Fáze 2: Volba kritérií pro rozhodování Fáze 3: Tvorba souboru variant řešících daný problém Fáze 4: Zhodnocení důsledků variant vzhledem k rozhodovacím kritériím Fáze 5: Stanovení důsledků variant při změnách vnějších podmínek Fáze 6: Konečné rozhodnutí, tj. výběr varianty (variant) řešení problému

7 Náplň rozhodovacích procesů… ●Rozhodovací proces zahrnující všechny výše uvedené kroky se někdy nazývá rozhodovací proces v širším smyslu na rozdíl od rozhodovacího procesu v užším smyslu, ve kterém jsou již zadány cíle, kritéria i rozhodovací varianty ●Zde se budeme zabývat především druhým jmenovaný procesem v užším smyslu, v němž lze výhodně uplatnit formalizované postupy a metody rozhodování

8 Prvky vícekriteriálního rozhodovacího procesu - rozšíření ●cíl rozhodování ●subjekt a objekt rozhodování ●kritéria (vlastnosti, atributy, charakteristiky, hlediska) ●varianty (někdy též alternativy, možnosti, prvky) ●stavy světa (scénáře rozhodování)

9 Cíl rozhodování Cíl rozhodování - určitý budoucí stav systému (okolí rozhodovatele) vyplývající z nutnosti uspokojit určité potřeby nebo plnit jisté funkce Cíle se má dosáhnout realizací některé z variant rozhodování Cíl rozhodování se obvykle hierarchicky rozkládá do dílčích cílů, které se transformují do podoby rozhodovacích kritérií

10 Rozhodovací kritéria Formálně je každé kritérium f i zobrazení (funkce) z množiny variant A do množiny hodnot – škály S i, tj. f i : A  S i Rozhodovací kritéria mohou mít různou věcnou povahu:  fyzikální, technické nebo technologické měřitelné vlastnosti (škála S i je kardinální – číselná)  ekonomická kritéria vyjadřovaná peněžními jednotkami (škála S i je kardinální – číselná)  neměřitelná subjektivní kritéria typu vzhled (design), vůně, pohodlí, morálka aj. (škála S i je ordinální – nečíselná, slovní)

11 Varianty – rozhodovací alternativy Variantami jsou prvky (objekty) množiny A ●které má smysl vzájemně porovnávat, vyhodnocovat ●přicházejí v úvahu pro výběr v určitém procesu rozhodování (v užším kontextu)

12 Příklady: 1.Zákazník se rozhoduje při koupi mezi výrobky určitého typu (automobily, počítače aj.) 2.Ředitel podniku rozhoduje mezi různými perspektivními výrobními programy, různými variantami marketingových strategií, různými kandidáty na pozice v podniku apod.

13 Subjekt a objekt rozhodování… Subjekt rozhodování může být jednotlivec nebo skupina jednotlivců (podnik, instituce apod.), která rozhoduje – pak jde o skupinové rozhodování Objekt rozhodování představuje systém, v němž je formulován rozhodovací problém, cíl, kritéria i varianty rozhodování

14 Důsledky variant vyjádřené jako hodnoty kritérií jsou buď jednoznačné (deterministické), nebo závisejí na stavech světa (stavech systému, scénářích apod.) Stavy světa jsou chápány jako vzájemně se vylučující stavy té části okolí rozhodovacího systému, která je mimo kontrolu rozhodovatele Náhodné faktory okolí se obvykle považují za (diskrétní) náhodné veličiny určující stavy světa Stavy světa

15 Příklad: Výběr automobilu Cíl:Výběr optimálního nového osobního automobilu střední třídy pro firmu X Varianty:Škoda Felicia, Fiat Punto, VW Polo, Renault Clio, Opel Corsa Subjekt rozhodování: Firma X Objekt rozhodování: Český trh s osobními automobily Stavy světa: nemění se

16 Rozhodovací problém je tu poměrně přesně vymezen: tím, jak je specifikován cíl, varianty i kritéria, přitom n = 5, m = 6 (samotný předvýběr variant a kritérií může být v praxi obtížný!) tím, že je směřován ke konkrétnímu nositeli důsledků rozhodnutí (firma X) v neměnných podmínkách českého trhu s osobními automobily … Příklad …

17 V přílohách denního tisku nebo v různých časopisech se často objevují hodnocení různých výrobků a služeb, a to na principu hodnocení podle více kritérií Autoři těchto hodnocení se tu staví do role „objektivního“ hodnotitele, eventuálně hodnotí varianty jen podle takových kritérií, která mají objektivní povahu, tj. jsou objektivně měřitelná Takováto hodnocení mají pro konkrétního zákazníka obvykle jen omezený význam, neboť nezohledňují jeho subjektivní, individuální potřeby! Poznámky:

18 Vícekriteriální rozhodování (za jistoty) Problém vícekriteriálního rozhodování (za jistoty – v jednoznačně daných podmínkách): úloha nalezení „optimální“ varianty, která by v „co možná největší míře“ zohledňovala uvažovaná kritéria (dílčí cíle) Jednoznačně danými podmínkami se rozumí deterministické (tj. nezávislé na náhodě) prvky rozhodovacího problému: varianty, kritéria a jejich příslušné hodnoty

19 Obecný postup při řešení problému VKR Algoritmus - 4 kroky: Krok 1. Stanovení cíle rozhodování Krok 2.Vyčlenění množiny variant A = {a 1, a 2,..., a n } a množiny kritérií C = {f 1, f 2,..., f m } Krok 3. Dílčí vyhodnocení (uspořádání, změření) všech variant podle jednotlivých kritérií Krok 4.Agregace dílčích hodnocení do výsledného celkového hodnocení a výběr „optimální“ varianty Kroky 2 až 4 – samostatné úlohy VKR!

20 VÁHY KRITÉRIÍ Soubor m kladných čísel v i, i = 1,2,..., m, jejichž součet je roven jedné, tedy jestliže pro v i  [0;1] platí: pak čísla v i pak nazýváme váhy Váhu v i kritéria f i interpretujeme jako relativní důležitost (významnost) tohoto kritéria Váhy jsou normovány, tj. jejich součet je roven 1 Hodnotu 100. v i lze interpretovat jako procentuální významnost kritéria f i z celkové významnosti všech rozhodovacích kritérií daného problému VKR RAM1

21 Metody s kardinální informací o kritériích Kritéria f i dokážeme nejen seřadit, ale stanovit, kolikrát je kritérium f i „důležitější“ než kritérium f i

22 RAM322 3 typy informace o kritériích f 1,f 2,...,f m  C 2 typy informací o variantách a 1,a 2,...,a n  A Budeme vyšetřovat 3 skupiny metod vícekriteriálního rozhodování (ve 2 verzích): 1. Metody s nominální informací o kritériích 2. Metody s ordinální informací o kritériích 3. Metody s kardinální informací o kritériích Metody vícekriteriálního rozhodování Ordinální Kardinální

23 RAM323 Ad 1. Metody s nominální informací o kritériích Nominální informace neříká o kritériích nic jiného, než jejich jména - nemáme kromě kriteriální matice o rozhodovacím problému žádné další informace (o důležitosti kritérií) Metody (i) metoda (technika) stejné důležitosti - převedeme na bod 3. tj. metody s Kardinální informací (stejné váhy kritérií)

24 RAM324RAM324 (ii) metoda aspirační úrovně Aspirační úroveň pro kritérium f i je hodnota, kterou musí kritérium f i pro danou variantu minimálně dosáhnout, aby ta mohla být považována za optimální Vyžaduje znalost aspirační úrovně  i  S i pro každé kritérium f i  C Za optimální variantu se vybere ta varianta a  A, která vyhovuje asp. úrovním pro všechna kritéria, tj. platí: (*)  i  i f i (a), i = 1,2,...,m Metody s nominální informací o kritériích … ● ● ●

25 RAM325RAM325 Pokud variant splňujících (*) je příliš mnoho, je aspirační úroveň "nastavena" příliš nízko, můžeme proto některé (případně všechny) aspirační úrovně zvýšit a opět hledat optimální variantu, která splňuje (*), tentokrát se zvýšenými hodnotami  i Pokud pro danou aspirační úroveň neexistuje žádná varianta splňující (*), pak je zapotřebí některé, případně všechny, aspirační úrovně snížit a opět hledat optimální variantu Metody s nominální informací o kritériích … ● ●

26 RAM326RAM326 Příklad 6: Výběrové řízení 5 variant A = {a, b, c, d, e} - uchazeči 2 kritéria C = {f 1,f 2 } – vystupování, komunikační schopnosti škály: „≤“ „≤“ „≤“ S 1 = S 2 = {"špatný", "průměrný", "dobrý", "výborný"} „≤“ … „není lepší než“

27 RAM327RAM327 Kritérium f 1 : A  S 1 přiřazuje jednotlivým variantám hodnoty ze škály takto: f 1 (a) = "špatný" f 1 (b) = "špatný" f 1 (c) = "průměrný" f 1 (d) = "průměrný" f 1 (e) = "výborný" Příklad 6 …

28 RAM328RAM328 Kritérium f 2 : A  S 2 přiřazuje jednotlivým variantám hodnoty ze škály takto: f 2 (a) = "dobrý" f 2 (b) = "výborný" f 2 (c) = "dobrý" f 2 (d) = "dobrý" f 2 (e) = "průměrný" Příklad 6 …

29 RAM329RAM329 Příklad 6 … Kriteriální matice – nedominované varianty Kriteria / varianty f1f1 f2f2 a"špatný""dobrý" b"špatný""výborný" c"průměrný""dobrý" d "průměrný" e"výborný""průměrný"

30 RAM330RAM330 Na škálách S 1 a S 2 je definována relace  „není lepší než“: "špatný“  "průměrný" "průměrný“  "dobrý" "dobrý“  "výborný" Ostatní vztahy relace lze doplnit (tzv. tranzitivní vlastnost)! Příklad 6 …

31 RAM331RAM331 Příklad 6 … Nedominované varianty jsou 3: A N = {b, c, e} neboť varianta a je dominována variantou b varianta d je dominována variantou e Stanovíme aspirační úrovně takto:  1 =  2 = "průměrný" ● ●

32 RAM332RAM332 Vztah (*) pro i = 1,2 splňují 2 varianty: c, e optimální variantu, proto zvýšíme aspirační úrovně:  1 =  2 = "dobrý" Vztah (*) nesplňuje žádná varianta, snížíme proto aspirační úroveň pro kritérium f 2 :  1 = "dobrý "  2 = "průměrný" Těmto aspiračním úrovním vyhovuje právě jedna optimální varianta: e Příklad 6 … ● ● ●

33 RAM333RAM333 Ad 2. Metody s ordinální informací o kritériích Kritéria f i dokážeme seřadit od nejdůležitějšího (nejvýše hodnoceného) k nejméně důležitému, (přitom některá kritéria mohou být ohodnocena stejně) Samotná kritéria f i jsou typu ordinálního nebo kardinálního, f i : A  S i, přitom S i je ordinální nebo kardinální škála s relací  i, která je uspořádáním, i = 1,2,...,m

34 RAM334RAM334 Lexikografická metoda Princip: (Algoritmus) 1. Největší význam pro výběr optimální varianty má nejdůležitější kritérium 2. V případě, kdy existuje více variant, které jsou podle nejdůležitějšího kritéria ohodnocena stejně, přichází v úvahu 2. v pořadí nedůležitější kritérium 3. Pokud ani to nevybere jedinou variantu, přichází na řadu 3. nejdůležitější kritérium, atd.

35 RAM335RAM335 Algoritmus se zastaví buď, když je v některém kroku vybrána jediná varianta, ta je potom variantou optimální, anebo se zastaví po vyčerpání všech uvažovaných kritérií. Optimální varianty jsou pak ty, které zůstaly stejně ohodnoceny po zařazení posledního kritéria. Lexikografická metoda …

36 RAM336RAM336 Příklad 7: Konkurz 4 varianty A = {b, c, d, e}- např. uchazeči 3 kritéria C = {f 1,f 2, f 3 }- např. CV, odbornost, vystupování škály: S 1 =S 2 =S 3 = {"špatný", "průměrný", "dobrý", "výborný"}

37 RAM337RAM337 Kritérium f 1 : A  S 1 přiřazuje jednotlivým variantám hodnoty ze škály takto: f 1 (b) = "špatný" f 1 (c) = "průměrný" f 1 (d) = "výborný" f 1 (e) = "výborný" Kritérium f 2 : A  S 2 : f 2 (b) = "výborný" f 2 (c) = "průměrný" f 2 (d) = "špatný" f 2 (e) = "průměrný" Příklad 7 …

38 RAM338RAM338 Kritérium f 3 : A  S 3 : f 3 (b) = "výborný" f 3 (c) = "výborný" f 3 (d) = "průměrný" f 3 (e) = "špatný" Na škálách S 1, S 2 a S 3 máme relaci uspořádání  : "špatný"  "průměrný" "průměrný"  "dobrý" "dobrý"  "výborný" ostatní vztahy lze doplnit z vlastností uspořádání. Příklad 7 …

39 RAM339RAM339 Příklad 7 … Kriteriální matice Kriteria / varianty f1f1 f2f2 f3f3 b"špatný""výborný" c"průměrný" "výborný" d "špatný""průměrný" e"výborný""průměrný""špatný" Všechny varianty jsou nedominované! (ověřte!)

40 RAM340RAM340 Příklad 7 … Kritéria jsou uspořádána podle významnosti pro konečné rozhodnutí takto: f 3  f 2  f 1 Použití lexikografické metody: 1. krok: vybereme podle nejvýznamnějšího kritéria f 1 varianty d a e 2. krok: vybrané varianty srovnáme podle druhého nejdůležitějšího kritéria f 2, v tomto případě vybereme pouze variantu e a algoritmus se zastaví Vybranou variantu e pokládáme za optimální variantu v našem rozhodovacím problému.

41 RAM341RAM341 Metody skalarizace ordinální informace o kritériích Princip: z ordinální informace o kritériích se stane informace kardinální Umožňuje nejen seřazení kritérií podle významnosti, ale i stanovení relativních významností jednotlivých kritérií v podobě vah

42 RAM342RAM342 (i)Metoda pořadí Princip: Nejprve podle relace  G kritéria f i, i = 1,2,...,m, seřadí od nejhoršího k nejlepšímu: f 1  f 2  …  f m-1  f m Prvnímu - nejhoršímu kritériu f 1, se přiřadí nové ohodnocení w 1 = 1, tedy pořadí daného kritéria Druhému nejhoršímu kritériu f 2, se přiřadí nové pořadí w 2 = 2, atd… … nejlepšímu kritériu f m, se přiřadí nové ohodnocení w m = m

43 RAM343RAM343 V případě stejně hodnocených kritérií se všem stejně ohodnoceným kritériím přiřadí nové ohodnocení, které je aritmetickým průměrem příslušných pořadí. Součet nových ohodnocení: s =  w i = m(m+1)/2 Váhu v i kritéria f i ´ pak vypočteme takto: (*) v i = w i / s Snadno se lze přesvědčit, že pro váhy v i platí podmínka  v i = 1 (i)Metoda pořadí … ● ● ● ●

44 RAM344RAM344 Konstrukce vah pomocí (*) odpovídá intuici v tom smyslu, že důležitější kritéria mají větší váhu. Nevýhoda: metoda pořadí nepostihuje eventuální rozdílnost v intenzitě důležitosti jednotlivých kritérií. (i)Metoda pořadí … ● ●

45 RAM345RAM345 Příklad 7 …… Stanovíme váhy kritérií metodu pořadí: Nejprve seřadíme kritéria od nejhoršího k nejlepšímu: f 3  f 2  f 1 pak jim přiřadíme pořadí w i : w 3 = 1, w 2 = 2, w 1 = 3 Dále je s = 3*4/2 = 6 a váhy v i kritérií f i vypočítáme podle (*): v 1 = 3/6 = v 2 = 2/6 = v 3 = 1/6 = 0.167

46 RAM346RAM346 (ii) Bodovací metoda Liší se od metody pořadí jen v tom, že se seřazeným kritériím f i přiřazují bodová ohodnocení w i na předem zvolené stupnici - škále (např. 0 až 10). Bodová hodnocení musí splňovat podmínku: 0  w 1  w 2 ...  w m Součet všech ohodnocení označíme s´ =  w i ● ● ●

47 RAM347RAM347 Váhu v i kritéria f i definujeme stejně jako u metody pořadí: v i = w i / s´ Nevýhoda: vnášíme sem novou informaci kardinálního typu. Tento fakt ji zařazuje spíše mezi metody s kardinální informací o kritériích. (ii) Bodovací metoda …. ● ●

48 RAM348RAM348 Příklad 7 ……… Použijeme nyní bodovací metodu: K tomu účelu ovšem potřebujeme doplňující informaci o bodovém hodnocení kritérií na nějaké škále! Pro tento účel použijeme hodnotící škálu 0 až 10 bodů významnost kritéria f 1 na této škále hodnotíme w 1 = 8 významnost kritéria f 2 hodnotíme w 2 = 5 významnost kritéria f 3 ohodnotíme w 3 = 3 ● ●

49 RAM349RAM349 Celkový součet bodů: s´ = = 16 Váhy v i kritérií f i definujeme podle (*) takto: v 1 = 8/16 = v 2 = 5/16 = v 3 = 3/16 = Příklad 7 ……… ● ●

50 RAM350RAM350 (iii)Metody párového porovnání Princip: Využití ordinální informace uložené v párovém porovnání dvojic kritérií ke stanovení vah kritérií. Počet všech párových porovnání je roven číslu:

51 RAM451 Různé metody párového porovnání:  Metoda Fullerova trojúhelníku,  Saatyho metoda,  Metoda nejmenších čtverců,  Metoda geometrického průměru. (iii)Metody párového porovnání …

52 52 Metoda Fullerova trojúhelníku Princip: Pro každé kritérium f i  C se stanoví počet preferencí tohoto kritéria nad ostatními kritérií (tj. počet zakroužkovaných " i "), tento počet označíme n i Celkový počet porovnávaných dvojic (tedy celkový počet zakroužkovaných kritérií) je roven: N = m(m-1)/2 Výsledná váha v i kritéria f i je definována vztahem: v i = n i / N ● ● ● RAM4

53 53 Výše uvedená konstrukce vah je v souladu s intuicí: Čím je kritérium f i významnější, tím je preferováno před větším počtem jiných kritérií, a tím větší má výslednou významnost vyjádřenou vahou v i, což je plně ve shodě se vztahem (*). Metoda Fullerova trojúhelníku …

54 54RAM354 Fullerův trojúhelník: m m m-2 m-2 m-1 m m-1 m ---- RAM4

55 55 Příklad 8: Fullerův trojúhelník hodnocení významnosti 6 kritérií f i, i = 1,2,...6 Z následujících údajů stanovíme váhy jednotlivých kritérií. RAM4

56 Příklad 8 … RAM4

57 Příklad 8 … RAM4

58 58 Z výše uvedeného schématu stanovíme počty preferencí jednotlivých kritérií: n 1 = 2, n 2 = 2, n 3 = 2, n 4 = 3, n 5 = 1, n 6 = 5 Počet všech porovnávaných párů kritérií je N = 5.6/2 = 15 proto jsou váhy jednotlivých kritérií podle definice (*): v 1 = 2/15 v 2 = 2/15 v 3 = 2/15 v 4 = 1/5 v 5 = 1/15 v 6 = 1/3 ● ●

59 RAM459 Saatyho metoda párového porovnání Základním východiskem pro konstrukci vah uvažovaných kritérií f i  C je matice párových porovnání S Prvky s ij matice S jsou stanoveny takto: Pokud platí f i  f j, pak prvek s ij vyjadřuje poměr významností kritéria f i k významnosti kritéria f j, tj. poměr vah v i a v j : i,j = 1,2,..., m ● ●

60 RAM460 Protože však váhy v i nejsou předem známy, (cílem je právě váhy stanovit), využívá se k jejich stanovení dodatečná informace o číslech s ij, které jsou prvky zvolené škály 1 až 9, tj.: s ij  {1,2,3,4,5,6,7,8,9} jestliže f i > f j V opačném případě, tj. když f j > f i, platí: (+) s ij = 1 / s ji  { 1 / 9, 1 / 8, 1 / 7, 1 / 6, 1 / 5, 1 / 4, 1 / 3, ½,1} Saatyho metoda párového porovnání … ● ●

61 RAM461 Vztah (+) lze interpretovat takto: Je-li kritérium f i s ji -krát významnější než kritérium f i, potom významnost kritéria f i tvoří 1/s ji -tou část významnosti kritéria f i Jestliže pro prvky s ij matice S =  s ij  platí (+), potom říkáme, že matice S je reciproká Saatyho metoda párového porovnání … ● ● ●

62 RAM462 Výpočet vah Saatyho metodou spočívá ve výpočtu vlastního vektoru tzv. vektoru priorit odpovídajícího maximálnímu vlastnímu číslu matice párových porovnání S Řešením soustavy m rovnic o m neznámých x = (x 1, x 2,...,x m ) vyjádřené ve vektorovém tvaru: (**)S x = max x kde max je maximální vlastní číslo matice, pak stanovíme hledané váhy takto: v i = x i /  x , i = 1,2,..., m Symbol  x  označuje „velikost“ vektoru x, tj.  x  =  |x i | ● ●

63 RAM463 Příklad 9: Mějme 4 kritéria f i, i = 1,2,3,4. Saatyho metodou párového porovnání jsme získali následující (reciprokou) matici párových porovnání: Použijte DAME!

64 RAM464 Maximální vlastní číslo matice S je max = 4.1, z příslušného vlastního vektoru se podle vztahu (**) stanoví váhy jednotlivých kritérií: v 1 = 0.62, v 2 = 0.22, v 3 = 0.10, v 4 = 0.06 DAME: Příklad 9 … ● v 1 =0,617 v 2 =0,224 v 3 =0,097 v 4 = 0,062

65 RAM465 Příklad 10: Vlastní čísla a vlastní vektory matice Nyní řešíme algebraickou rovnici: Její největší kořen je:

66 RAM466 -2,076 x x x 3 = 0 1/4 x 1 -2,076 x x 3 = 0 1/7 x 1 + 1/4 x 2 -2,076 x 3 = 0

67 RAM467 Vlastní vektor příslušný k vlastnímu číslu max : Normalizovaný vlast. vektor – vektor vah: 0, , , DAME:

68 RAM468 Metoda nejmenších čtverců Metoda má podobná východiska a předpoklady, jako Saatyho metoda: Stejně se stanoví matice párových porovnání S =  s ij  V souladu s obecným postupem MNČ (známé ze Statistiky) se hledají takové váhy v i, které minimalizují součet kvadrátů odchylek prvků matice párových porovnání od příslušných podílů vah jednotlivých kritérií. ● ● ●

69 RAM469 Neznámé váhy v i se získají řešením úlohy nelineárního programování: za podmínky: v i  0, i = 1,2,..., m Metoda nejmenších čtverců …

70 RAM470 Numerické řešení úlohy NLP je poměrně náročné, existuje celá řada SW produktů (např. Excel Řešitel), které umožňují řešit podobné úlohy i na počítačích PC. Pro úlohy malých rozměrů (např. m  20) lze úlohu řešit pomocí Řešitele v programu Excel. Metoda nejmenších čtverců … ●

71 RAM471 Metoda logaritmických NČ (Metoda geometrického průměru) Metoda je založena na stejných předpokladech, jako metoda nejmenších čtverců Na rozdíl od MNČ však neměří přímo odchylky odhadnutých dat od teoretických podílů vah v i /v j, avšak měří logaritmy odchylek těchto dvou veličin Tato změna přináší 2 výhody: -logaritmickou transformací se rovnoměrně rozdělí odchylky podílových hodnot na obě strany od 1 -optimální řešení úlohy nelineárního programování je možné vyjádřit v explicitním tvaru a není zapotřebí využívat speciální SW ● ●

72 RAM4 72 Neznámé váhy v i se získají řešením úlohy nelineárního programování: F(v 1,v 2,...,v m ) za podmínky v i  0, i = 1,2,..., m Poznámka : ln 1/9 = ln 1 – ln 9 = 0 – ln 9 = -ln 9 Logaritmováním se [1/9, 9] stane symetrickým : [-ln 9,ln 9] Metoda logaritmických NČ (Metoda geometrického průměru) …

73 RAM473 Optimální řešení úlohy lze nalézt v explicitním tvaru: Váha i -tého kritéria se vypočte jako geometrický průměr odhadů s ij poměrů významností všech kritérií k i -tému kritériu, normovaný součtem geometrických průměrů stejně vypočtených pro všechna kritéria: i = 1,..., m Geometrický průměr prvků z i-tého řádku Součet geometrických průměrů prvků ze všech řádku

74 RAM474 Maximální vlastní číslo matice S je max = 4.1, z příslušného vlastního vektoru se podle vztahu (**) stanoví váhy jednotlivých kritérií: v 1 = 0.62, v 2 = 0.22, v 3 = 0.10, v 4 = 0.06 Metodou nejmenších čtverců obdržíme váhy: v 1 = 0.55, v 2 = 0.27, v 3 = 0.12, v 4 = 0.06 Metodou geometrického průměru obdržíme váhy: v 1 = 0.61, v 2 = 0.23, v 3 = 0.10, v 4 = 0.06 „Podobné výsledky“ Příklad 9 … ● ● ● DAME4: 0, , , ,06239 DAME4: 0, , , ,06211

75 RAM475 Aditivní metoda párového porovnání Základním východiskem pro konstrukci vah uvažovaných kritérií f i  C je aditivní matice párových porovnání A Prvky a ij matice A = {a ij } jsou stanoveny takto: Pokud platí f i  f j, pak prvek a ij vyjadřuje vztah mezi významností kritéria f i k významnosti kritéria f j, pomocí vah v i a v j : i,j = 1,2,..., m ● ●

76 RAM476 Protože však váhy v i nejsou předem známy, (cílem je právě váhy stanovit), využívá se k jejich stanovení dodatečná informace o prvcích a ij matice A které jsou prvky číselné škály 0 až 1 (0 až 100%), takto: a ij  [½, 1] jestliže f i > f j a ij  [0, ½] jestliže f i < f j ( a ii = ½ pro každé i) Přitom platí: (+) a ji = 1 - a ij – aditivní reciprocita Aditivní metoda párového porovnání.. ●

77 RAM477 Vztah (+) lze interpretovat takto: Při porovnání kritéria (nebo prvku) f i s kritériem (prvkem) f j je kritériu f i přidělena významnost a ij (krát 100%) a kritériu f j je přidělena významnost a ji (krát 100%) přitom a ij + a ji = 1 (krát 100%) tzv. aditivní reciprocita Aditivní metoda párového porovnání … ●

78 RAM478 Vytvoříme z aditivní matice párových porovnání A novou transformovanou matici S = { s ij }, kde prvky s ij = 9 2a ij - 1 pro všechna i,j = 1,2,…m Prvky matice s ij jsou z intervalu [1/9, 9] Pro matici S nalezneme vlastní vektor = vektor vah v = (v 1,v 2,...,v m ) splňují rovnici: S v = max v ( jako v Saatyho metodě ) Takto nalezený vektor vah je současně vektorem vah původní matice párových porovnání A Aditivní metoda párového porovnání …. ● ● ● ●

79 RAM4 79 Aditivní matice párových porovnání Příklad 11: Mějme 4 kritéria f i, i = 1,2,3,4. Aditivní metodou párového porovnání jsme získali následující aditivně reciprokou matici párových porovnání: Vypočítáme transformovanou matici S a vektor vah (Saatyho metodou): v = (0,44 0,27 0,18 0,12) seřadíme kritéria: f 1 > f 2 > f 3 > f 4 v 1 = 0,436 v 2 = 0,267 v 3 = 0,181 v 4 = 0,117 DAME:

80 Příklad 12: Výběr automobilu 1 Cíl:Výběr optimálního nového osobního automobilu střední třídy pro obchod. zástupce firmy X Varianty:Škoda Fabia, Opel Corsa, Fiat Punto, Renault Clio, (n = 4) Kritéria:Cena, Spotřeba, Bezpečnost, Vzhled (m = 4) Váhy:v(Cena) = ? > v(Spotřeba) = ? > v(Bezpečnost) = ? > v(Vzhled) = ? (Součet vah = 1) Subjekt: Vedení firmy X Objekt: Český trh s novými osobními automobily Scénáře: Nemění se (1) Úkoly: Oběma metodami párového porovnání stanovte váhy kritérií Oběma metodami párového porovnání stanovte hodnoty kvalitativních kritérií pro varianty Řešte úlohy pomocí DAME v. 4

81 Příklad 12: Výběr automobilu 2 RAM381

82 (A) Metody pro kardinální kritéria !!! Všechna kritéria f  C jsou kardinální povahy!!! Standardizace a normalizace: transformace hodnot kritérií na škálu S = [0,1] (i) Standardizace Pro každé kritérium f  C označíme: f min = min  f(a j )  j = 1,2,..., n  f max = max  f(a j )  j = 1,2,..., n 

83 Kritéria mohou být v různých jednotkách (fyzikálních, finančních aj.) které nejsou řádově srovnatelné (např. v mil Kč, tisícínách gramu aj) Hodnoty kritérií je nutné převést na srovnatelný základ pomocí: Standardizace Normalizace Metody založené na užitkové funkci Jak vyhodnocovat kvantitativní kritéria?

84 (i) Standardizace … Dále budeme předpokládat, že pro maximální hodnoty f max a minimální hodnoty f min všech kritérií f  C (přes všechny varianty a  A ) platí: f max  f min  0 Pro maximalizační kritérium (kdy větší hodnota kritéria je považována za lepší) definujeme standardizaci  takto:  (x) = x  S

85 (i) Standardizace … Pro minimalizační kritérium, (kdy menší hodnota kritéria je považována za lepší), definujeme standardizaci   (x) = x  S Pomocí  definujeme namísto kritéria f nové kritérium: F(a) =  (f(a)) a  A.(*) Kritérium (*) má tu vlastnost, že: pro nejhůře ohodnocenou variantu nabývá hodnoty 0, pro nejlépe hodnoceno variantu nabývá hodnoty 1 ● ● ●

86 (ii) Normalizace Předpoklad: f(a j )  0 pro všechna kritéria f  C a všechny varianty a  A definujeme namísto původního kritéria f i nové normalizované kritérium G i G i (a) = a  A (**) Kritéria (**) podobně jako kritéria (*) transformují hodnoty původních kritérií do jednotkové škály [0,1] Pro G i platí základní vztah normalizace ● ●

87 Metody založené na funkci užitku Varianta a  A má podle i -tého kritéria ohodnocení h = f i (a) a toto ohodnocení přináší užitek u i (h) = u i (f i (a)) Tento užitek roste, nebo alespoň neklesá, s rostoucím ohodnocením h Speciálním případem i-té dílčí funkce užitku je funkce: u i : [D i, H i ]  [0,1] kde D i je nejméně preferovaná hodnota vzhledem k f i, taková, že platí u i (D i ) = 0 ● ● ●

88 Metody založené na funkci užitku … H i je nejvíce preferovaná hodnota vzhledem k f i, přičemž platí u i (H i ) = 1 Konkrétním příkladem uvedené funkce užitku je zobrazení (*) Též nelineární funkce užitku (konkávní) Více viz Teorie užitku, např. Fishburn ● ● ● ●

89 Agregovaná funkce užitku: V ekonomii více činitelů se setkáváme s agregovanou (vícekriteriální) funkcí užitku: celkový užitek skládat z dílčích užitků jednotlivých činitelů (kritérií), má aditivní tvar: U(a) =  i v i u i (f i (a)) a  A (+) kde v i jsou váhy,  i v i = 1, v i  0 nebo, pokud vzniká celkový užitek násobením dílčích užitků, má agregovaná funkce užitku multiplikativní tvar: U(a) =  i u i (f i (a)) a  A (++) Je možné uvažovat i s jinými nelineárními tvary! K vícekriteriálnímu rozhodování (nalezení optimální varianty) se využívají funkce užitku (+), event. (++). ● ● ●

90 Metody vzdálenosti Mějme varianty a,b  A, kardinální kritéria f i  C jsou všechna maximalizační. Položme: a = (F 1 (a), F 2 (a),..., F m (a)) b = (F 1 (b), F 2 (b),..., F m (b)) kde F i jsou kritéria f i, standardizovaná podle (*) tj. F i (a) =  i (f i (a)), a  A Potom a, b jsou vektory z R m. Pro každé dva vektory x, y  R m definujeme jejich vzdálenost pomocí funkce vzdálenosti (metriky). ● ● ●

91 Metody vzdálenosti … Definice Funkce vzdálenosti Funkci d : R m  R m  R nazýváme funkcí vzdálenosti v R m (metrikou v R m ), splňuje-li následující 3 podmínky: (i) d(x,y)  0 pro všechny x,y  R m ("nezápornost") (ii) d(x,x) = 0 pro všechny x  R m ("jednoznačnost") (iii) d(x,y) + d(y,z)  d(x,z) pro všechny x,y,z  R m ("trojúhelníková nerovnost") ● ● ●

92 Metody vzdálenosti … Speciálně nás bude zajímat funkce vzdálenosti, která má následující tvar: d(x,y) = (  ) kde vektory, jsou ve tvaru: x = (x 1, x 2,...,x m )  R m, y = (y 1, y 2,...y m )  R m a p  0 Funkce (  ) splňuje podmínky (i) až (iii)

93 Metody vzdálenosti … Euklidovská, Čebyševova a Minkowského vzdálenost: Pro p = 2 se funkce vzdálenosti (  ) nazývá Euklidovská vzdálenost a má tvar: d(x,y) = (  i (x i - y i ) 2 ) 1/2 Pro p  0 + se funkce (  ) nazývá Čebyševova vzdálenost a má tvar: d(x,y) = max i  x i - y i  Pro p  +  se funkce vzdálenosti (  ) nazývá Minkowského vzdálenost a má tvar: d(x,y) =  i  x i - y i  ● ● ●

94 Metoda nejmenší vzdálenosti od ideální varianty Používá se ke stanovení agregovaného ohodnocení varianty a  A a následnému hodnocení variant. Vzdálenost vektoru ohodnocení varianty a (podle standardizovaných kritérií) se „měří“ od vektoru ohodnocení ideální varianty podle standardizovaných kritérií tj. D(a) = d(a, 1) kde d je některá funkce vzdálenosti: a = (F 1 (a), F 1 (a),..., F m (a)) 1 = (1, 1,..., 1) přičemž F i (a) =  i (f i (a)) a  i jsou standardizovány. Speciálně pro nejvíce využívanou funkci vzdálenosti (  ) dostáváme: D(a) = (  i  F i (a) - 1  p ) 1/p Optimální varianta minimalizuje D(a). ● ●

95 Metoda největší vzdálenosti od bazální varianty používá se ke stanovení agregovaného ohodnocení varianty a  A a následnému hodnocení variant Vzdálenost vektoru ohodnocení varianty a (podle standardizova- ných kritérií) se „měří“ od vektoru ohodnocení bazální varianty podle standardizovaných kritérií tj D (a) = d(a, 0) kde d je některá funkce vzdálenosti a = (F 1 (a), F 1 (a),..., F m (a)) 0 = (0, 0,..., 0) přičemž F i (a) =  i (f i (a)) a  i jsou standardizovány Speciálně pro nejvíce využívanou funkci vzdálenosti (  ) dostáváme: D(a) = (  i  F i (a)  p ) 1/p Optimální varianta maximalizuje D(a) ● ●

96 Příklad: Výběr vhodné lokality pro výstavbu jaderné elektrárny v lokalitách L1, L2, L3 Kritéria: f 1 - počet pracovníků (min kritérium) f 2 - výkon elektrárny v MW (max kritérium) f 3 - investiční náklady v mld. Kč (min kritérium) f 4 - provozní náklady v mil. Kč/rok (min kritérium) f 5 - počet evakuovaných obyvatel (min kritérium) f 6 - stupeň spolehlivosti provozu v bodech (max k.)

97 Příklad … Vstupní data pro hodnocení variant - kriteriální matici H: Po standardizaci kritérií: f1f1 f2f2 f3f3 f4f4 f5f5 f6f6 L L L f1f1 f2f2 f3f3 f4f4 f5f5 f6f6 d(a,1)d(a,1) d(a,0)d(a,0) L10,370,670,20,50,2511,401,39 L ,412,00 L ,52,061,12

98 Příklad … Vzdálenosti od ideální varianty pro p = 2 vzdálenosti variant od bazální varianty pro p = 2. Metodou nejmenší (Euklidovské) vzdálenosti od ideální varianty jsou varianty L1 a L2 prakticky stejně dobré: varianta L1 je od ideální varianty vzdálena 1,40 varianta L2 má vzdálenost od ideální varianty 1,41. Metodou největší (Euklidovské) vzdálenosti od bazální varianty je varianta L2 lepší než varianta L1: L2 je od bazální varianty vzdálena 2,00 L1 má vzdálenost od baz. varianty E. vzdálenost 1,39. ● ●

99 Metoda váženého průměru – všechna dílčí vyhodnocení každé varianty podle jednotlivých kritérií (ve srovnatelných jednotkách) se „zprůměrují“ s ohledem na relativní významnost jednotlivých kritérií. Podle získané „průměrné“ hodnoty se pak varianty uspořádají od nejlepší k nejhorší. Tuto jednoduchou myšlenku systematicky realizuje metoda AHP (Analytický Hierarchický Proces, prof. T. Saaty, 1980) Jak získat výsledné vyhodnocení variant?

100 Hierarchie Hierarchická struktura - hierarchie je zvláštní typ systému, založený na předpokladu, že identifikované prvky systému lze seskupit do disjunktních množin, kde prvky jedné skupiny ovlivňují prvky jediné (podřazené) skupiny a samy jsou ovlivňovány prvky jediné (nadřazené) skupiny. Prvky v každé skupině, kterou nazýváme úroveň, jsou vzájemně nezávislé. ● ●

101 Dva příklady hierarchie (1) Nejjednodušším netriviálním typem hierarchie je tříúrovňová hierarchie: Koupě rodinného domu

102 Dva příklady hierarchie … 3 alternativy: A1, A2, A3. Je stanoveno 6 kritérií hodnocení rodinného domku: K1 = "cena domu" K2 = "stáří domu" K3 = "velikost domu" K4 = " veřejná doprava" K5 = "vybavení domu" K6 = "okolí domu" Kritéria K1-K3 jsou kardinální kritéria, další kritéria K4 - K6 jsou ordinální

103 Úroveň vysoké školy Hlavní cíl: výběr vhodného (optimálního) scénáře pro další rozvoj vysoké školy

104 Priority v AHP AHP – Analytický Hierarchický Proces (Analytic Hierarchy Process) Absolutní srovnávání -srovnávání na kardinální stupnici (se zavedenou jednotkou, např. Kč) Normalizace ke stanovení vah: v i = Relativní srovnávání -párové srovnávání vzhledem k nadřazenému prvku s intenzitami na škále S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} ● ● ●

105 Základní stupnice Hodnotící stupeň Porovnání prvků x a yVysvětlení 1x je stejně důležitý jako y Oba prvky přispívají stejnou měrou k výsledku 2x je slabě důležitější než y První prvek je slabě důležitější než druhý 3x je mírně důležitější než y Zkušenosti a úsudek mírně preferují první prvek před druhým 4x je mírně víc důležitý než y O něco silnější preference než předchozí

106 Základní stupnice … Hodnotící stupeň Porovnání prvků x a yVysvětlení 5x je silně důležitější než y Silná preference prvního prvku před druhým 6x je mnohem více silně důležitý než y O něco silnější preference než předchozí 7x je velmi silně důležitější než y Velmi silná preference prvního prvku před druhým 8x je velmi, velmi silně důležitější než y O něco silnější preference než předchozí 9x je extrémně důležitější než y Skutečnosti upřednostňující první prvek před druhým mají

107 Výpočet vah Saatyho metodou v AHP spočívá ve výpočtu vlastního vektoru odpovídajícího maximálnímu vlastnímu číslu matice párových porovnání S Pokud platí f i G f j, pak prvek s ij vyjadřuje poměr významností kritéria f i k významnosti kritéria f j tj. poměr vah v j a v j i,j = 1,2,..., m – počet porovnávaných prvků ● ●

108 Výpočet vah Saatyho metodou v AHP Řešením soustavy m rovnic o m neznámých x = (x 1, x 2,...,x m ) vyjádřené ve vektorovém tvaru: (**)S x = max x  (S - max E) x = 0 kde max je maximální vlastní číslo matice tj. největší kořen rovnice det (S - E) = 0 pak stanovíme hledané váhy takto: v i = x i /  x  i = 1,2,... m Symbol  x  označuje velikost vektoru x tj.  x  =  x i ● ●

109 Konzistence matice párových porovnání O matici párových porovnání S předpokládáme že je reciproká tj. s ij = pro všechna i,j = 1,2,...m že je konzistentní, tj. s ij = s iq s qj pro všechna i,j,q = 1,2,...m ● ●

110 Vlastnosti matice S (Případ Saatyho metody) Nechť S  0 je čtvercová matice typu m  m, která je reciproká tj. splňuje vztah s ij = pro všechna i,j = 1,2,...m Potom pro její maximální vlastní číslo platí: Matice S je konzistentní, právě když platí ● ● ●

111 Index nekonzistence Indexem nekonzistence matice S nazýváme číslo I S definované vztahem: I S = 0 právě když je S konzistentní Čím větší je index nekonzistence, tím větší nekonzistentností se vyznačují párová porovnání v matici párových porovnání. Naopak, čím více se index nekonzistence blíží k 0, tím se konzistence více blíží perfektní konzistenci. V Expert Choice se za přijatelný index konzistence považuje I S  0,1 ● ● ● ●

112 Souhrnný index nekonzistence Souhrnný index nekonzistence hierarchie je definován jako index nekonzistence prvku g (globálního cíle) z nejvyšší hierarchické úrovně L 1 Konstrukce indexu nekonzistence prvku x z hierarchické úrovně L k spočívá v tom, že se nejprve vypočte vážený součet z indexů nekonzistence podřízených prvků a ten se porovná s původním indexem nekonzistence I x, za výsledný index nekonzistence prvku x z hierarchické úrovně L k se pak vezme větší z obou čísel. ● ●

113 Hodnocení rizikových variant jediné kritérium deterministické (nerizikové)více kritérií varianty (např. AHP – EC) jediné kritérium rizikové více kritérií kvalitativní (nominální, ordinální) kritéria kvantitativní (kardinální)

114 Pravidla rozhodování za rizika = při znalosti RP 1. Pravidlo aspirační úrovně Varianty se uspořádají podle velikosti pravděpodobnosti přesahující danou tzv. aspirační úroveň 2. Pravidlo očekávané ( střední ) hodnoty a rozptylu Varianty se uspořádají: -velikosti střední hodnoty kritéria -rozptylu hodnoty kritéria Vyčleňuje tzv. nedominované varianty

115 Pravidla rozhodování za rizika … 3. Pravidlo stochastické dominance - varianty se uspořádají podle velikosti hodnot distribuční funkce 4. pravidlo očekávané utility - varianty se uspořádají podle střední hodnoty utility Funkce utility - vyjadřuje postoj rozhodovatele k riziku z hlediska daného kritéria se sklonem k riziku rozhodovatel neutrální k riziku s averzí k riziku

116 Hodnocení rizikových variant při jediném kritériu deterministická varianta  jediná hodnota (číslená, slovní) hodnocení = jednoduchá úloha riziková varianta  více (možných) hodnot + pravděpodobnost příslušné hodnoty ( tj. rozdělení pravděpodobnosti)

117 Rozhodovací matice A = { a 1, a 2, …, a n } - množina variant C = { f } – 1 kritérium Z = { z 1, z 2, …, z k } – množina scénářů ( stavů světa ) p(z) ≥ 0 pro každé z  Z – pravděpodobnost scénářů

118 Rozhodovací matice… f(a,z)f(a,z)z1z1 z2z2 z3z3 …zkzk a1a1 f(a1,z1)f(a1,z1)f(a1,z2)f(a1,z2)f(a1,z3)f(a1,z3)…f(a1,zk)f(a1,zk) a2a2 f(a2,z1)f(a2,z1)f(a2,z2)f(a2,z2)f(a2,z3)f(a2,z3)…f(a2,zk)f(a2,zk) a3a3 f(a3,z1)f(a3,z1)f(a3,z2)f(a3,z2)f(a3,z3)f(a3,z3)…f(a3,zk)f(a3,zk) ……………… amam f(am,z1)f(am,z1)f(am,z2)f(am,z2)f(am,z3)f(am,z3)…f(am,zk)f(am,zk) Pravdě- podobnost p(z1)p(z1)p(z2)p(z2)p(z3)p(z3)…p(zk)p(zk)

119 Subjektivní pravděpodobnosti ČíselnéSlovní 0Zcela vyloučeno 0,1Krajně nepravděpodobné 0,2 – 0,3Dosti nepravděpodobné 0,4Nepravděpodobné 0,5Stejně pravděpodobné 0,6Pravděpodobné 0,7 – 0,8Dosti pravděpodobné 0,9Nanejvýš pravděpodobné 1Zcela jisté

120 Hodnocení rizikových variant při jediném kritériu … Příklad: Investiční varianta (výrobní linka) Kritériem je roční zisk Z … roční zisk P … roční objem produkce (resp. poptávka) c … prodejní cena produktu v … variabilní náklady na jednotku produkce F … roční výše fixních nákladů I … investiční náklady T … doba životnosti výrobní linky Rizikové faktory

121 Příklad… Podnikatel chce investovat do výrobního zařízení, které je na trhu k dispozici ve 3 variantách: a 1 - malá varianta a 2 - střední varianta a 3 - velká varianta Velikosti předpokládaného zisku po zavedení nové výroby (kritérium Z ij =f (a i,z j ) ) jsou uvažovány pro 5 scénářů - situací odbytu výrobku vyráběného na výrobním zařízení: z 1 - velká ekonomická recese z 2 - mírná ek. recese z 3 - ek. stagnace z 4 – mírný ek. růst z 5 – velký ek. růst

122 Příklad … Rozhodovací matice Varianta / Zisk z1z1 z2z2 z3z3 z4z4 z5z5 a 1 = malá v a 2 = sřední v a 3 = velká v Pravděpodobnost0,150,350,300,150,05

123 Pravděpodobnostní rozdělení rizikových faktorů Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti ZISK z a 1 0,30 0, ,15 0,05 0,15

124 Pravděpodobnostní rozdělení rizikových faktorů … Spojité rozdělení pravděpodobnosti ZISK E(X)=100

125 Pravděpodobnostní funkce ZISK

126 Distribuční funkce

127 Metody vyhodnocení variant za rizika Rozhodovatel zvolí hodnotu aspirační úrovně , tj. číslo, které představuje požadovanou hodnotu maximalizačního kritéria f, jíž má toto kritérium minimálně dosáhnout. Varianty a  A se pak uspořádají podle velikosti celkové pravděpodobnosti P  (a), s níž hodnota kritéria f překračuje zadanou aspirační úroveň  R, tj.: I  (a) = {i  f(a,z i )  } (4) P  (a) = (5) 1. Metoda aspirační úrovně

128 Metoda aspirační úrovně … Čím větší je pravděpodobnost toho, že hodnota kritéria překračuje aspirační úroveň, tím je varianta lepší. Nevýhodnou vlastností metody je silná závislost výsledného uspořádání variant na zvolené aspirační úrovni (nestabilita výsledků při různých volbách aspirační úrovně, viz následující příklad)

129 Příklad … Varianta / Zisk z1z1 z2z2 z3z3 z4z4 z5z5 a 1 = malá v a 2 = sřední v a 3 = velká v Pravděpodobnost0,150,350,300,150,05

130 Příklad… Aspirační úroveň byla stanovena:  = 80. Potom podle (4) stanovíme: I  (a 1 ) = {2,3,4,5} I  (a 2 ) = {3,4,5} I  (a 3 ) = {4,5} dále podle (5) vypočítáme příslušné celkové pravděpodobnosti překročení hodnoty aspirační úrovně: P  (a 1 ) = 0,85 P  (a 2 ) = 0,50 P  (a 2 ) = 0,20 Nejlépe hodnocenou je tedy a 1 -malá varianta, další je pak a 2 - střední varianta, nejhůře hodnocenou je a 3 -velká varianta. Uspořádání variant je závislé na velikosti aspirační úrovně:  = 160, potom podle (4) a (5) obdržíme následující výsledky: I  (a 1 ) = {  } I  (a 2 ) = {5} I  (a 3 ) = {4,5} P  (a 1 ) = 0.00 P  (a 2 ) = 0.05 P  (a 3 ) = 0.20 Těmto pravděpodobnostem odpovídá obrácené pořadí variant než v předešlém případě nižší aspirační úrovně!

131 2. Metoda očekávaného užitku Alternativní název: pravidlo očekávané utility Funkce užitku vyjadřuje (obvykle na intervalu [0,1] ) míru užitku, kterou má uživatel z hodnoty daného kritéria U maximalizačního (minimalizačního) kritéria je hodnota užitku z vyšší hodnoty (nižší hodnoty) stejná nebo vyšší Metoda očekávaného užitku představuje tyto kroky: stanovení funkce užitku daného kritéria vyhodnocení užitků, tj. výpočet očekávaných hodnot jednotlivých variant uspořádání variant podle klesající střední hodnoty užitku

132 Příklad: Při konstrukci funkce užitku (FU) se vychází z předpokladu, že rozhodovatel je neutrální k riziku a tudíž funkce užitku je lineární Použijeme přitom následující metodu konstrukce FU: minimální nabývané hodnotě přiřadíme nulový užitek, maximální hodnotě naopak přiřadíme jednotkový (tj. maximální) užitek. Ostatním hodnotám přiřadíme užitek, který odpovídá hodnotám lineární funkce podle vztahu: pro -100  x  500 viz následující tabulku a graf funkce užitku

133 Příklad … Varianta/ Užitek z1z1 z2z2 z3z3 z4z4 z5z5 E[u(a i )] a1a1 0,250,300,330,370,420,32 a2a2 0,170,250,300,420,670,30 a3a3 0,000,170,250,671,000,28 Pravdě- podobnost 0,150,350,300,150,05---

134 Příklad …

135 3. Metoda očekávané (střední) hodnoty V případě, že funkce užitku není známa, ani ji nelze efektivně zkonstruovat, použijeme analogickou metodu, která však nevyžaduje znalost funkce užitku: pracuje přímo s hodnotami kriteria Touto metodou vypočítáme pro každou variantu a  A očekávanou (střední) hodnotu kritéria podle známého vztahu: E[f(a)] = (6) Podle velikosti střední hodnoty potom uvažované varianty uspořádáme

136 4. Metoda očekávané hodnoty a rozptylu Metoda (pravidlo) očekávané hodnoty z předchozího odstavce nebere při stanovování uspořádání variant v úvahu odlišnou míru rizika jednotlivých variant. Tento nedostatek se snaží zmírnit metoda očekávané hodnoty a rozptylu, která kromě očekávané hodnoty uvažuje pro každou variantu také rozptyl hodnot kritéria. Přitom varianta a i „je lepší než“ varianta a j, jestliže platí současně: E[a i ]  E[a j ] Var[a i ]  Var[a j ] (7) „Lepší“ varianta musí mít současně větší, (přesněji: ne menší) očekávanou hodnotu a menší (přesněji: ne větší) rozptyl Je zřejmé, že podle (7) obecně nelze množinu variant úplně uspořádat, vztah (7) definuje pouze částečné kvaziuspořádání Lze však nalézt podmnožinu nedominovaných variant

137 Příklad: Viz zadání Příkladu 1. Následující tabulka uvádí v posledních dvou sloupcích střední hodnotu a rozptyl hodnot kritéria f : z1z1 z2z2 z3z3 z4z4 z5z5 E[ai]E[ai]Var[a i ] , , , ,150,350,30,150,05 Varianta/ Zisk a1a1 a2a2 a3a3 Pravděpodobnost

138 Příklad … Z uvedené tabulky je zřejmé, že jak použitím metody očekávané hodnoty, tak metody očekávané hodnoty a rozptylu obdržíme stejné výsledné uspořádání variant: nejlépe je hodnocena varianta a 1, potom varianta a 2 a nakonec varianta a 3

139 Střední hodnota a rozptyl zisku Varianta / Scénář z1z1 z2z2 z3z3 z4z4 z5z5 E[f(a)]E[f(a)]Var [f(a)] malá v , střední v , velká v , Pravděpodobnost0,150,350,30,150,05

140 Střední hodnota užitku ze zisku Varianta / Scénář z1z1 z2z2 z3z3 z4z4 z5z5 E[u(f(a))] malá v.0,250,300,330,370,420,32 střední v.0,170,250,300,420,670,30 velká v.0,000,170,250,671,000,28 Pravděpodobnost0,150,350,300,150,05

141 Pravidla rozhodování při neznalosti RP = za nejistoty Varianty: X 1, X 2, …, X m Stavy světa (scénáře, bez znalosti pravděpodobnosti): S 1, S 2, …, S s Důsledek i -té varianty vzhledem k j -tému stavu světa: - rozhodovací matice

142 Pravidla rozhodování při neznalosti RP ( za nejistoty ) … 1. Pravidlo minimaxu Pro každou variantu najdi nejnižší hodnotu kritéria přes stavy světa. Podle této nejnižší hodnoty uspořádej vaianty. ( Pesimistický přístup ) 2. Pravidlo maximaxu Pro každou variantu najdi nejvyšší hodnotu kritéria přes stavy světa. Podle této nejvyšší hodnoty uspořádej varianty. ( Optimistický přístup )

143 Pravidla rozhodování při neznalosti RP ( za nejistoty ) … 3. Hurwitzovo pravidlo Kombinace 1. a Laplaceovo pravidlo Předpoklad, že všechny, že všechny stavy světa jsou stejně pravděpodobné. Vypočte se střední( očekávaná ) hodnota kritéria každé varianty: podle této hodnoty uspořádat varianty 5. Savageovo pravidlo Minimalizace ztrát

144 1. Pravidlo minimaxu Pro každou variantu se stanoví minimální hodnota realizace kritéria - min Jako nejlepší se pak vybere ta varianta, pro kterou je stanovená minimální hodnota největší Praktický postup spočívá ve výpočtu „řádkových minim“ v rozhodovací matici a následný výběr řádku, kde toto minimum nabývá maxima - proto název pravidlo minimax Někdy se o tomto pravidlu hovoří jako o pesimistickém pravidlu, očekáváme totiž nejhorší možný výsledek a ten se snažíme co nejvíce vylepšit

145 2. Pravidlo maximaxu Pro každou variantu se stanoví maximální hodnota realizace kritéria - max Jako nejlepší se pak vybere ta varianta, pro kterou je stanovená maximální hodnota největší Praktický postup spočívá ve výpočtu „řádkových maxim“ v rozhodovací matici a následný výběr řádku, kde toto maximum je největší - proto název pravidlo maximax O tomto pravidlu se hovoří někdy jako o optimistickém pravidlu, očekáváme totiž nejlepší možný výsledek a ten se snažíme ještě vylepšit

146 3. Laplaceovo pravidlo Nemá-li rozhodovatel informace o tom, zda některé rizikové situace - scénáře jsou pravděpodobnější, než jiné, může předpokládat, že jsou tyto pravděpodobnosti stejné V takové situaci lze použít metodu očekávané hodnoty, eventuálně metodu očekávané hodnoty a rozptylu

147 4. Hurwiczovo pravidlo Hurwiczovo pravidlo je jistou kombinací pravidel minimaxu a maximaxu: pro každou variantu a  A se stanoví jak minimální hodnota tak maximální hodnota m(a) = min{f(a,z i )  i=1,2,...,k} M(a) = max{f(a,z i )  i=1,2,...,k}. Pro zvolený koeficient optimismu 0,1  vypočítáme hodnotu Hurwiczova kritéria H(a) takto: H(a) = M(a)+ (1- ) m(a) (8)

148 4. Hurwiczovo pravidlo … Pro nulový koeficient optimismu, tj. = 0, je H(a) = m(a), jedná se tudíž o minimaxové (pesimistické) pravidlo Pro = 1 z (8) naopak obdržíme H(a) = M(a), jedná se tedy o maximaxové (optimistické) pravidlo Pro 0 < < 1 představuje Hurwiczovo pravidlo kombinaci obou přístupů - optimistického a pesimistického, přitom stupeň optimismu je určen koeficientem optimismu

149 5. Savageovo pravidlo Savageovo pravidlo vychází ze ztrát, které jsou způsobeny „neoptimální“ volbou varianty. Pro danou variantu a  A představuje ztráta rozdíl mezi skutečnými hodnotami realizace (maximalizačního) kritéria pro tuto variantu a odpovídajícími maximálními hodnotami kritéria. Každou variantu pak charakterizujeme její celkovou maximální ztrátou. Varianta s nejmenší celkovou ztrátou je pak považována za nejlepší. Praktický postup výběru nejlepší varianty spočívá v následujících 3 krocích:  Stanovení maximálních sloupcových hodnot v rozhodovací matici.  Od každého prvku sloupce rozhodovací matice odečteme maximální hodnotu tohoto sloupce vypočítanou v Kroku 1. Tím obdržíme matici ztrát.  Stanovíme řádková maxima a vybereme nejlepší variantu s nejmenším řádkovým maximem.

150 Příklad: Předpokládejme, že v Příkladu 1 nejsou známy pravděpodobnosti jednotlivých scénářů, hodnoty kritéria zisku jsou uvedeny v následující tabulce, kde v posledních dvou sloupcích jsou uvedena řádková minima a maxima, v posledním řádku pak sloupcové maximum.

151 Příklad … Varianta/ Zisk z1z1 z2z2 z3z3 z4z4 z5z5 minmax a1a a2a a3a max Z předposledního sloupce výše uvedené tabulky vyplývá, že podle kritéria minimaxu je nejlépe hodnocená varianta a 1, podle kritéria maximaxu je to varianta a 3.

152 Příklad … Následující tabulka uvádí hodnoty Hurwiczova kritéria (8) pro několik hodnot koeficientu optimismu : Varianta / H(a) =0 =0.2 =0.3 =0.5 =0.8 =1.0 a1a a2a a3a Z uvedené tabulky plyne, že například pro parametr optimismu = 0.2 je nejlépe hodnocena varianta a 1, pro parametr optimismu = 0.3 je nejlépe hodnocenou variantou varianta a 2, pro parametr optimismu  0.5 je nejlépe hodnocena varianta a 3.

153 Příklad … Nakonec ještě nalezneme nejlepší variantu při použití Savageova kritéria. Sloupcová maxima jsou uvedena v předposlední tabulce na posledním řádku. Následující tabulka uvádí matici ztrát přičemž v posledním sloupci jsou uvedena řádková maxima. Varianta/ Zisk z1z1 z2z2 z3z3 z4z4 z5z5 max a1a a2a a3a Podle výše uvedené tabulky vykazuje nejmenší ztrátu varianta a 3, která podle Savageova kritéria je nejlépe hodnocenou variantou.

154 Skupinové rozhodování: předpoklady Varianty ( i ): a 1, a 2,…, a n Kritéria ( j ): k 1, k 2,…, k m Rozhodovatelé ( k ): r 1, r 2,…, r s Hodnocení i -té varianty podle j-tého kritéria k –tým rozhodovatelem : h ij k {h ij k } – rozhodovací matice pro každého rozhodovatele Normalizované hodnocení pro  kritérium j a  rozhodovatele k :

155 Agregace dílčích hodnocení: ( metody) Aditivní: nebo kde c k je kompetentnost k-tého rozhodovatele: Multiplikativní:nebo Výsledek: kriteriální matice {H ij }, event. normalizovaná {h ij }, Rozhodovací problém s jediným rozhodovatelem Normalizované hodnocení pro  kritérium:  Platí:Použití též pro stanovení vah kritérií!

156 Stanovení vah kritérií Váhy kritérií: w 1, w 2,…,w m Agregace individuálních vah: aditivní nebo multiplikativní metoda (viz dříve) Agregace individuálních matic párových porovnání:

157 Agregace individuálních matic párového porovnání Stanovení vah kritérií: w 1, w 2,…,w m S k = {s ij k } – matice párových porovnání k-tého rozhodovatele Agregovaná matice párových porovnání: S = {s ij } kde - geometrický průměr stejných prvků z individuálních matic párového porovnání! Výpočet vah: w 1, w 2,…,w m - Saatyho metodou apod.

158 Syntéza – agregační funkce Varianty: i = 1,2,…,n Kritéria: j = 1,2,…,m Kriteriální matice: {H ij } Váhy kritérií: w 1, w 2,…,w m Agregované hodnocení i -té varianty: nebo

159 Příklad: konkurz

160 Příklad: konkurz 2 - samostatná práce

161


Stáhnout ppt "ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽERY Metody vícekriteriálního rozhodování Prof. RNDr. Jaroslav Ramík, CSc."

Podobné prezentace


Reklamy Google