Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky Didaktika matematiky Akademický rok: 2003 – 2004 Zpracoval: Jan.

Prezentace na téma: "Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky Didaktika matematiky Akademický rok: 2003 – 2004 Zpracoval: Jan."— Transkript prezentace:

1 Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky Didaktika matematiky Akademický rok: 2003 – Zpracoval: Jan HAMERNÍK M – T V T / Z Š r o č n í k Kvadratické funkce

2 Kvadratická funkce Příklad 1:
Zemědělec chce vybudovat pro drůbež výběh pravoúhlého tvaru, přitom jedna strana bude částí stěny hospodářské budovy. K dispozici má 18 metrů pletiva. Máme určit rozměry výběhu, pro které by jeho obsah byl co největší. hospodářská budova výběh x 18 – 2x

3

4 Řešení: Neznámé jsou délky stran hledaného pravoúhelníku. Má-li každá z „bočních stran“ délku x metrů, pak na zbývající třetí stranu připadne (18 – 2x) metrů. Obsah S pravoúhlého trojúhelníku je tedy (18–2x).x Sestavíme si tabulku: x 1 2 3 4 5 6 7 8 (18 – 2x).x 16 28 36 40

5 Zobrazíme uspřádané dvojice z tabulky do soustavy souřadnic O x y
Obrázek zřetelně ukazuje na syme trické rozložení bodů podle přím ky rovnoběžné s osou y a vedené bodem [4,5;0] Odtud se dá usoudit, že ho dnota výrazu (18 – 2x) . x je maximální pro x = 4,5.

6 Je tomu ale skutečně tak?
Upravíme výraz (18 – 2x) . x doplněním na druhou mocninu dvojčlenu: (18 – 2x) . x = – 2x2 + 18x = – 2(x2 – 9x + 4,52 – 4,52) = = – 2(x2 – 9x + 4,52) ,52 = – 2(x – 4,5) ,5 Výraz – 2(x – 4,5) ,5 má maximální hodnotu pro x = 4,5, a to 40,5. Pro každé x  4,5 je totiž – 2(x – 4,5) 2 < 0, a tedy – 2(x – 4,5) ,5 < 40,5 O d p o v ě ď : Zemědělec by měl postavit výběh pravoúhelníkového tvaru s „bočními stranami“ o délce 4,5 metru.

7 Kvadratická funkce je každá funkce na množině R ( tj
Kvadratická funkce je každá funkce na množině R ( tj. o definičním oboru R), daná ve tvaru y = ax2 + bx + c, kde a  R – {0}, b, c  R

8 Příklad č. 2: Těleso je vrženo svisle vzhůru s počáteční rychlostí v = 50 m.s-1. Určete, jaké největší výšky dosáhne. (Užijte vzorec ; g = 10 m.s-2.

9 Řešení: Použijeme výše uvedený vzorec:
Dále využijeme zadané g = 10 m.s-2 Zbývá nám tedy spočítat proměnnou t. Dosadíme do vzorce: Těleso dosáhne nejvýše výšky 125 m

10 Příklad č. 3: Výkon P turbíny závisí na počtu n otáček za sekundu. Určete počet otáček, pro něž bude výkon maximální, víte-li, že tento výkon je vyjádřen vztahem P = n - n2, kde  = 0, m2.kg.s–2,  = 0, m2.kg.s-1.

11 Příklad č. 4: Je dán kvádr se čtvercovou podstavou o délce hrany a cm a výšce 4 cm. Zapište funkci, která vyjadřuje a) závislost objemu kvádru na délce hrany podstavy; b) závislost povrchu kvádru na délce hrany podstavy.

12 Grafy kvadratických funkcí

13 Uvažujme kvadratickou funkci g: y = x2
Zapište do tabulky funkční hodnoty v bodech –3; –2; –1; –0,5; 0; 0,5; 1; 2 a 3. Získané uspořádané dvojice pak vyznačte v soustavě souřadné Oxy.

14 Obr Obr. 2

15 Grafem kvadratické funkce y = x2 je nepřerušovaná křivka, která se nazývá parabola.
Z obrázku lze usoudit, že funkce y = x2 má tyto vlastnosti: jejím oborem hodnot je interval 0,+; funkce je v intervalu ;0 klesající, v intervalu 0,+ rostoucí; v bodě 0 má minimum, nemá v žádném bodě maximum; je zdola omezená, není shora omezená; je sudá.

16 Příklad č. 1: Obr. 3 Na obrázku je graf funkce h1: . Sestrojte pomocí
něho graf funkce h2: Obr. 3

17 Řešení: Pro každé x  R je h2(x) = h1(x) – 3; např. pro x = – 2 je Ke grafu funkce h2 dospějeme tedy od grafu funkce h1 posunutím o tři jednotky ve směru záporné poloosy y.

18 Obr. 4

19 Příklad č. 2: Sestrojte graf funkce h3: , a to opět využitím Řešení:
grafu funkce h1: Graf funkce h1. Řešení: Pro každé x  R je h3(x – 1) = h1(x); např. pro x = 3 je Jestliže funkce h1 nabývá nějakou hodnotu v bodě x, nabývá tutéž hodnotu funkce h3 v bodě x – 1 Graf funkce h3 získáme z grafu funkce h1 posunutím o jednu jednotku ve směru záporné poloosy x.

20 Obr. 5

21 Příklad č. 3: Řešení: Sestrojte graf funkce h5: .
Nejdříve upravíme výraz doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Řešení:

22 Obr. 6

23 Jak budeme postupovat při sestrojování grafů kvadratických funkcí y = ax2 + bx + c?
Upravíme nejprve výraz ax2 + bx + c doplněním na druhou mocninu dvojčlenu: Sestrojíme graf funkce f1: y = ax2. Sestrojíme graf funkce

24 a to z grafu funkce f1 pomocí posunutí o jednotek ve směru osy x,
přičemž pro > 0 jde o posunutí ve směru záporné poloosy x, pro < 0 o posunutí ve směru kladné poloosy x, pro = 0 o posunutí o 0 jednotek na ose x, (tj. „nulové posunutí“ ve směru osy x),

25 a o jednotek ve směru osy x,
přičemž pro > 0 jde o posunutí ve směru kladné poloosy y, pro < 0 o posunutí ve směru záporné poloosy y, pro = 0 o posunutí o 0 jednotek na ose x, (tj. „nulové posunutí“ ve směru osy y,

26 Grafem každé kvadratické funkce je parabola, která je souměrná podle osy rovnoběžné s osou y.
Závěrem si uvedeme vlastnosti kvadratických funkcí y = ax2 + bx + c v závislosti na hodnotách a. Funkce y = ax2 + bx + c (a  0)

27 Obr. 7 a > 0 Oborem hodnot je . Je rostoucí v Je klesající v Je zdola omezená, není shora omezená. V bodě má minimum.

28 Obr. 8 a < 0 Oborem hodnot je . Je rostoucí v Je klesající v Je shora omezená, není zdola omezená. V bodě má maximum.

29 Příklad č. 3: Načrtněte grafy grafy těchto funkcí: y = x2 – 2x + 3 y = – x2 – 6x – 8 y = – 2x2 + 5x – 1 y = – 0,5x2 + x + 2 y =

30 Grafy kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic

31 Příklad č. 1: Řešte nerovnici s neznámou x  R Řešení: Nejprve převedeme danou nerovnici na anulovaný tvar:

32 x1 = – 3, x2 = 2 Zjistíme, ve kterých bodech je hodnota funkce
rovna nule. K tomu vyřešíme početně kvadratickou rovnici x1 = – 3, x2 = 2

33 Na první pohled také vidíme, že kvadratická funkce
má v nějakém bodě maximum (koeficient u x2 je – 1); parabola, která je jejím grafem, se tedy „rozevírá směrem dolů“. Obr. 9

34 Příklad č. 2: Řešte nerovnici s neznámou x  R Řešení: Nejprve vyřešíme kvadratickou rovnici: Diskriminant je záporné číslo, rovnice nemá v R žádné řešení. Nejsme ve slepé uličce?

35 Graf kvadratické funkce nemá s osou x žádné společné body, přitom tato funkce má v nějakém bodě minimum. Tyto dvě skutečnosti zachycuje obr. 10. A z něho lze vyčíst, že řešeními dané nerovnice jsou všechna x  R. Obr. 10

36 Příklad č. 3: S využitím grafů kvadratických funkcí řešte tyto kvadratické nerovnice s neznámou x  R. x2 – 5x + 6  0 2x2 – 5x + 2 < 0 – 2x2 + 6x – 9  0 x2 – 2x + 3 < 0