Fyzikální principy tvorby nanovláken 3. Elektrostatika D. Lukáš 2014 1.

Prezentace na téma: "Fyzikální principy tvorby nanovláken 3. Elektrostatika D. Lukáš 2014 1."— Transkript prezentace:

1 Fyzikální principy tvorby nanovláken 3. Elektrostatika D. Lukáš 2014 1

2 1. Feynman R P, Leighton R B, Sands M: Feynmanovy přednášky z fyziky, Díl 2, Fragment, Havlíčkův Brod, 2001. Kapitola 4, Elektrostatika, str. 63 – 81 (=18 starn) 2. Lukáš D et. col.: Physical principles of electrospinning, Textile Progress, 41/2 2009. Kapitola 3, Theoretical evolution of electrospinning, str. 66-68 (=2 strany) 3. Horák Z. Krupka F.: Fyzika, SNTL, Praha, 1966. Kapitola 5, Elektřina a magnetismus, str. 350-377 (=27 stran) 2 References

3 Electrospinning may be thought to be a member of larger group of physical phenomena, classified as electrohydrodynamics. This important group of electrical appearances concerns the nature of ion distribution in a solution, caused by the influence of electric field, generated by organized groups of charges, to give a wide range of solution behaviour, such as: electrophoresis, electroosmosis, electrocapillarity electrodiffusion 3 Electrohydrodynamics

4 4 Electrophoresis is the motion of dispersed particles relative to a fluid under the influence of a spatially uniform electric field. This electrokinetic phenomenon was observed for the first time in 1807 by Ferdinand Frederic Reuss (Moscow State University), who noticed that the application of a constant electric field caused clay particles dispersed in water to migrate. Electrophoresis

5 5 It is convenient to introduce an overview of the basic principles of electrostatics and capillarity to enable deeper understanding of physical principles of electrospinning. In this lecture will be briefly described:

6 Historically, the basic law of electrostatics is the Coulomb law, describing a force by which a charge acts on a charge on a distance in a space with electric permittivity, (3.1) 1 2 x y Feynmanovy přednášky z fyziky, Díl 2, Odstavec 4.2 6 Electrostatics – Coulomb law Coulomb law Unitary vector Force SI units : kg.m.s -2 =N

7 7 Absolute permittivity  is a measure of how an electric field affects, and is affected by, a dielectric medium. Absolute permittivity  Internal field strength = 0 Internal field strength  0

8 8 Thus, permittivity relates to a material's ability to transmit an electric field. In SI units, permittivity ε is measured in farads per meter (F/m). ε r is the relative permittivity (dimensionless) of the material, for water ε r = 73. ε 0 = 8.85… × 10 −12 F/m is the vacuum permittivity. Relative and vacuum permittivity

9 9

10 Coulomb force per unitary charge is called field strength or, field intensity E and is commonly denoted as (3.2) x y 10 A charge generates a filed Field strength Field occupies space. It contains energy. Its presence eliminates a true vacuum. The field creates a "condition in space" such that when we put a particle in it, the particle "feels" a force. Field strength SI units : kg.m.s -2 C -1 =NC -1 =V ⋅ m −1

11 For electrostatic field, holds the superposition principle. For charges 1 and 2 that generate electrostatic fields with intensities E 1 and E 2 respectively, the resultant / joint field E is determined by the following sum: (3.3) x y 1 2 11 Superposition principle

12 Gauss theorem is an alternative formulation of Coulomb law. According to this theorem, the scalar product of intensity, E, with a surface area element ds, integrated along a closed surface S, is equal to a charge, q, trapped inside the close surface by permittivity, . The surface area element ds is considered here as a vector normal to the surface element. (3.4) 12 Gauss theorem of electrostatics

13 13 Flow (flux) of a vector field through a surface Flux of a vector field The dot product of vectors expressed is related to their length and angle.

14 S q 14 Gauss Theorem of electrostatics - macroscopic.

15 Gauss’s principle in electrostatics describes electrostatic field property from macroscopic point of view. It has also a microscopic variant: (3.5) Hamilton Operator This equation is also known as the First Maxwell Law for electrostatics. 15 Charge volume density First Maxwell law for electrostatics

16 16 Přírůstek argumentu, přírůstek funkce a derivace funkce Lokální charakteristika funkce Odhad Skutečnost Přírůstek funkce je (v okolí daného bodu definičního oboru) je roven první derivaci v tomto bodě násobené přírůstkem argumentu. charakteristika funkce na intervalu

17 17 x xx Přírůstek x-ové složky intenzity pole

18 x y z 18 dsds Divergence intenzityPřírůstek x-ové složky intenzity pole dsds Podél osy x: dsdsdsds Přírůstek x-ové složky intenzity pole se skládá z výtoku a vtoku složky E x Přírůstek x-ové složky toku intenzity pole dV je objem krychle

19 19 Jak je to se singularitou náboje???? x zab x náboj ab Funkce E(x) uvnitř intervalu, ve kterém leží náboj, není spojitá v bodě singularity. Možné vysvětlení:  je hustota náboje nezpůsobující singularitu elektrického pole Problém Mimo náboje jsou složky E hladké funkce. V oblasti bodových nábojů mají složky E singularitu typu 1/r 2.

20 20 Přírůstek funkce jedné proměnné Přírůstek funkce více proměnných Liniové integrály. přírůstek funkce více proměnných a liniové integrály

21 Electrostatic field is the conservative one and, hence, there exists a potential  that determines unequivocally the field intensity by means of the following relation (3.6) x y z 21 Unequivocally [ ˌʌ n ɪˈ kw ɪ vəkəl ɪ ] jednoznačně, jasně vyjádřit Electrostatic field is the conservative one Cirkulace vektorového pole elektrostatické intenzity. Electric potential unit: V Voltage, electrical potential difference

22 22 Cirkulace vektorového pole elektrostatické intenzity. x y z

23 23 First Maxwell Equation Second Maxwell Equation Maxwell equations for electrostatics Identity Consequence of the Second Maxwell Equation. Definition of electrostatic potential

24 The substitution from the relation for electrostatic potential into the First Maxwell Equation provide us with so-called Poisson Equation. Laplace Operator Laplace Equation 24 (3.6) (3.5) Poisson and Laplace equation Poisson Equation

25 Summary: Coulomb law Field Intensity Superposition Principle Gauss Theorem First and second Maxwell Law for electrostatics Hamilton Operator Electrostatic field is the conservative one – potential Poisson Equation and Laplace Equation Laplace Operator 25

26 Homework: 1. Skalární součin 2. 3. Ukažte, že v kartézském souřadném systému platí: 4. Proveďte Vektorový součin, kde a=(a x, a y, a z ), b=(b x, b y, b z ). 26

27 27 5. Pomocí Laplaceovy rovnice vyjádřete prostorové rozložení elektrického potenciálu generovaného rovinnou vodivou deskou ležící v rovině (yz). Potenciál na desce je 1 kV a intenzita v její bezprostřední blízkosti je 20 kV/m. Návod: Zkuste zda Laplaceovu rovnici pro výše uvedené zadání nesplňuje funkce kde C a jsou konstanty. 6. Pomocí Gaussovy věty vyjádřete prostorové rozložení v okolí homogenně nabitého přímého drátu. Lineární hustotu náboje označte . Návod: Gaussovu plochu zvolte ve tvaru válce, v jehož ose se nachází nabitý drát.

28 28 7. Ukažte, že pro každé skalární pole  platí: Návod: Vektorový součin proveďte podle definice a ukažte, že každá jeho složka je nulová. Použijte přitom pravidlo pro záměnu derivací. 8. Ukažte, že složky vektorového součinu mají význam cirkulace vektorového pole po obvodu infinitezimálně malých čtverců ležících v rovinách xy, xz a yz. Návod najdete v knize: Feymanovy přednášky z fyziky, díl 2, str. 55. 9. Vyjádřete přírůstek funkce dF(x) v závislosti na přírůstku jejího argumentu dx pomocí derivace funkce F. K analytickému zápisu připojte obrázek grafu funkce a její derivace ve zvoleném bodě x 0.

29 29 10. Formulujte Gaussovu větu pro elektrostatiku. Jaký je její vztah k Coulombovu zákonu? 11. Formulujte Maxwellovy rovnice pro elektrostatiku. 12. Formulujte princip superpozice pro elektrostatiku. 13. Co je to elektrická permitivita? Co je to relativní elektrická permitivita? Jaká je její jednotka? Návod: Jednotka elektrické permitivity může být odvozena ze znění Coulombova zákona. 14. Vyjádřete jednotku Volt V pomocí základních jednotek SI.

30 30 Dodatky

31 31 Věta o střední hodnotě: Nechť funkce f(x) je spojitá na uzavřeném intervalu  a,b  a derivovatelná na jeho vnitřku. Pak existuje bod z  (a,b), takový, že x zab

32 32 x zab „Opakováním“ věty o střední hodnotě na řadu sousedních intervalů a součtem se získá Newtonův vzorec pro výpočet určitého integrálu. c

33 33 Suppose two regions in three-space (solids) are included between two parallel planes. If every plane parallel to these two planes intersects both regions in cross-sections of equal area, then the two regions have equal volumes.  Bonaventura Francesco Cavalieri (1598 – 1647) an Italian mathematician. Cavalieri‘s priciple