DPS 2008 Didaktika matematiky

Prezentace na téma: "DPS 2008 Didaktika matematiky"— Transkript prezentace:

1 DPS 2008 Didaktika matematiky
Přednáška 4 Vytváření poznatkové struktury

2 O čem budeme dnes hovořit?
Matematické pojmy a poznatky související s poměrem Poměr a aplikace matematiky Některé zvláště zajímavé poměry

3 Jaké matematické pojmy a poznatky souvisejí s pojmem POMĚR?
Souvislosti Jaké matematické pojmy a poznatky souvisejí s pojmem POMĚR?

4 Pojmy z algebry a aritmetiky
Rovnost poměrů, převrácený poměr Hodnota poměru, podíl Porovnávání podílem (rozdílem) Zlomky (krácení, rozšiřování) Racionalita a iracionalita Postupný poměr a přibližný poměr Procenta, trojčlenka Geometrická posloupnost (aritmetická, morfismus)

5 Pojmy z geometrie a další pojmy
Dělení úseček (čísel) v daném poměru Podobnost útvarů Goniometrické funkce Přímá a nepřímá úměrnost Druhy průměrů a jejich vztahy, vážený průměr Pravděpodobnost

6 Co je podstatné? U žáků vytváříme strukturu poznatků, další látka se musí vracet k dříve zvládnutým představám, modelům a metodám v nových kontextech, a tím je posouvat na vyšší úroveň. HESLO: V každé kapitole se vracíme ke všem předchozím kapitolám!

7 Aplikace Dokážeme nalézt v ostatních předmětech na ZŠ a v žákům dostupné praxi dosti zajímavých aplikací?

8 Aplikace z přírodních věd
Páka, kladkostroj, těžiště Měřítko (mapy, modely, planetární soustava) Molekulární stavba (chemické výpočty) Transformátory Krevní skupiny

9 Další aplikace Formáty papíru Převody, ozubená kola (jízdní kolo)
Směsi, slitiny, roztoky, koncentrace Kuchařské recepty Úroky Kurzovní lístky Indexy v ekonomii, analýza časových řad Míchání barev

10 Zajímavosti Poměry takřka magické

11 Jak geometricky zkonstruovat číslo  ?
Eukleidovská konstrukce úsečky, která má délku , vyplývá z vyjádření tohoto čísla. Užijeme pouze Pythagorovu větu: Číslu  říkáme zlatý poměr.

12 Jak vznikají Fibonacciho čísla ?
Fibonacciho čísla lze postupně vypočítávat podle této rekurentní definice: Jaký je tedy začátek posloupnosti? 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … atd. Nepřipadají vám známá? Objevovala se u aproximací čísla . (Proč??)

13 Vzorec pro Fibonacciho čísla
Fibonacciho čísla můžeme vypočítávat podle tohoto vzorce: Důkaz není ani tak složitý, jako spíš dlouhý. Spokojme se s ověřením pomocí Excelu: Fibonacci.xls

14 Co se stane při přemístění obrazců?
Prohlédněme si to podrobně a počítejme obsahy!

15 Jak to vysvětlit? Čtvereček tedy vzniká záměrně špatným kreslením.
Problém chybějícího čtverečku.cdr Čtvereček tedy vzniká záměrně špatným kreslením. A jaká je souvislost s Fibonacciho čísly? = = (8 + 13) = = = = – 104 = 1 Fibonacci.xls

16 Poměry frekvencí tónů stanovené ve starém Řecku:
oktáva 2 : 1 kvinta 3 : 2 kvarta 4 : 3 velká tercie 5 : 4 malá tercie 6 : 5

17 Jak dělili pythagorejci oktávu?

18 Jak dále dělili kvintu?

19 Jak počítat durové a mollové kvintakordy?
Kvintakord se skládá se ze tří tónů. První a třetí tón tvoří kvintu (7 půltónů). Prostřední druhý tón tvoří s oběma krajními tercie. Pak jsou dvě možnosti: Dur velká tercie (4 půltóny) - malá tercie (3 půltóny) Moll malá tercie (3 půltóny) - velká tercie (4 půltóny)

20 Jak můžeme jinak počítat frekvence?

21 Jaké jsou výsledky? Počet půltónů Jméno intervalu Frekvence z kvart
Frekvence z kvint prima 2 0 : = 1,000 3 0 : = 1,000 1 malá sekunda 2 8 :  1,053 3 7 :  1,068 2 velká sekunda 216 :  1,110 3 2 :  1,125 3 malá tercie 2 5 :  1,185 3 9 :  1,201 4 velká tercie 213 :  1,249 3 4 :  1,266 5 kvarta 2 2 :  1,333 311 :  1,352 6 triton 210 :  1,405 3 6 :  1,424 7 kvinta 218 :  1,480 3 1 :  1,500 8 malá sexta 2 7 :  1,580 3 8 :  1,602 9 velká sexta 215 :  1,665 3 3 :  1,687 10 malá septima 2 4 :  1,778 310 :  1,802 11 velká septima 212 :  1,873 3 5 :  1,898 12 oktáva 220 :  1,973 312 :  2,027

22 Co je to pythagorejské comma, ptolemaiovské comma a schizma?
Vypočítejte poměry frekvencí z kvint a kvart pro jednotlivé tóny mimo primy a oktávy! Jaký výsledek jste obdrželi? Vypočítejte pro malou tercii poměry tří hodnot, které jsme již získali: 2 5 :  1,185 6 :  1,200 3 9 :  1,201

23 Jak se ladí kytara? Příslušné intervaly mezi nimi jsou tedy:
Jednotlivé struny od nejnižší k nejvyšší jsou: e , a , d , g , h , e . Příslušné intervaly mezi nimi jsou tedy: kvarta, kvarta, kvarta, velká tercie, kvarta. Jaké chyby při ladění se dopustíme, když budeme ladit čistě?

24 Děkuji vám za pozornost.