Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky

Prezentace na téma: "Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky"— Transkript prezentace:

1 Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Matematika II. KIG / 1MAT2 Přednáška 01 Opakování I.

2 O čem budeme hovořit: Číselné obory,
posloupnosti jako speciální zobrazení, rekurentní a explicitní definice, monotonie a omezenost posloupnosti, aritmetické a geometrické posloupnosti.

3 Číselné obory

4 Postupné rozšiřování číselných oborů
N … přirozená čísla Q … racionální čísla Z … celá čísla I … iracionální čísla D … desetinná čísla R = Q  I … reálná čísla Q I D Z N

5 Desetinná, racionální a iracionální čísla
Každé desetinné číslo lze vyjádřit ve tvaru desetinného zlomku: Každé racionální číslo lze vyjádřit ve tvaru zlomku: Žádné iracionální číslo nelze vyjádřit ve tvaru zlomku.

6 Desetinné rozvoje čísel
Desetinná čísla mají ukončený desetinný rozvoj. Racionální čísla, která nejsou desetinná mají nekonečný periodický rozvoj. Iracionální čísla mají nekonečný neperiodický rozvoj.

7 Dlouhé periody Dlouhé periody.xls Jak vypočítat periodu, když její délka převyšuje počet desetinných míst, které počítač zobrazuje? 1 : 7 = 0,142857…. 2 : 7 = 0,285714….

8 Posloupnosti (speciální zobrazení) Rekurentní a explicitní definice

9 Co je to posloupnost? Definice:
Posloupností {an} nazýváme zobrazení množiny přirozených čísel N do množiny reálných čísel R: n  an Příklady: Posloupnosti.xls

10 Záclonová čísla Záclony věšíme na háčky postupně tak, že zachycujeme středy vytvářejících se oblouků. Několik prvních záclonových čísel je: 3 , 5 , 9 , 17 , 33 , atd. Dokážete vymyslet, jak lze pro libovolné přirozené číslo n vypočítat n-té záclonové číslo Zn ? Zn = 2 n + 1

11 Jak vznikají Fibonacciho čísla ?
Fibonacciho čísla lze postupně vypočítávat podle této definice: Jaký je tedy začátek posloupnosti? 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … atd. Tato čísla Fn mají mnoho zajímavých vlastností. Jak ale vypočítat například padesáté číslo F50 ?

12 Vzorec pro Fibonacciho čísla
Fibonacciho čísla můžeme vypočítávat podle tohoto vzorce: Čísla  a  jsou kořeny kvadratické rovnice x2 – x – 1 =0 . Fibonacci.xls

13 Rekurentní a explicitní definice
Rekurentní definice zadává první člen posloupnosti (nebo několik prvních členů) a pravidlo (vzorec), které určuje, jak z předcházejících členů vypočítat člen za nimi následující. Explicitní definicí rozumíme vzorec typu an = … , který umožňuje pro zvolený index n přímo vypočítat n-tý člen posloupnosti. Problém často bývá převést rekurentní definici na explicitní a naopak.

14 Monotonie posloupností

15 Rostoucí a neklesající posloupnosti
Intuitivně je zřejmé, co znamená, že členy posloupnosti rostou, resp. neklesají. Definice: Posloupnost {an} je rostoucí právě tehdy, když (n) an  an+1 Posloupnost {an} je neklesající právě tehdy, když (n) an  an+1 Příklady:

16 Klesající a nerostoucí posloupnosti
Analogicky se definují následující pojmy: Definice: Posloupnost {an} je klesající právě tehdy, když (n) an > an+1 Posloupnost {an} je nerostoucí právě tehdy, když (n) an  an+1 Jak se definuje konstantní posloupnost? Co znamená, že posloupnost není rostoucí (klesající, atd.) ?

17 Omezenost posloupností

18 Posloupnosti omezené shora či zdola
Posloupnost je omezená shora, když existuje jakási „mez“, kterou žádný člen posloupnosti nepřevýší. Podobně se vymezuje posloupnost omezená zdola. Definice: Posloupnost {an} je omezená shora právě tehdy, když (KR )(n) an  K Posloupnost {an} je omezená zdola právě tehdy, když (LR )(n) an  L

19 Omezené posloupnosti Posloupnost je omezená právě tehdy, když je omezená shora a současně omezená zdola. Definice: Posloupnost {an} je omezená právě tehdy, když (K,L R )(n) L  an  K Příklady: Co znamená, že posloupnost není omezená shora (omezená zdola, omezená) ?

20 Aritmetické a geometrické posloupnosti

21 Aritmetická posloupnost
Aritmetická posloupnost je určena prvním členem a1 a tzv. diferencí d , přičemž pro všechna n platí an+1 = an + d Na čem závisí monotonie aritmetické posloupnosti? Může být aritmetická posloupnost zdola omezená, resp. shora omezená, resp. omezená? Explicitní vyjádření: an = a1 + (n – 1).d

22 Geometrická posloupnost
Geometrická posloupnost je určena prvním členem a1 a tzv. kvocientem q , přičemž pro všechna n platí an+1 = an . q Na čem závisí monotonie geometrické posloupnosti? Může být geometrická posloupnost zdola omezená, resp. shora omezená, resp. omezená? Explicitní vyjádření: an = a1 . q (n – 1)

23 Problémy Jakou posloupností popíšeme závislost ceny na počtu zakoupených kusů? Jakou posloupností popíšeme závislost uložené částky na počtu úročených let? Jak vypočítat součet prvních n členů u obou posloupností? Může být posloupnost současně aritmetická i geometrická?

24 Co je třeba znát a umět? Vlastnosti číselných oborů,
rekurentní a explicitní popis posloupností, monotonii posloupností, omezenost posloupností, vlastnosti aritmetických a geometrických posloupností.

25 Děkuji za pozornost