Harmonická analýza Součet periodických funkcí s periodami T, T/2, T/3,... je periodická funkce s periodu T má periodu T perioda základní frekvence vyšší.

Prezentace na téma: "Harmonická analýza Součet periodických funkcí s periodami T, T/2, T/3,... je periodická funkce s periodu T má periodu T perioda základní frekvence vyšší."— Transkript prezentace:

1 Harmonická analýza Součet periodických funkcí s periodami T, T/2, T/3,... je periodická funkce s periodu T má periodu T perioda základní frekvence vyšší harmonické frekvence Platí i naopak?

2 Harmonická analýza „Každá“ periodická funkce s periodou může být rozložena do řady (Fourierova řada)

3

4 Harmonická analýza „Každá“ periodická funkce s periodou může být rozložena do řady (Fourierova řada) Jiné vyjádření

5 Důkaz: - nejprve zkontrolujme zda obě vyjádření funkce f jsou ekvivalentní:

6 Důkaz: - a pak dokažme tvrzení tím, že odvodíme vztah pro koeficienty ? vynásobíme a integrujeme přes libovolný interval délky T

7 Příklad:

8

9 Časová (prostorová) závislost
čas, poloha Znázornění ve frekvenční oblasti amplituda frekvence, prostorová frekvence 1 3 5 7

10 Co když f není periodická?
libovolná spojitá proměnná (označení)

11 Fourierova transformace
(inverzní Fourierova transformace, FT-1) (Fourierova transformace, FT) určuje (spojité) frekvenční spektrum pro (aperiodickou) funkci se nazývá Fourierův obraz funkce

12 Příklad: obdélníkový pulz
Časová (prostorová) oblast Frekvenční oblast

13 Příklad: gaussovský pulz
Časová (prostorová) oblast Frekvenční oblast

14 Příklad frekvence rotoru = 32 Hz (maximum v nule není vykresleno)

15 Lineární systémy vstup, signál, ... výstup, odezva, ...
Systém je lineární pokud splňuje princip superpozice, tj. pokud je odezva na součet dvou libovolných signálů rovna součtu jejich jednotlivých odezev. Často lze vztah mezi vstupem a výstupem popsat rovnicí: vstup, signál, ... lineární operátor výstup, odezva, ...

16 Příklad: nucený harmonický oscilátor jako lineární systém
vstup, signál, ... výstup, odezva, ... Lineární systém Systém je lineární pokud splňuje princip superpozice, tj. pokud je odezva na součet dvou libovolných signálů rovna součtu jejich jednotlivých odezev. kmitající nosník F(t)/m výchylka Pozn.: dříve jsme psali

17 Co už víme (o nucených kmitech)?
vstup, signál, ... výstup, odezva, ... Lineární systém Odezva lineárního systému na harmonickou funkci je (v ustáleném stavu) opět harmonická funkce. kmitající nosník odezvová funkce Příklad: odezvová funkce pro nucený harmonický oscilátor

18 Jak najít odezvu na libovolný signál?
vstup, signál, ... výstup, odezva, ... Lineární systém ? Rozložíme vstup do jednotlivých harmonických složek síla je libovolná a pak použijeme princip superpozice: odezva na součet harmonických signálů je rovna součtu odezev těchto signálů.

19 Jak najít odezvu na libovolný signál?
časová oblast: frekvenční oblast: FT vstup: krát FT-1 výstup: