Matematika II. KIG / 1MAT2 Přednáška 08

Prezentace na téma: "Matematika II. KIG / 1MAT2 Přednáška 08"— Transkript prezentace:

1 Matematika II. KIG / 1MAT2 Přednáška 08
Katedra informatiky a geoinformatiky Fakulta životního prostředí Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Matematika II. KIG / 1MAT2 Přednáška 08 Integrace racionálních funkcí – 1. část

2 O čem budeme hovořit: Ryze lomené a neryze lomené racionální funkce
Rozklad ryze lomené racionální funkce na parciální zlomky Integrace parciálních zlomků – 1.část

3 Ryze lomené a neryze lomené racionální funkce

4 Racionální funkce (ryze a neryze lomené)
Definice Nechť jsou dány dva polynomy: Jejich podíl budeme nazývat racionální funkcí: Racionální funkce se nazývá: ryze lomená právě tehdy, platí-li neryze lomená právě tehdy, platí-li

5 Vyjádření neryze lomené racionální funkce
Analogie: Každý nepravý zlomek můžeme vyjádřit jako součet přirozeného čísla a pravého zlomku: Každou neryze lomenou racionální funkci můžeme vyjádřit jako součet polynomu a ryze lomené racionální funkce.

6 Příklad Je-li stupeň polynomu v čitateli větší nebo roven stupni polynomu ve jmenovateli, vydělíme je. Podílem je opět polynom (se zbytkem). Nakonec napíšeme získané vyjádření.

7 Rozklad ryze lomené racionální funkce na parciální zlomky

8 Co to jsou parciální zlomky?
Definice Parciálními zlomky nazýváme tyto funkce: , speciálně: , speciálně: Velká i malá písmena označují reálná čísla, exponenty jsou přirozená čísla, kvadratické polynomy mají záporný diskriminant.

9 Co musíme udělat nejdříve
Nalezneme kořeny polynomu ve jmenovateli a vyjádříme jej jako součin kořenových činitelů. Kořenové činitele odpovídající dvěma komplexně sdruženým kořenům vynásobíme a získáme polynomy druhého stupně se záporným diskriminantem. Součiny stejných činitelů zapíšeme ve tvaru mocniny.

10 Příklad Nechť má polynom ve jmenovateli tvar: Jeho kořeny jsou:
reálné číslo 2 (je to dvojnásobný kořen), a dvě komplexně sdružená čísla +i a –i . Vyjádříme jej tedy takto:

11 Návod na rozklad Každý činitel z rozkladu jmenovatele tvaru
vygeneruje těchto r parciálních zlomků: Poznámka: Je-li kořenový činitel v první mocnině, bude generovat pouze jeden parciální zlomek.

12 Návod na rozklad - pokračování
Každý činitel z rozkladu jmenovatele tvaru vygeneruje těchto s parciálních zlomků: Poznámka: Je-li kořenový činitel v první mocnině, bude generovat pouze jeden parciální zlomek.

13 Příklad Nechť má polynom ve jmenovateli tvar:
Pak rozklad racionální funkce na parciální zlomky bude mít tvar:

14 Složitější příklad Nechť má polynom ve jmenovateli tvar:
Jak bude vypadat příslušný rozklad racionální funkce na parciální zlomky? Jak nalezneme neznámé koeficienty A, B, C, atd. ?

15 Hledání neznámých koeficientů
Rovnost vyjadřující rozklad na parciální zlomky upravíme vynásobením polynomem Q(x) na rovnost polynomů a porovnáním jejich koeficientů sestavíme soustavu rovnic. Příklad:

16 Integrace parciálních zlomků

17 Jak integrovat parciální zlomek?
Integrál z této funkce lze počítat přímo – po vytknutí konstanty vede na logaritmus jmenovatele. Obecný postup:

18 Jak integrovat parciální zlomek?
Integrál z této funkce lze počítat přímo – při vhodné manipulaci s konstantou vede na mocninu jmenovatele. Obecný postup:

19 Jak integrovat parciální zlomek?
Integrál lze vhodnou manipulací s konstantami rozložit na dva integrály, jeden vede na logaritmus a druhý na arctangens. Příklad:

20 Co je třeba znát a umět? Umět dělit mnohočleny,
umět rozložit ryze lomenou racionální funkci na parciální zlomky, umět integrovat parciální zlomky.

21 Děkuji za pozornost