Úvodní problém – nakreslete graf znázorňující

Prezentace na téma: "Úvodní problém – nakreslete graf znázorňující"— Transkript prezentace:

1 Úvodní problém – nakreslete graf znázorňující
tíhový účinek koule podle vzorce pro vertikální složku. hloubka středu koule h = 500 m poloměr koule R = 150 m diferenční hustota s = 500 kg/m3 Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

2 Pro gravitační zrychlení g obecně platí: Vzdálenost je ale:
Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

3 Gravitační zrychlení tedy je dáno:
Podle zadání nás ale zajímá pouze vertikální složka gravitačního zrychlení gz: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

4 Gravitační zrychlení tedy je dáno:
Podle zadání nás ale zajímá pouze vertikální složka gravitačního zrychlení gz: Současně ale vidíme, že sina si můžeme vyjádřit jako: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

5 Tedy: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

6 Hmotnost M je v našem případě nutno chápat nikoli jako celou hmotnost koule, ale jako diferenční hmotnost (oč je hmotnost odlišná od hmotnosti okolního prostředí o stejném objemu). M tedy závisí na objemu a na diferenční hustotě s: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

7 Hmotnost M je v našem případě tedy:
Vertikální složka g je po dosazení: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

8 Po dosazení za x (vzdálenost na profilu od bodu 0) můžeme doplnit tabulku hodnot vertikální složky gravitačního zrychlení v jednotlivých bodech profilu: x [m] Vz [m/s2] -2500 1, 200 1, -2250 1, 400 8, -2000 2, 600 4, -1750 3, 800 2, -1500 5, 1000 1, -1250 9, 1250 -1000 1500 -800 1750 -600 2000 -400 2250 -200 2500 1, Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

9 Vypočtené hodnoty pak vyneseme do grafu:
Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

10 Obrácené úlohy vycházející z úvodního problému:
Úloha 1.1: Vypočti poloměr kulového tělesa, jehož tíhový účinek gz ve vzdálenosti 1000m od průmětu středu tělesa na povrch je 2,1 *10-7 m/s2. hloubka středu koule h = 500 m diferenční hustota s = 500 kg/m3 Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

11 Úloha 1.1: Vypočti poloměr kulového tělesa, jehož tíhový účinek gz ve vzdálenosti 1000m od průmětu středu tělesa na povrch je 2,1 *10-7 m/s2. hloubka středu koule h = 500 m diferenční hustota s = 500 kg/m3 Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

12 Dosadíme do vzorce pro hmotnost M:
Nyní známe hmotnost i diferenční hustotu, hledáme poloměr. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

13 Nyní známe hmotnost i diferenční hustotu, hledáme poloměr.
Opět dosadíme do vzorce: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

14 Ověřme nyní blíže, jaký je vztah mezi poloměrem a tíhovým účinkem:
Úloha 1.2: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se poloměr hmotné koule dvakrát? Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

15 Úloha 1.2: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se poloměr hmotné koule dvakrát?
Změna poloměru se projeví (při neměnné diferenční hustotě) změnou hmotnosti – hloubka, staničení i konstanta k se nemění. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

16 Tíhový účinek je přímo úměrný hmotnosti, závislost je lineární.
Úloha 1.2: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se poloměr hmotné koule dvakrát? Tíhový účinek je přímo úměrný hmotnosti, závislost je lineární. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

17 Úloha 1.2: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se poloměr hmotné koule dvakrát?
Změna poloměru se projeví (při neměnné diferenční hustotě) změnou hmotnosti. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

18 Úloha 1.2: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se poloměr hmotné koule dvakrát?
Změna poloměru se projeví (při neměnné diferenční hustotě) změnou hmotnosti. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

19 Poloměr se zvětšil dvakrát, tj. platí:
Úloha 1.2: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se poloměr hmotné koule dvakrát? Poloměr se zvětšil dvakrát, tj. platí: Tíhový účinek se zvětšil osmkrát. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

20 Úloha 1.3: Vypočti diferenční hustotu kulového tělesa, jehož tíhový účinek gz ve vzdálenosti 1000m od průmětu středu tělesa na povrch je 2,1 *10-7 m/s2. hloubka středu koule h = 500 m poloměr R = 180 m Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

21 Opět hledáme hmotnost M:
Úloha 1.3: Vypočti diferenční hustotu kulového tělesa, jehož tíhový účinek gz ve vzdálenosti 1000m od průmětu středu tělesa na povrch je 2,1 *10-7 m/s2. Opět hledáme hmotnost M: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

22 Nyní známe hmotnost i poloměr, hledáme diferenční hustotu.
Opět dosadíme do vzorce: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

23 Ověřme nyní blíže, jaký je vztah mezi diferenční hustotou a tíhovým účinkem:
Úloha 1.4: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se diferenční hustota hmotné koule dvakrát? Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

24 Úloha 1.4: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se diferenční hustota hmotné koule dvakrát? Změna diferenční hustoty se projeví (při neměnném poloměru) změnou hmotnosti – hloubka, staničení i konstanta k se nemění. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

25 Tíhový účinek je přímo úměrný hmotnosti, závislost je lineární.
Změna diferenční hustoty se projeví (při neměnném poloměru) změnou hmotnosti – hloubka, staničení i konstanta k se nemění. Tíhový účinek je přímo úměrný hmotnosti, závislost je lineární. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

26 Úloha 1.4: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se diferenční hustota hmotné koule dvakrát? Změna diferenční hustoty se projeví (při neměnném poloměru) změnou hmotnosti. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

27 Úloha 1.4: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se diferenční hustota hmotné koule dvakrát? Změna diferenční hustoty se projeví (při neměnném poloměru) změnou hmotnosti. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

28 Diferenční hustota se zvětšila dvakrát, tj. platí:
Úloha 1.4: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se diferenční hustota hmotné koule dvakrát? Diferenční hustota se zvětšila dvakrát, tj. platí: Tíhový účinek se zvětšil dvakrát. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

29 Úloha 1.5: Vypočti hloubku kulového tělesa, jehož tíhový účinek gz ve vzdálenosti 0m od průmětu středu tělesa na povrch je 2,1 *10-6 m/s2. diferenční hustota s = 500 kg/m3 poloměr R = 180 m Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

30 Úloha 1.5: Vypočti hloubku kulového tělesa, jehož tíhový účinek gz ve vzdálenosti 0m od průmětu středu tělesa na povrch je 2,1 *10-6 m/s2. Všimněme si, že pro x=0 (tj. pro místo přímo nad středem tělesa) se vzorec pro tíhový účinek výrazně zjednoduší: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

31 Snadno si ze zjednodušeného vzorce vyjádříme h:
Potřebujeme znát také hmotnost M: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

32 Nyní snadno dosadíme do vzorce:
Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

33 Ověřme nyní blíže, jaký je vztah mezi hloubkou a tíhovým účinkem:
Úloha 1.6: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz v místě nad středem hmotné koule, zvětší-li se hloubka hmotné koule dvakrát? Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

34 Vyjdeme ze zjednodušeného vzorce pro x=0:
Úloha 1.6: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz v místě nad středem hmotné koule, zvětší-li se hloubka hmotné koule dvakrát? Vyjdeme ze zjednodušeného vzorce pro x=0: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

35 Tíhový účinek je nepřímo úměrný hloubce.
Úloha 1.6: Kolikrát se zmenší tíhový účinek gz v místě nad středem hmotné koule, zvětší-li se hloubka hmotné koule dvakrát? Tíhový účinek je nepřímo úměrný hloubce. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

36 Hloubka se zvětšila dvakrát, tj. platí:
Úloha 1.6: Kolikrát se zmenší tíhový účinek gz v místě nad středem hmotné koule, zvětší-li se hloubka hmotné koule dvakrát? Hloubka se zvětšila dvakrát, tj. platí: Tíhový účinek se zmenšil čtyřikrát. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

37 Řešení úloh: verze 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1 164 m 8krát 82 kg/m3
11 228 m 220 kg/m3 427 m 2 206 m 163 kg/m3 430 m 12 292 m 461 kg/m3 295 m 3 218 m 193 kg/m3 396 m 13 309 m 545 kg/m3 272 m 4 254 m 304 kg/m3 315 m 14 359 m 859 kg/m3 216 m 5 264 m 341 kg/m3 298 m 15 373 m 964 kg/m3 204 m 6 167 m 87 kg/m3 557 m 16 241 m 260 kg/m3 382 m 7 214 m 182 kg/m3 385 m 17 546 kg/m3 8 227 m 215 kg/m3 354 m 18 327 m 645 kg/m3 243 m 9 340 kg/m3 282 m 19 380 m 1017 kg/m3 193 m 10 274 m 381 kg/m3 266 m 20 395 m 1141 kg/m3 183 m Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007